機器學習中的預測問題通常分為2類：回歸與分類。

簡單的說回歸就是預測數(shù)值，而分類是給數(shù)據(jù)打上標簽歸類。

本文講述如何用Python進行基本的數(shù)據(jù)擬合，以及如何對擬合結果的誤差進行分析。

本例中使用一個2次函數(shù)加上隨機的擾動來生成500個點，然后嘗試用1、2、100次方的多項式對該數(shù)據(jù)進行擬合。

擬合的目的是使得根據(jù)訓練數(shù)據(jù)能夠擬合出一個多項式函數(shù)，這個函數(shù)能夠很好的擬合現(xiàn)有數(shù)據(jù)，并且能對未知的數(shù)據(jù)進行預測。

代碼如下：

import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import scipy as sp 
from scipy.stats import norm 
from sklearn.pipeline import Pipeline 
from sklearn.linear_model import LinearRegression 
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures 
from sklearn import linear_model 
 
''''' 數(shù)據(jù)生成 ''' 
x = np.arange(0, 1, 0.002) 
y = norm.rvs(0, size=500, scale=0.1) 
y = y + x**2 
 
''''' 均方誤差根 ''' 
def rmse(y_test, y): 
 return sp.sqrt(sp.mean((y_test - y) ** 2)) 
 
''''' 與均值相比的優(yōu)秀程度，介于[0~1]。0表示不如均值。1表示完美預測.這個版本的實現(xiàn)是參考scikit-learn官網文檔 ''' 
def R2(y_test, y_true): 
 return 1 - ((y_test - y_true)**2).sum() / ((y_true - y_true.mean())**2).sum() 
 
 
''''' 這是Conway&White《機器學習使用案例解析》里的版本 ''' 
def R22(y_test, y_true): 
 y_mean = np.array(y_true) 
 y_mean[:] = y_mean.mean() 
 return 1 - rmse(y_test, y_true) / rmse(y_mean, y_true) 
 
 
plt.scatter(x, y, s=5) 
degree = [1,2,100] 
y_test = [] 
y_test = np.array(y_test) 
 
 
for d in degree: 
 clf = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=d)), 
     ('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))]) 
 clf.fit(x[:, np.newaxis], y) 
 y_test = clf.predict(x[:, np.newaxis]) 
 
 print(clf.named_steps['linear'].coef_) 
 print('rmse=%.2f, R2=%.2f, R22=%.2f, clf.score=%.2f' % 
  (rmse(y_test, y), 
  R2(y_test, y), 
  R22(y_test, y), 
  clf.score(x[:, np.newaxis], y)))  
  
 plt.plot(x, y_test, linewidth=2) 
  
plt.grid() 
plt.legend(['1','2','100'], loc='upper left') 
plt.show() 

該程序運行的顯示結果如下：

[-0.16140183  0.99268453]
rmse=0.13, R2=0.82, R22=0.58, clf.score=0.82
[ 0.00934527 -0.03591245  1.03065829]
rmse=0.11, R2=0.88, R22=0.66, clf.score=0.88
[  6.07130354e-02  -1.02247150e+00   6.66972089e+01  -1.85696012e+04
......
-9.43408707e+12  -9.78954604e+12  -9.99872105e+12  -1.00742526e+13
-1.00303296e+13  -9.88198843e+12  -9.64452002e+12  -9.33298267e+12
  -1.00580760e+12]
rmse=0.10, R2=0.89, R22=0.67, clf.score=0.89
顯示出的coef_就是多項式參數(shù)。如1次擬合的結果為
y = 0.99268453x -0.16140183

這里我們要注意這幾點：

1、誤差分析。

做回歸分析，常用的誤差主要有均方誤差根（RMSE）和R-平方（R2）。

RMSE是預測值與真實值的誤差平方根的均值。這種度量方法很流行（Netflix機器學習比賽的評價方法），是一種定量的權衡方法。

R2方法是將預測值跟只使用均值的情況下相比，看能好多少。其區(qū)間通常在（0,1）之間。0表示還不如什么都不預測，直接取均值的情況，而1表示所有預測跟真實結果完美匹配的情況。
R2的計算方法，不同的文獻稍微有不同。如本文中函數(shù)R2是依據(jù)scikit-learn官網文檔實現(xiàn)的，跟clf.score函數(shù)結果一致。

而R22函數(shù)的實現(xiàn)來自Conway的著作《機器學習使用案例解析》，不同在于他用的是2個RMSE的比值來計算R2。
我們看到多項式次數(shù)為1的時候，雖然擬合的不太好，R2也能達到0.82。2次多項式提高到了0.88。而次數(shù)提高到100次，R2也只提高到了0.89。

2、過擬合。

使用100次方多項式做擬合，效果確實是高了一些，然而該模型的據(jù)測能力卻極其差勁。
而且注意看多項式系數(shù)，出現(xiàn)了大量的大數(shù)值，甚至達到10的12次方。
這里我們修改代碼，將500個樣本中的最后2個從訓練集中移除。然而在測試中卻仍然測試所有500個樣本。
clf.fit(x[:498, np.newaxis], y[:498])
這樣修改后的多項式擬合結果如下：

[-0.17933531  1.0052037 ]
rmse=0.12, R2=0.85, R22=0.61, clf.score=0.85
[-0.01631935  0.01922011  0.99193521]
rmse=0.10, R2=0.90, R22=0.69, clf.score=0.90
...
rmse=0.21, R2=0.57, R22=0.34, clf.score=0.57

僅僅只是缺少了最后2個訓練樣本，紅線（100次方多項式擬合結果）的預測發(fā)生了劇烈的偏差，R2也急劇下降到0.57。
而反觀1，2次多項式的擬合結果，R2反而略微上升了。

這說明高次多項式過度擬合了訓練數(shù)據(jù)，包括其中大量的噪音，導致其完全喪失了對數(shù)據(jù)趨勢的預測能力。前面也看到，100次多項式擬合出的系數(shù)數(shù)值無比巨大。人們自然想到通過在擬合過程中限制這些系數(shù)數(shù)值的大小來避免生成這種畸形的擬合函數(shù)。

其基本原理是將擬合多項式的所有系數(shù)絕對值之和（L1正則化）或者平方和（L2正則化）加入到懲罰模型中，并指定一個懲罰力度因子w，來避免產生這種畸形系數(shù)。
這樣的思想應用在了嶺（Ridge）回歸（使用L2正則化）、Lasso法（使用L1正則化）、彈性網（Elastic net，使用L1+L2正則化）等方法中，都能有效避免過擬合。更多原理可以參考相關資料。

下面以嶺回歸為例看看100次多項式的擬合是否有效。將代碼修改如下:

clf = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=d)),
                    ('linear', linear_model.Ridge ())])
clf.fit(x[:400, np.newaxis], y[:400])

結果如下：

[ 0.          0.75873781]
rmse=0.15, R2=0.78, R22=0.53, clf.score=0.78
[ 0.          0.35936882  0.52392172]
rmse=0.11, R2=0.87, R22=0.64, clf.score=0.87
[  0.00000000e+00   2.63903249e-01   3.14973328e-01   2.43389461e-01
   1.67075328e-01   1.10674280e-01   7.30672237e-02   4.88605804e-02
   ......
   3.70018540e-11   2.93631291e-11   2.32992690e-11   1.84860002e-11
   1.46657377e-11]
rmse=0.10, R2=0.90, R22=0.68, clf.score=0.90

可以看到，100次多項式的系數(shù)參數(shù)變得很小。大部分都接近于0.
另外值得注意的是，使用嶺回歸之類的懲罰模型后，1次和2次多項式回歸的R2值可能會稍微低于基本線性回歸。

然而這樣的模型，即使使用100次多項式，在訓練400個樣本，預測500個樣本的情況下不僅有更小的R2誤差，而且還具備優(yōu)秀的預測能力。

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。

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