Python分治法定義與應(yīng)用實例詳解
本文實例講述了Python分治法定義與應(yīng)用。分享給大家供大家參考,具體如下:
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征:
1) 該問題的規(guī)??s小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題,即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解;
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的,即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的,因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加;
第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問題可以滿足的,此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用;
第三條特征是關(guān)鍵,能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征,如果具備了第一條和第二條特征,而不具備第三條特征,則可以考慮用貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。
第四條特征涉及到分治法的效率,如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作,重復(fù)地解公共的子問題,此時雖然可用分治法,但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。
題目1. 給定一個順序表,編寫一個求出其最大值的分治算法。
# 基本子算法(子問題規(guī)模小于等于 2 時) def get_max(max_list): return max(max_list) # 這里偷個懶! # 分治法 版本一 def solve(init_list): n = len(init_list) if n <= 2: # 若問題規(guī)模小于等于 2,最終解決 return get_max(init_list) # 分解(子問題規(guī)模為 2,最后一個可能為 1) temp_list=(init_list[i:i+2] for i in range(0, n, 2)) # 分治,合并 max_list = list(map(get_max, temp_list)) # 遞歸(樹) solve(max_list) # 分治法 版本二 def solve2(init_list): n = len(init_list) if n <= 2: # 若問題規(guī)模小于等于 2,解決 return get_max(init_list) # 分解(子問題規(guī)模為 n/2) left_list, right_list = init_list[:n//2], init_list[n//2:] # 遞歸(樹),分治 left_max, right_max = solve2(left_list), solve2(right_list) # 合并 return get_max([left_max, right_max]) if __name__ == "__main__": # 測試數(shù)據(jù) test_list = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23] # 求最大值 print(solve(test_list)) # 67 print(solve2(test_list)) # 67
題目2. 給定一個順序表,判斷某個元素是否在其中。
# 子問題算法(子問題規(guī)模為 1) def is_in_list(init_list, el): return [False, True][init_list[0] == el] # 分治法 def solve(init_list, el): n = len(init_list) if n == 1: # 若問題規(guī)模等于 1,直接解決 return is_in_list(init_list, el) # 分解(子問題規(guī)模為 n/2) left_list, right_list = init_list[:n//2], init_list[n//2:] # 遞歸(樹),分治,合并 res = solve(left_list, el) or solve(right_list, el) return res if __name__ == "__main__": # 測試數(shù)據(jù) test_list = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23] # 查找 print(solve2(test_list, 45)) # True print(solve2(test_list, 5)) # False
題目3. 找出一組序列中的第 k 小的元素,要求線性時間
# 劃分(基于主元 pivot),注意:非就地劃分 def partition(seq): pi = seq[0] # 挑選主元 lo = [x for x in seq[1:] if x <= pi] # 所有小的元素 hi = [x for x in seq[1:] if x > pi] # 所有大的元素 return lo, pi, hi # 查找第 k 小的元素 def select(seq, k): # 分解 lo, pi, hi = partition(seq) m = len(lo) if m == k: return pi # 解決! elif m < k: return select(hi, k-m-1) # 遞歸(樹),分治 else: return select(lo, k) # 遞歸(樹),分治 if __name__ == '__main__': seq = [3, 4, 1, 6, 3, 7, 9, 13, 93, 0, 100, 1, 2, 2, 3, 3, 2] print(select(seq, 3)) #2 print(select(seq, 5)) #2
題目4. 快速排序
# 劃分(基于主元 pivot),注意:非就地劃分 def partition(seq): pi = seq[0] # 挑選主元 lo = [x for x in seq[1:] if x <= pi] # 所有小的元素 hi = [x for x in seq[1:] if x > pi] # 所有大的元素 return lo, pi, hi # 快速排序 def quicksort(seq): # 若問題規(guī)模小于等于1,解決 if len(seq) <= 1: return seq # 分解 lo, pi, hi = partition(seq) # 遞歸(樹),分治,合并 return quicksort(lo) + [pi] + quicksort(hi) seq = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2] print(quicksort(seq)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
題目5. 合并排序(二分排序)
# 合并排序 def mergesort(seq): # 分解(基于中點) mid = len(seq) // 2 left_seq, right_seq = seq[:mid], seq[mid:] # 遞歸(樹),分治 if len(left_seq) > 1: left_seq = mergesort(left_seq) if len(right_seq) > 1: right_seq = mergesort(right_seq) # 合并 res = [] while left_seq and right_seq: # 只要兩者皆非空 if left_seq[-1] >= right_seq[-1]: # 兩者尾部較大者,彈出 res.append(left_seq.pop()) else: res.append(right_seq.pop()) res.reverse() # 倒序 return (left_seq or right_seq) + res # 前面加上剩下的非空的seq seq = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2] print(mergesort(seq)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
題目6. 漢諾塔
# 漢諾塔 def move(n, a, buffer, c): if n == 1: print(a,"->",c) #return else: # 遞歸(線性) move(n-1, a, c, buffer) move(1, a, buffer, c) # 或者:print(a,"->",c) move(n-1, buffer, a, c) move(3, "a", "b", "c")
問題7. 爬樓梯
假設(shè)你正在爬樓梯,需要n步你才能到達頂部。但每次你只能爬一步或者兩步,你能有多少種不同的方法爬到樓頂部?
# 爬樓梯 def climb(n=7): if n <= 2: return n return climb(n-1) + climb(n-2) # 等價于斐波那契數(shù)列! print(climb(5)) # 8 print(climb(7)) # 21
問題8. 給定平面上n個點,找其中的一對點,使得在n個點的所有點對中,該點對的距離最小。(最近點對問題)
from math import sqrt # 蠻力法 def solve(points): n = len(points) min_d = float("inf") # 最小距離:無窮大 min_ps = None # 最近點對 for i in range(n-1): for j in range(i+1, n): d = sqrt((points[i][0] - points[j][0])**2 + (points[i][1] - points[j][1])**2) # 兩點距離 if d < min_d: min_d = d # 修改最小距離 min_ps = [points[i], points[j]] # 保存最近點對 return min_ps # 最接近點對(報錯?。? def nearest_dot(seq): # 注意:seq事先已對x坐標排序 n = len(seq) if n <= 2: return seq # 若問題規(guī)模等于 2,直接解決 # 分解(子問題規(guī)模n/2) left, right = seq[0:n//2], seq[n//2:] print(left, right) mid_x = (left[-1][0] + right[0][0])/2.0 # 遞歸,分治 lmin = (left, nearest_dot(left))[len(left) > 2] # 左側(cè)最近點對 rmin = (right, nearest_dot(right))[len(right) > 2] # 右側(cè)最近點對 # 合并 dis_l = (float("inf"), get_distance(lmin))[len(lmin) > 1] dis_r = (float("inf"), get_distance(rmin))[len(rmin) > 1] d = min(dis_l, dis_r) # 最近點對距離 # 處理中線附近的帶狀區(qū)域(近似蠻力) left = list(filter(lambda p:mid_x - p[0] <= d, left)) #中間線左側(cè)的距離<=d的點 right = list(filter(lambda p:p[0] - mid_x <= d, right)) #中間線右側(cè)的距離<=d的點 mid_min = [] for p in left: for q in right: if abs(p[0]-q[0])<=d and abs(p[1]-q[1]) <= d: #如果右側(cè)部分點在p點的(d,2d)之間 td = get_distance((p,q)) if td <= d: mid_min = [p,q] # 記錄p,q點對 d = td # 修改最小距離 if mid_min: return mid_min elif dis_l>dis_r: return rmin else: return lmin # 兩點距離 def get_distance(min): return sqrt((min[0][0]-min[1][0])**2 + (min[0][1]-min[1][1])**2) def divide_conquer(seq): seq.sort(key=lambda x:x[0]) res = nearest_dot(seq) return res # 測試 seq=[(0,1),(3,2),(4,3),(5,1),(1,2),(2,1),(6,2),(7,2),(8,3),(4,5),(9,0),(6,4)] print(solve(seq)) # [(6, 2), (7, 2)] #print(divide_conquer(seq)) # [(6, 2), (7, 2)]
問題9. 從數(shù)組 seq 中找出和為 s 的數(shù)值組合,有多少種可能
''' 求一個算法:N個數(shù),用其中M個任意組合相加等于一個已知數(shù)X。得出這M個數(shù)是哪些數(shù)。 比如: seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] s = 14 # 和 全部可能的數(shù)字組合有: 5+9, 6+8 1+4+9, 1+5+8, 1+6+7, 2+3+9, 2+4+8, 2+5+7, 3+4+7, 3+5+6 1+2+5+6, 1+3+4+6, 1+2+4+7, 1+2+3+8, 2+3+4+5 共計15種 ''' # 版本一(純計數(shù)) def find(seq, s): n = len(seq) if n==1: return [0, 1][seq[0]==s] if seq[0]==s: return 1 + find(seq[1:], s) else: return find(seq[1:], s-seq[0]) + find(seq[1:], s) # 測試 seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] s = 14 # 和 print(find(seq, s)) # 15 seq = [11,23,6,31,8,9,15,20,24,14] s = 40 # 和 print(find(seq, s)) #8 # 版本二 (打印) def find2(seq, s, tmp=''): if len(seq)==0: # 終止條件 return if seq[0] == s: # 找到一種,則 print(tmp + str(seq[0])) # 打印 find2(seq[1:], s, tmp) # 尾遞歸 ---不含 seq[0] 的情況 find2(seq[1:], s-seq[0], str(seq[0]) + '+' + tmp) # 尾遞歸 ---含 seq[0] 的情況 # 測試 seq = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] s = 14 # 和 find2(seq, s) print() seq = [11,23,6,31,8,9,15,20,24,14] s = 40 # 和 find2(seq, s)
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