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Python退火算法在高次方程的應(yīng)用

 更新時間:2018年07月26日 11:50:59   作者:puppet洛洛  
退火算法就是鋼鐵在淬煉過程中失溫而成穩(wěn)定態(tài)時的過程,熱力學(xué)上溫度(內(nèi)能)越高原子態(tài)越不穩(wěn)定。這篇文章主要介紹了Python退火算法在高次方程的應(yīng)用,需要的朋友可以參考下

,簡介

退火算法不言而喻,就是鋼鐵在淬煉過程中失溫而成穩(wěn)定態(tài)時的過程,熱力學(xué)上溫度(內(nèi)能)越高原子態(tài)越不穩(wěn)定,而溫度有一個向低溫區(qū)輻射降溫的物理過程,當(dāng)物質(zhì)內(nèi)能不再降低時候該物質(zhì)原子態(tài)逐漸成為穩(wěn)定有序態(tài),這對我們從隨機(jī)復(fù)雜問題中找出最優(yōu)解有一定借鑒意義,將這個過程化為算法,具體參見其他資料。

二,計(jì)算方程

我們所要計(jì)算的方程是f(x) = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9),是一個一元四次方程,我們稱為高次方程,當(dāng)然這個函數(shù)的開口是向上的,那么在一個無限長的區(qū)間內(nèi)我們可能找不出最大值點(diǎn),因此我們嘗試在較短區(qū)間內(nèi)解最小值點(diǎn),我們成為最優(yōu)解。

解法1:

毫無疑問,數(shù)學(xué)方法多次求導(dǎo)基本可以解出,但是這個過程較復(fù)雜,還容易算錯,我就不贅述了,讀者有時間自己可以嘗試解一下。

解法二:

這個解法就是暴力解決了,我們這里只求解區(qū)間[-10,10]上的最優(yōu)解,直接隨機(jī)200個點(diǎn),再除以10(這樣可以得到非整數(shù)橫坐標(biāo)),再依此計(jì)算其縱坐標(biāo)f(x),min{f(x)}一下,用list的index方法找出最小值對應(yīng)位置就行了,然后畫出圖形大致瞄一瞄。

直接貼代碼:

 import random
 import matplotlib.pyplot as plt
 list_x = []
 # for i in range(1):
 #   #print(random.randint(0,100))
 #   for i in range(0,100):
 #     print("sss",i)
 #
 #   list_x.append(random.randint(0,100))
 for i in range(-100,100):
   list_x.append(i/10)
 print("橫坐標(biāo)為:",list_x)
 print(len(list_x))
 list_y = []
 for x in list_x:
   # print(x)
   #y = x*x*x - 60*x*x -4*x +6
   y = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
   list_y.append(y)
 print("縱坐標(biāo)為:",list_y)
 #經(jīng)驗(yàn)證,這里算出來的結(jié)果6.5和最優(yōu)解1549都是對的
 print("最小值為:",min(list_y))
 num = min(list_y)
 print("最優(yōu)解:",list_y.index(num)/10)
 print("第",list_y.index(num)/10-10,"個位置取得最小值")
 plt.plot(list_x, list_y, label='NM')
 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line')
 plt.xlabel('X') #橫坐標(biāo)標(biāo)題
 plt.ylabel('Y') #縱坐標(biāo)標(biāo)題
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right")  #圖像標(biāo)題
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out')
 plt.legend()  #顯示Fisrt Line和Second Line(label)的設(shè)置
 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')
 plt.show()

得到如下結(jié)果:

 

那么我們得出最優(yōu)解的坐標(biāo)是(6.5,-1549.6875),結(jié)果先放這里,接下來用退火算法看能不能解出。

解法三:

我們看一張圖(解法二中的方法得出的圖),然后講講退火算法的最核心的思想。

 

首先,先隨機(jī)一個[-10.10]之間的隨機(jī)解,作為初始解空間,比方說隨機(jī)了一個位于[-2.5.2.5]中最高的那個點(diǎn)就是點(diǎn)1(橫坐標(biāo)為x1),他有對于的縱坐標(biāo)的值y1,這時候我們把這個點(diǎn)的橫坐標(biāo)隨機(jī)加或者減去一個值(注意這個值的大小很重要,我們先叫他隨機(jī)移動值),加或者減后得到新的橫坐標(biāo)的值x2,再算出這個橫坐標(biāo)的對應(yīng)縱坐標(biāo)(y2),對比之前的縱坐標(biāo)的大小,這里設(shè)置

delta = y2-y1,發(fā)現(xiàn)無論怎樣都是小于原先的縱坐標(biāo)(前提是隨機(jī)移動值足夠?。?,這時候我們把新得到的x2賦值給x1,這時候現(xiàn)在的x2的值傳給x1,x1是原先隨機(jī)的值,這個過程可以重復(fù)iter_num 次,大小就根據(jù)自己的區(qū)間來。
上述的整個過程是在一個溫度下進(jìn)行的,這個過程結(jié)束后我們用溫度更新公式再次的更新溫度,再去重復(fù)上述步驟。

溫度更新我是用的常用的公式是T(t)=aT0(t-1),其中0.85≦a≦0.99。也可用相應(yīng)的熱能衰減公式來計(jì)算,T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,...,這都是簡單的狀態(tài)更新方法。

也就是說,不管你隨機(jī)的是幾我都能朝著優(yōu)化的方向前進(jìn)(前提是非最優(yōu)點(diǎn))。

其次,點(diǎn)2 是同理的,區(qū)別在于他是局部最優(yōu)解,那么跳出這個局部最優(yōu)解的機(jī)制是什么呢?

若初始點(diǎn)是(x3,y3),然后用上述方法得出(x4,y4),在點(diǎn)二處得到的delta肯定是大于0的,那么怎么辦呢?當(dāng)大于0的時候我們每次都有一定的概率來接受這個看起來不是最優(yōu)的點(diǎn),叫Metropolis準(zhǔn)則,具體是這樣的:

 

這里的E就是y,T就是當(dāng)前溫度,delta小于0就是百分百接受新值,否者就是按照這個概率接受,當(dāng)?shù)啻蔚臅r候,每次向右移動的步長累加到點(diǎn)1 時候他就有可能找到最終的最優(yōu)解了,步長是累加的但是概率是累成的,意味著這個概率很小,但是一旦迭代次數(shù)多久一定會跑出來到最優(yōu)解處。

最優(yōu),點(diǎn)3不解釋了哈,和上面一樣。

那么我們上代碼:

 #自己改寫的退火算法計(jì)算方程(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)的計(jì)算方法
 #class沒啥用
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 from matplotlib import pyplot as plt 
 #設(shè)置基本參數(shù)
 #T初始溫度,T_stop,iter_num每個溫度的迭代次數(shù),Q溫度衰減次數(shù)
 class Tuihuo_alg():
   def __init__(self,T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x):
     self.T_start = T_start
     self.iter =iter_num
     self.T_stop = T_stop
     self.Q = Q
     self.xx = xx
     self.init_x = init_x
   # def cal_x2y(self):
   #   return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
 if __name__ == '__main__':
   def cal_x2y(x):
     #print((x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9))
     return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
   T_start = 1000
   iter_num = 1000
   T_stop = 1
   Q = 0.95
   K = 1
   l_boundary = -10
   r_boundary = 10
   #初始值
   xx = np.linspace(l_boundary, r_boundary, 300)
   yy = cal_x2y(xx)
   init_x =10 * ( 2 * np.random.rand() - 1)
   print("init_x:",init_x)
   t = Tuihuo_alg(T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x)
   val_list = [init_x]
   while T_start>T_stop:
     for i in range(iter_num):
       init_y = cal_x2y(init_x)
       #這個區(qū)間(2 * np.random.rand() - 1)本身是(-1,1),所以加上就是一個隨機(jī)加或者減過程
       new_x = init_x + (2 * np.random.rand() - 1)
       if l_boundary <= new_x <= r_boundary:
         new_y = cal_x2y(new_x)
     #print("new_x:",new_x)
     #print('new_y:',new_y)
         delta = new_y - init_y #新減舊
         if delta < 0:
           init_x = new_x
         else:
           p = np.exp(-delta / (K * T_start))
           if np.random.rand() < p:
             init_x = new_x
       #print("new_x:",new_x)
       #print("當(dāng)前溫度:",T_start)
     T_start = T_start * Q
 print("最優(yōu)解x是:", init_x)  #這里最初寫的是new_x,所以結(jié)果一直不對
 print("最優(yōu)解是:", init_y)
 #比如我加上new_x,真假之間的誤差實(shí)際就是最后一次的賦值“init_x = new_x”
 print("假最優(yōu)解x是:", new_x)  #這里最初寫的是new_x,所以結(jié)果一直不對
 print("假最優(yōu)解是:", new_y)
 xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary,300)
 yy = cal_x2y(xx)
 plt.plot(xx, yy, label='Tuihuo')
 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line')
 plt.xlabel('X for tuihuo') #橫坐標(biāo)標(biāo)題
 plt.ylabel('Y for tuihuo') #縱坐標(biāo)標(biāo)題
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right")  #圖像標(biāo)題
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out')
 plt.legend()  #顯示Fisrt Line和Second Line(label)的設(shè)置
 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')
 plt.show()

這里用了class,發(fā)現(xiàn)并不需要,但是不想改了,就這樣吧。

最優(yōu)結(jié)果為:

 

得出的示意圖為:

 

三,總結(jié)

退火算法的具體思想我沒怎么講,但是核心的點(diǎn)我都寫出來了,經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)退火算法得出了(6.551677228904226,-1548.933671426107)的最優(yōu)解,看看解法二的(6.5,-1549.6875),我們發(fā)現(xiàn),呵呵,差不多,誤差來講的話,能接受,當(dāng)然讀者也可以多跑幾個數(shù)據(jù)出來驗(yàn)證。

我的實(shí)驗(yàn)環(huán)境是Python3.6,Numpy1.14.3,matplotlib2.2.2,64位win10,1709教育版,OS內(nèi)核16299.547,就這樣吧,盡量講詳細(xì)點(diǎn)。

總結(jié)

以上所述是小編給大家介紹的Python退火算法在高次方程的應(yīng)用,希望對大家有所幫助,如果大家有任何疑問請給我留言,小編會及時回復(fù)大家的。在此也非常感謝大家對腳本之家網(wǎng)站的支持!

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