一、分類問(wèn)題損失函數(shù)——交叉熵（crossentropy）

交叉熵刻畫了兩個(gè)概率分布之間的距離，是分類問(wèn)題中使用廣泛的損失函數(shù)。給定兩個(gè)概率分布p和q，交叉熵刻畫的是兩個(gè)概率分布之間的距離：

我們可以通過(guò)Softmax回歸將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前向傳播得到的結(jié)果變成交叉熵要求的概率分布得分。在TensorFlow中，Softmax回歸的參數(shù)被去掉了，只是一個(gè)額外的處理層，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出變成一個(gè)概率分布。

代碼實(shí)現(xiàn)：

import tensorflow as tf 
 
y_ = tf.constant([[1.0, 0, 0]]) # 正確標(biāo)簽 
y1 = tf.constant([[0.9, 0.06, 0.04]]) # 預(yù)測(cè)結(jié)果1 
y2 = tf.constant([[0.5, 0.3, 0.2]]) # 預(yù)測(cè)結(jié)果2 
# 以下為未經(jīng)過(guò)Softmax處理的類別得分 
y3 = tf.constant([[10.0, 3.0, 2.0]]) 
y4 = tf.constant([[5.0, 3.0, 1.0]]) 
 
# 自定義交叉熵 
cross_entropy1 = -tf.reduce_mean(y_ * tf.log(tf.clip_by_value(y1, 1e-10, 1.0))) 
cross_entropy2 = -tf.reduce_mean(y_ * tf.log(tf.clip_by_value(y2, 1e-10, 1.0))) 
# TensorFlow提供的集成交叉熵 
# 注：該操作應(yīng)該施加在未經(jīng)過(guò)Softmax處理的logits上，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果 
# labels為期望輸出，且必須采用labels=y_, logits=y的形式將參數(shù)傳入 
cross_entropy_v2_1 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y_, logits=y3) 
cross_entropy_v2_2 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y_, logits=y4) 
 
sess = tf.InteractiveSession() 
print('[[0.9, 0.06, 0.04]]:', cross_entropy1.eval()) 
print('[[0.5, 0.3, 0.2]]:', cross_entropy2.eval()) 
print('v2_1', cross_entropy_v2_1.eval()) 
print('v2_2',cross_entropy_v2_2.eval()) 
sess.close() 
 
''''' 
[[0.9, 0.06, 0.04]]: 0.0351202 
[[0.5, 0.3, 0.2]]: 0.231049 
v2_1 [ 0.00124651] 
v2_2 [ 0.1429317] 
''' 

tf.clip_by_value()函數(shù)可將一個(gè)tensor的元素?cái)?shù)值限制在指定范圍內(nèi)，這樣可防止一些錯(cuò)誤運(yùn)算，起到數(shù)值檢查作用。

* 乘法操作符是元素之間直接相乘，tensor中是每個(gè)元素對(duì)應(yīng)相乘，要去別去tf.matmul()函數(shù)的矩陣相乘。

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y_,logits=y)是TensorFlow提供的集成交叉熵函數(shù)。該操作應(yīng)該施加在未經(jīng)過(guò)Softmax處理的logits上，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果；labels為期望輸出，且必須采用labels=y_, logits=y3的形式將參數(shù)傳入。

二、回歸問(wèn)題損失函數(shù)——均方誤差（MSE，mean squared error）

均方誤差亦可用于分類問(wèn)題的損失函數(shù)，其定義為：

三、自定義損失函數(shù)

對(duì)于理想的分類問(wèn)題和回歸問(wèn)題，可采用交叉熵或者M(jìn)SE損失函數(shù)，但是對(duì)于一些實(shí)際的問(wèn)題，理想的損失函數(shù)可能在表達(dá)上不能完全表達(dá)損失情況，以至于影響對(duì)結(jié)果的優(yōu)化。例如：對(duì)于產(chǎn)品銷量預(yù)測(cè)問(wèn)題，表面上是一個(gè)回歸問(wèn)題，可使用MSE損失函數(shù)。可實(shí)際情況下，當(dāng)預(yù)測(cè)值大于實(shí)際值時(shí)，損失值應(yīng)是正比于商品成本的函數(shù)；當(dāng)預(yù)測(cè)值小于實(shí)際值，損失值是正比于商品利潤(rùn)的函數(shù)，多數(shù)情況下商品成本和利潤(rùn)是不對(duì)等的。自定義損失函數(shù)如下：

TensorFlow中，通過(guò)以下代碼實(shí)現(xiàn)loss= tf.reduce_sum(tf.where(tf.greater(y, y_), (y-y_)*loss_more,(y_-y)*loss_less))。

tf.greater(x,y)，返回x>y的判斷結(jié)果的bool型tensor，當(dāng)tensor x, y的維度不一致時(shí)，采取廣播（broadcasting）機(jī)制。

tf.where(condition,x=None, y=None, name=None)，根據(jù)condition選擇x (if true) or y (if false)。

代碼實(shí)現(xiàn)：

import tensorflow as tf 
from numpy.random import RandomState 
 
batch_size = 8 
x = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, 2), name='x-input') 
y_ = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, 1), name='y-input') 
 
w1 = tf.Variable(tf.random_normal([2,1], stddev=1, seed=1)) 
y = tf.matmul(x, w1) 
 
# 根據(jù)實(shí)際情況自定義損失函數(shù) 
loss_less = 10 
loss_more = 1 
# tf.select()在1.0以后版本中已刪除，tf.where()替代 
loss = tf.reduce_sum(tf.where(tf.greater(y, y_), 
        (y-y_)*loss_more, (y_-y)*loss_less)) 
train_step = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=0.001).minimize(loss) 
 
rdm = RandomState(seed=1) # 定義一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成器并設(shè)定隨機(jī)種子 
dataset_size = 128 
X = rdm.rand(dataset_size, 2) 
Y = [[x1 + x2 +rdm.rand()/10.0 - 0.05] for (x1, x2) in X] # 增加一個(gè)-0.05~0.05的噪聲 
 
sess = tf.InteractiveSession() 
tf.global_variables_initializer().run() 
for i in range(5000): 
 start = (i * batch_size) % dataset_size 
 end = min(start+batch_size, dataset_size) 
 train_step.run({x: X[start: end], y_: Y[start: end]}) 
 if i % 500 == 0: 
  print('step%d:\n' % i, w1.eval()) 
print('final w1:\n', w1.eval()) 
sess.close() 
 
''''' 
loss_less = 10 
loss_more = 1 
final w1: 
 [[ 1.01934695] 
 [ 1.04280889]] 
 
loss_less = 1 
loss_more = 10 
final w1: 
 [[ 0.95525807] 
 [ 0.9813394 ]] 
 
loss_less = 1 
loss_more = 1 
final w1: 
 [[ 0.9846065 ] 
 [ 1.01486754]] 
''' 

根據(jù)程序輸出可見(jiàn)，當(dāng)我們將loss_less=10時(shí)，表明我們對(duì)預(yù)測(cè)值過(guò)小表征的損失值更大，優(yōu)化得到的參數(shù)均略大于1；當(dāng)loss_more=10時(shí)，表明我們對(duì)預(yù)測(cè)值過(guò)大表征的損失值更大，優(yōu)化得到的參數(shù)均略小于1；當(dāng)兩者均設(shè)為1時(shí)，得到的參數(shù)約等于1。

四、TensorFlow的Cross_Entropy實(shí)現(xiàn)

1. tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None, logits=None, dim=-1, name=None)

該函數(shù)的功能是自動(dòng)計(jì)算logits（未經(jīng)過(guò)Softmax）與labels之間的cross_entropy交叉熵。

該操作應(yīng)該施加在未經(jīng)過(guò)Softmax處理的logits上，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果；labels為期望輸出，且必須采用labels=y_,logits=y3的形式將參數(shù)傳入。

第一個(gè)參數(shù)logits：就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最后一層的輸出，如果有batch的話，它的大小就是[batchsize，num_classes]，單樣本的話，大小就是num_classes

第二個(gè)參數(shù)labels：實(shí)際的標(biāo)簽，大小同上。

注意：如果labels的每一行是one-hot表示，也就是只有一個(gè)地方為1，其他地方為0，可以使用tf.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits()

警告： （1）這個(gè)操作的輸入logits是未經(jīng)縮放的，該操作內(nèi)部會(huì)對(duì)logits使用softmax操作；（2）參數(shù)labels,logits必須有相同的形狀 [batch_size, num_classes] 和相同的類型(float16, float32,float64)中的一種。

該函數(shù)具體的執(zhí)行過(guò)程分兩步：首先對(duì)logits做一個(gè)Softmax，

第二步就是將第一步的輸出與樣本的實(shí)際標(biāo)簽labels做一個(gè)交叉熵。

注意?。?！這個(gè)函數(shù)的返回值并不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)向量，如果要求交叉熵，我們要再做一步tf.reduce_sum操作,就是對(duì)向量里面所有元素求和，最后才得到交叉熵，如果求loss，則要做一步tf.reduce_mean操作，對(duì)向量求均值！

2. tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None, logits=None, name=None)

該函數(shù)與tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None, logits=None, dim=-1, name=None)十分相似，唯一的區(qū)別在于labels，該函數(shù)的標(biāo)簽labels要求是排他性的即只有一個(gè)正確類別，labels的形狀要求是[batch_size] 而值必須是從0開(kāi)始編碼的int32或int64，而且值范圍是[0, num_class)，對(duì)比于tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits的[batchsize，num_classes]格式的得分編碼。

其他使用注意事項(xiàng)參見(jiàn)tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits的說(shuō)明。

3. tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None, logits=None, name=None)

sigmoid_cross_entropy_with_logits是TensorFlow最早實(shí)現(xiàn)的交叉熵算法。這個(gè)函數(shù)的輸入是logits和labels，logits就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的 W * X矩陣，注意不需要經(jīng)過(guò)sigmoid，而labels的shape和logits相同，就是正確的標(biāo)簽值，例如這個(gè)模型一次要判斷100張圖是否包含10種動(dòng)物，這兩個(gè)輸入的shape都是[100, 10]。注釋中還提到這10個(gè)分類之間是獨(dú)立的、不要求是互斥，這種問(wèn)題我們稱為多目標(biāo)（多標(biāo)簽）分類，例如判斷圖片中是否包含10種動(dòng)物中的一種或幾種，標(biāo)簽值可以包含多個(gè)1或0個(gè)1。

4. tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits(targets, logits, pos_weight, name=None)

weighted_sigmoid_cross_entropy_with_logits是sigmoid_cross_entropy_with_logits的拓展版，多支持一個(gè)pos_weight參數(shù)，在傳統(tǒng)基于sigmoid的交叉熵算法上，正樣本算出的值乘以某個(gè)系數(shù)。

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