一、線性回歸的理論

1）線性回歸的基本概念

線性回歸是一種有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，它介紹的自變量的和因變量的之間的線性的相關(guān)關(guān)系，分為一元線性回歸和多元的線性回歸。一元線性回歸是一個自變量和一個因變量間的回歸，可以看成是多遠(yuǎn)線性回歸的特例。線性回歸可以用來預(yù)測和分類，從回歸方程可以看出自變量和因變量的相互影響關(guān)系。
線性回歸模型如下：

對于線性回歸的模型假定如下：
（1） 誤差項的均值為0，且誤差項與解釋變量之間線性無關(guān)

（2） 誤差項是獨立同分布的，即每個誤差項之間相互獨立且每個誤差項的方差是相等的。

（3） 解釋變量之間線性無關(guān)

（4） 正態(tài)性假設(shè)，即誤差項是服從正態(tài)分布的

以上的假設(shè)是建立回歸模型的基本條件，所以對于回歸結(jié)果要進行一一驗證，如果不滿足假定，就要進行相關(guān)的修正。

2) 模型的參數(shù)求解

（1）矩估計

一般是通過樣本矩來估計總體的參數(shù)，常見是樣本的一階原點矩來估計總體的均值，二階中心矩來估計總體的方差。

（2）最小二乘估計

一般最小二乘估計是適用于因變量是連續(xù)型的變量，最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS），它的原理是所選擇的回歸模型應(yīng)該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。預(yù)測值用 表示，對應(yīng)的實際值 ，殘差平方和 ，最小二乘估計是求得參數(shù)的值，使得L最小。對于線性回歸求得的參數(shù)值是唯一的。

（3）極大似然估計

極大似然估計是基于概率的思想，它要求樣本的概率分布是已知的，參數(shù)估計的值是使得大量樣本發(fā)生的概率最大，用似然函數(shù)來度量，似然函數(shù)是各個樣本的密度函數(shù)的乘積，為方便求解對其求對數(shù)，加負(fù)號求解極小值，得到參數(shù)的估計結(jié)果。

3）模型的優(yōu)缺點

優(yōu)點：結(jié)果易于理解，計算上不復(fù)雜

缺點：對于非線性的數(shù)據(jù)擬合不好

二、用Python實現(xiàn)線性回歸的小例子

數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)絡(luò)爬蟲，武漢市商品房價格為因變量和幾個相關(guān)關(guān)鍵詞的百度指數(shù)的搜索量為自變量。

由于本文的自變量有98個，首先進行自變量的選擇，先是通過相關(guān)系數(shù)矩陣篩選掉不相關(guān)的變量，根據(jù)Pearson相關(guān)系數(shù)矩陣進行變量的選取，一般選取相關(guān)系數(shù)的值大于0.3的變量進行回歸分析，由于本文的變量較多，先進行手動篩選然后利用相關(guān)系數(shù)進行選取，本文選取相關(guān)系數(shù)大于0.55的變量進行回歸分析。

經(jīng)過相關(guān)系數(shù)的分析選取8個變量進行下一步的分析，分析的Python代碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
#### Required Packages
import sys
reload(sys)
sys.setdefaultencoding('utf-8')
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
data = pd.read_csv('Hdata.csv')
print data
dataset = np.array(data)
######相關(guān)性分析
X = dataset[:,1:98]
y = dataset[:,0]
cor = np.corrcoef(dataset,rowvar=0)[:,0]
######輸出相關(guān)矩陣的第一列
print cor
#######篩選后的數(shù)據(jù)讀取
data1 = pd.read_csv('H1data.csv')
dataset1 = np.array(data)
######篩選后的變量######
X1 = dataset1[:,1:8]
Y1 = dataset1[:,0]
est = sm.OLS(Y1,X1).fit()
print est.summary()

貼出線性回歸的結(jié)果如下：

OLS RegressionResults              
=======================================================================
Dep. Variable:           y  R-squared:            0.978
Model:              OLS  Adj. R-squared:         0.974
Method:         Least Squares F-statistic:          287.5
Date:        Sat, 08 Apr 2017  Prob (F-statistic):      9.35e-36
Time:            15:15:14  Log-Likelihood:        -442.82
No. Observations:         53  AIC:               899.6
Df Residuals:           46  BIC:               913.4
Df Model:              7                    
Covariance Type:      nonrobust                     
=======================================================================
         coef  std err     t   P>|t|   [95.0% Conf. Int.]
-----------------------------------------------------------------------
x1      -0.3691   0.494  -0.747   0.0459    -1.364   0.626
x2       0.3249   0.353   0.920   0.0362    -0.386   1.036
x3       1.0987   0.837   1.312   0.0196    -0.587   2.784
x4       0.7613   0.790   0.964   0.0340    -0.829   2.351
x5      -1.5766   1.099  -1.435   0.0158    -3.789   0.636
x6      -0.1572   1.077  -0.146   0.0885    -2.325   2.011
x7       3.2003   1.603   1.997   0.052    -0.026   6.427
=======================================================================
Omnibus:            0.413  Durbin-Watson:          1.748
Prob(Omnibus):         0.814  Jarque-Bera (JB):        0.100
Skew:              0.097  Prob(JB):            0.951
Kurtosis:            3.089  Cond. No.             95.5
=======================================================================

從回歸分析的結(jié)果可以看出來，模型的擬合優(yōu)度R-squared=0.978，說明模型的擬合效果很好，據(jù)其大小對擬合效果的優(yōu)劣性進行判定。對模型整體的顯著性可以通過F統(tǒng)計量來看，結(jié)果顯示的F統(tǒng)計量對應(yīng)的P值顯著小于0.05（0.05是顯著性水平,也可以選取0.01），說明模型整體是顯著的，它的顯著性說明被解釋變量能不能由這些解釋變量進行解釋，F(xiàn)檢驗是對整體的檢驗，F(xiàn)檢驗的通過不代表每一個解釋變量是顯著的。對每一個變量的顯著性要看t檢驗統(tǒng)計量的值，t檢驗統(tǒng)計量對應(yīng)的P值小于0.05（0.01或者0.1也行，具體看情況分析，一般選取0.05）視為是顯著的，從結(jié)果可以看出，X6和X7的變量的p是大于0.05的，也就是這兩個變量對被解釋變量的影響是不顯著的要剔除。但是如果你只是關(guān)心預(yù)測的問題那么可以不剔除。但是如果有研究解釋變量對被解釋變量的影響的程度的，要做進一步的研究。接下來看DW的值，DW的值為1.748，說明模型不存在自相關(guān)性?？碕B檢驗統(tǒng)計量的值，JB檢驗統(tǒng)計量是對正態(tài)性的假設(shè)進行檢驗的，JB的值對應(yīng)的p值為0.951顯著大于0.05，可以認(rèn)為模型滿足正態(tài)性的假設(shè)的。對于參數(shù)的實際意義本文就不做解釋了。

對于DW值判斷相關(guān)性的依據(jù)如下：

DW=0時，殘差序列存在完全正自相關(guān)，

DW=（0，2）時，殘差序列存在正自相關(guān)，

DW=2時，殘差序列無自相關(guān)，

DW=（2，4）時，殘差序列存在負(fù)自相關(guān)，

DW=4時，殘差序列存在完全負(fù)自相關(guān)。

對于建立模型的一般步驟簡單描述如下：

（1） 根據(jù)數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式選取合適的模型

（2） 對選取的模型選取適用的參數(shù)估計方法

（3） 對參數(shù)的結(jié)果進行檢驗

（4） 對結(jié)果進行解釋

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