1. 二進(jìn)制小數(shù)

1.1 十進(jìn)制小數(shù)的表示方法

理解浮點數(shù)的第一步是考慮含有小數(shù)值的十進(jìn)制數(shù)字

先來看一下十進(jìn)制數(shù)字的表示法：

其中每個十進(jìn)制數(shù) 的取值范圍是0~9。這個表達(dá)描述的數(shù)值 的定義如下：

數(shù)字權(quán)的定義與十進(jìn)制小數(shù)點符號( ‘.’ ) 相關(guān)，這意味著小數(shù)點左邊的數(shù)字的權(quán)是10的正冪，得到整數(shù)值，而小數(shù)點右邊的數(shù)字的權(quán)是10的負(fù)冪，得到小數(shù)值。例如十進(jìn)制數(shù)12. 34表示數(shù)字

1.2 二進(jìn)制小數(shù)的表示方法

類比十進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制表示小數(shù)可以用如下表示法表示，

以圖片表示為：

其中 的取值范圍是0和1。這個表達(dá)描述的數(shù)值 的定義如下：

符號 ‘ . ’ 現(xiàn)在變?yōu)榱硕M(jìn)制的點，點左邊的位的權(quán)是2的正冪，點右邊的位的權(quán)是2的負(fù)冪。例如，二進(jìn)制數(shù)101.11表示數(shù)字

2. IEEE浮點表示

2.1 IEEE浮點標(biāo)準(zhǔn)

上一節(jié)提到的定點表示法并不能很有效地表示非常大的數(shù)字。IEEE(電氣和電子工程師協(xié)會)浮點標(biāo)準(zhǔn)用如下的形式來表示一個數(shù)：

在這個式子中設(shè)計三個變量，s, M以及E

符號 (sign) : s決定這數(shù)是負(fù)數(shù) (s = 1) 還是正數(shù) (s = 0)尾數(shù) (ignificand) : M是一個二進(jìn)制小數(shù)階碼 (exponent): E的作用是對浮點數(shù)加權(quán)，這個權(quán)重是2的E次冪(可能是負(fù)數(shù))

例如：

5.0 化為二進(jìn)制小數(shù)，由于 5.0 為正數(shù)，因此 s = 0，M = 1.01，E = 2

這種標(biāo)準(zhǔn)將浮點數(shù)封裝成一種似乎很難理解的形式來存儲，但其實是相當(dāng)優(yōu)雅的。

2.2 單精度和雙精度浮點數(shù)的封裝形式

在C語言中，浮點數(shù)分為單精度浮點數(shù) float 和雙精度浮點數(shù) double，其中float在內(nèi)存中占4個字節(jié)，32個比特位；double在內(nèi)存中占8個字節(jié)，64個比特位。

不管是 float 還是 double ，它們都被分為三個字段，分別用來表示符號位s，階碼字段exp和編碼尾數(shù)frac。這三個字段與上述的符號s，尾數(shù)M，階碼E一一對應(yīng)，但并非將s,M,E直接存入內(nèi)存，而是根據(jù)浮點數(shù)的不同數(shù)值類型按照不同的規(guī)則進(jìn)行編碼。

2.3 浮點數(shù)的數(shù)值分類

根據(jù)階碼的不同，浮點數(shù)的數(shù)值可以分為三類：

• 規(guī)格化的值 (Normalized Values)
• 非規(guī)格化的值 (Denormalized Values)
• 特殊值 (Special Values)

exp的值決定了這個數(shù)屬于上面類型中的哪一種，以float類型為例：

2.3.1 規(guī)格化的值 (Normalized Values)

當(dāng)階碼域不全為0并且不全為1時，表示該數(shù)值為規(guī)格化的值

當(dāng)階碼字段不全為0時，表示該數(shù)值為非規(guī)格化的值。這是一種最普遍的情況，大多數(shù)浮點數(shù)都屬于這類。比如上一小節(jié)的5.0

對于規(guī)格化的值，在得到s, E, M之后還需要進(jìn)行一些處理才能放進(jìn)內(nèi)存：

規(guī)則1：

• 前面已經(jīng)提到，E是階碼并且可以表示負(fù)值，存放在exp字段，但是E在標(biāo)準(zhǔn)中為無符號數(shù)，這說明它不能表示負(fù)數(shù)且可表示的范圍為0~255。那么對于E為負(fù)值的情況如何處理呢？
• 這里引入偏置 (Bias) 的概念。
• IEEE 754規(guī)定，存入內(nèi)存時E的真實值必須再加上一個中間數(shù)，對于8位的E，這個中間數(shù)是127；對于11位的E，這個中間數(shù)是1023。這里的127和1023就是Bias。也就是說，階碼的值是 E= exp - Bias
• 例如：2^10的E是10，所以保存成32位浮點數(shù)時，必須保存成10+127=137，即10001001。此時內(nèi)存中的exp中存的是10001001。

規(guī)則2

• 同樣的，M存放在小數(shù)字段 f 中，我們知道，當(dāng)一個小數(shù)化為二進(jìn)制小數(shù)后所得到的M總是一個介于1~2之間的值，形式為1. xxxxx
• 因此在存數(shù)據(jù)時，考慮省略小數(shù)點前面的1（取數(shù)據(jù)的時候可以直接在前面添上），可以節(jié)省一位的存儲空間，能讓小數(shù)點后的數(shù)據(jù)多保存一位，提高數(shù)據(jù)的精度。
• 例如，M=1.01101，存到 f 中去的數(shù)據(jù)為01101，M = 1 + f

到這里我們可以解決 5.0 這樣一個規(guī)格化的值的存放問題了：

我們知道，對于5.0來說，s = 0，M = 1.01，E = 2，

根據(jù)以上規(guī)則，在內(nèi)存中，符號位字段s = 0，階碼字段exp = E + 127 = 129 = 10000001，編碼尾數(shù)f = 01000000000000000000000（不夠23位要在后面補(bǔ)0）

結(jié)合來看：

0 10000001 01000000000000000000000，化為十六進(jìn)制為40 a0 00 00

在小端機(jī)器上的結(jié)果為：

2.3.2 非規(guī)格化的值 (Denormalized Values)

當(dāng)階碼域為全0時, 所表示的數(shù)是非規(guī)格化的值

在這種情況下，規(guī)則又有所不同：

規(guī)則1

• 當(dāng)exp為全0時，此時的E = 1- Bias，也就是說1-127（或者1-1023）即為真實值
• 補(bǔ)充：使階碼值為 1-Bias 仍而不是簡單的 -Bias 似乎是違反直覺的。在后面我們會知道，這種方式提供了一種從非規(guī)格化值平滑轉(zhuǎn)換到規(guī)格化值的方法

規(guī)則2

• 有效數(shù)字M不再加上第一位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數(shù)，即M = f ，也就是小數(shù)字段的值, 不包含隱含的開頭的1
• 實際上，如M = 1.01101，在exp = 00000000時，存進(jìn)去的是101101而不是01101

非規(guī)格化數(shù)有兩個用途：

• 首先，它們提供了一種表示數(shù)值0 的方法，因為使用規(guī)格化數(shù)，我們必須總是M>= 1，因此我們就不能表示0.0
• 其次，非規(guī)格化數(shù)的另外一個功能是表示那些非常接近于 0.0 的數(shù)。它們提供了一種屬性，稱為逐漸溢出(gradualunder flow) ，其中，可能的數(shù)值分布均勻地接近于0.0

2.3.3 特殊值 (Special Values)

當(dāng)階碼域為全1時, 所表示的數(shù)是特殊值

特殊值可分為兩種：

1. 當(dāng)小數(shù)域全為0 時，得到的值表示無窮，當(dāng) s = 0 時，是+∞, 或者當(dāng) s = 1時，是 -∞

2.當(dāng)小數(shù)域為非零時, 結(jié)果值被稱為 “NaN”(Not a Number)。一些運(yùn)算的結(jié)果不能是實數(shù)或無窮, 就會返回這樣的NaN值

3. 數(shù)字示例

為了更加直觀地理解，我們用一個8位浮點數(shù)的例子，假定符號位 s 的長度為1，階碼字段的長度為4，小數(shù)字段的長度為3：

對于非規(guī)格數(shù)：

對于規(guī)格數(shù)

可以看到，從最大非規(guī)格數(shù)0 0000 111到最小規(guī)格數(shù)0 0001 000這樣的過渡是很自然的，體現(xiàn)出了上述IEEE標(biāo)準(zhǔn)的邏輯性與和諧的美感

4. 舍入

因為表示方法限制了浮點數(shù)的范圍和精度, 所以浮點運(yùn)算只能近似地表示實數(shù)運(yùn)算

我們企圖找到一個與值 最相近的值匹配值 來作為儲存的值

例如：

如果由于表示方法的限制，1.5這樣一個值無法完全放在內(nèi)存中，需要舍掉小數(shù)點后的值，那么舍入結(jié)果是1還是2呢?

IEEE定義了四種舍入方式：

• 向偶數(shù)舍入
• 向零舍入
• 向上舍入
• 向下舍入

其中，向偶數(shù)舍入(round - to - even)又被稱為向最接近的值舍入(round - to - nearest)，是默認(rèn)的方式，試圖找到一個最接近的匹配值

向上和向下舍入很好理解，一個介于1~2之間的數(shù)如 1.5 向上舍入是2，向下舍入是1

向零舍入是指在在數(shù)軸上的數(shù)向 0 的方向進(jìn)行舍入，比如 1.50 向零舍入會找到 1 和 2 之間更靠近0 的數(shù) 1 ，-1.50 向零舍入會找到 -1 和 -2 之間更靠近 0 的數(shù) -1

向偶數(shù)舍入，指當(dāng)一個數(shù)是兩個可能結(jié)果的中間數(shù)時，它將數(shù)字向上或者向下舍入，使得結(jié)果的最低有效數(shù)字是偶數(shù)

比如1.50可以向1舍入，也可以向2舍入，并且正好是1和2的中間值，這時會默認(rèn)向2(偶數(shù))舍入；比如2.50可以向2舍入，也可以向3舍入，并且正好是2和3的中間值，這時同樣會向2(偶數(shù))舍入。

值得注意的是：

向偶數(shù)舍入只針對那些“中間值”。當(dāng)值為1.49或1.51時，依舊舍入為 1 和 2

為什么要使用向偶數(shù)舍入呢？

使用其他三種舍入方法，在一組數(shù)據(jù)中很容易引入平均值的統(tǒng)計偏差 ，當(dāng)1.50 1.60 1.70這樣一組數(shù)據(jù)都使用向上舍入，結(jié)果是2 2 2，平均值會偏大

向偶數(shù)舍入在大多數(shù)現(xiàn)實情況中避免了這種統(tǒng)計偏差。在50%的時間里，它將向上舍入，而在50%的時間里，它將向下舍入

對二進(jìn)制的浮點數(shù)舍入同樣遵循向偶數(shù)舍入的原則，并將 0 視為偶數(shù)，1 視為奇數(shù)

例如：

10.11100 ，當(dāng)舍入需要精確到小數(shù)點后兩位時， 后三位100代表 ，正好是中間值，因此向偶數(shù)舍入為11.00

5. 浮點運(yùn)算

考慮下面幾個式子：

• (1) (3.14 + 1e10) - 1e10 = 0.0
• (2) 3.14 + (1e10 - 1e10) = 3.14
• (3) (1e20 * 1e20) * 1e-20 = +∞
• (4) 1e20 * (1e20 * 1e-20) = 1e20
• (5) 1e20 * (1e20 - 1e20) = 0.0
• (6) 1e20*1e20 - 1e20*1e20 = NaN

• (1)(2)中，3.14 + 1e10對結(jié)果進(jìn)行了舍入，值3.14會丟失，因此對于浮點數(shù)的加法不具有結(jié)合性
• (3)(4)中，由于計算結(jié)果可能溢出或舍入，因此浮點數(shù)的乘法也不具有結(jié)合性
• (5)(6)中，在單精度浮點數(shù)時結(jié)果不同，說明浮點數(shù)乘法不具有分配性

6. C語言中的浮點數(shù)

所有的C語言版本提供了兩種不同的浮點數(shù)據(jù)類型: float 和 double

當(dāng)int ，float，double不同數(shù)據(jù)類型之間進(jìn)行強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換時，得到的結(jié)果可能會超出我們的預(yù)期，程序改變數(shù)值和位模式的原則如下( 假設(shè)int是32位的) :

• 從 int 轉(zhuǎn)換成 float，數(shù)字不會溢出，但是可能被舍入
• 從 int 或 float 轉(zhuǎn)換成 double，因為double有更高的精度，所以能夠保留精確的數(shù)值
• 從 double 轉(zhuǎn)換成 float ，因為范圍要小一些，所以值可能溢出成 +∞ 或 -∞。另外，由于精確度較小，它還可能被舍入
• 從 float 或者 double 轉(zhuǎn)換成int，值將會向零舍入。例如，1.999將被轉(zhuǎn)換成1，而-1.999將被轉(zhuǎn)換成 -1。進(jìn)一步來說，值可能會溢出

總結(jié)

以上為個人經(jīng)驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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