python Kmeans算法原理深入解析
一. 概述
首先需要先介紹一下無監(jiān)督學習，所謂無監(jiān)督學習，就是訓練樣本中的標記信息是位置的，目標是通過對無標記訓練樣本的學習來揭示數(shù)據(jù)的內(nèi)在性質(zhì)以及規(guī)律。通俗得說，就是根據(jù)數(shù)據(jù)的一些內(nèi)在性質(zhì)，找出其內(nèi)在的規(guī)律。而這一類算法，應用最為廣泛的就是“聚類”。
聚類算法可以對數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)歸約，即在盡可能保證數(shù)據(jù)完整的前提下，減少數(shù)據(jù)的量級，以便后續(xù)處理。也可以對聚類數(shù)據(jù)結果直接應用或分析。
而Kmeans 算法可以說是聚類算法里面較為基礎的一種算法。
二. 從樣例開始
我們現(xiàn)在在二維平面上有這樣一些點
x y 1.658985 4.285136 -3.453687 3.424321 4.838138 -1.151539 -5.379713 -3.362104 0.972564 2.924086 -3.567919 1.531611 0.450614 -3.302219 -3.487105 -1.724432 2.668759 1.594842 -3.156485 3.191137 3.165506 -3.999838 -2.786837 -3.099354 4.208187 2.984927 -2.123337 2.943366 0.704199 -0.479481 -0.392370 -3.963704 2.831667 1.574018 -0.790153 3.343144 2.943496 -3.357075 ...
它在二維平面上的分布大概是這樣的：
好，這些點看起來隱約分成4個“簇”，那么我們可以假定它就是要分成4個“簇”。（雖然我們可以“看”出來是要分成4個“簇”，但實際上也可以分成其他個，比如說5個。）這里分成“4個簇“是我們看出來的。而在實際應用中其實應該由機器算得，下面也會有介紹的。
找出4個”簇”之后，就要找出每個“簇”的中心了，我們可以“看出”大概的中心點，但機器不知道啊。那么機器是如何知道的呢？答案是通過向量距離，也叫向量相似性。這個相似性計算有多種方法，比如歐式距離，曼哈頓距離，切比雪夫距離等等。
我們這里使用的是歐式距離，歐式距離其實就是反應空間中兩點的直線距離。
知道這些后，我們就可以開始讓機器計算出4個“簇”了。
主要做法是這樣，先隨機生成4個點，假設這4個點就是4個“簇”的中心。計算平面中每個點到4個中心點的距離，平面中每個點選取距離最近的那個中心作為自己的中心。
此時我們就完成第一步，將平面中所有點分成4個”簇“。但是剛剛那幾個中心都是隨機的，這樣分成的4個簇明顯不是我們想要的結果。怎么辦呢？做法如下：
現(xiàn)在有4個簇，根據(jù)每個簇中所有點計算出每個簇的新中心點。這個新中心點就會比上一個舊的中心點更優(yōu)，因為它更加中心。然后使用新中心點重復第一步的步驟。即再對平面中所有點算距離，然后分發(fā)到4個新簇中。不斷迭代，直到誤差較小。
這就是 Kmeans 算法的過程了。
三. 知識點淺析
3.1 確定“簇”的個數(shù)
上面所說的分成 4 個簇，這個 4 其實就是 Kmeans 中的K。要使用 Kmeans 首先就是要選取一個 K 作為聚類個數(shù)。而上面的例子其實是我們主觀”看“出來的，但多數(shù)情況下我們是無法直觀”看“出分多少個 K 比較好。那怎么辦呢？
我們可以從較低的 K 值開始。使用較簡單的 Kmeans 算法的結果（即較少的迭代次數(shù)，不求最佳結果，但求最快）。計算每個點到其歸屬的“簇”的中心點的距離，然后求和，求和結果就是誤差值。
然后再增加 K 值，再計算誤差值。比如上面的例子，我們可以從 K=2 開始，計算 K 值從 2 到 7 的 Kmeans 算法的誤差值。
這樣會得到類似這樣一張圖：
里面的 Error 可以理解未 Kmeans 的誤差，而當分成越多“簇”的適合，誤差肯定是越來越小。
但是不是“簇”越多越好呢？答案是否定的，有時候“簇”過多的話是不利于我們得到想要的結果或是做下一步操作的。
所以我們通常會選擇誤差減小速度比較平緩的那個臨界點，比如上圖中的 4。
可以發(fā)現(xiàn)，在分成 4 個簇之后，再增加簇的數(shù)量，誤差也不會有很大的減少。而取 4 個簇也和我們所看到的相符。
3.2 歐式距離
歐氏距離是一個通常采用的距離定義，指在m維空間中兩個點之間的真實距離，計算公式如下：
而本例種的是在二維空間種，故而本例的計算公式如下：
四. 代碼和結果
加載數(shù)據(jù)的代碼，使用了 numpy ，先是將代碼加載成 matrix 類型。
import numpy as np
def loadDataSet(fileName):
'''
加載數(shù)據(jù)集
:param fileName:
:return:
'''
# 初始化一個空列表
dataSet = []
# 讀取文件
fr = open(fileName)
# 循環(huán)遍歷文件所有行
for line in fr.readlines():
# 切割每一行的數(shù)據(jù)
curLine = line.strip().split('\t')
# 將數(shù)據(jù)轉換為浮點類型,便于后面的計算
# fltLine = [float(x) for x in curLine]
# 將數(shù)據(jù)追加到dataMat
fltLine = list(map(float,curLine)) # 映射所有的元素為 float（浮點數(shù)）類型
dataSet.append(fltLine)
# 返回dataMat
return np.matrix(dataSet)
接下來需要生成 K 個初始的質(zhì)點，即中心點。這里采用隨機生成的方法生成 k 個“簇”。
def randCent(dataMat, k):
'''
為給定數(shù)據(jù)集構建一個包含K個隨機質(zhì)心的集合,
隨機質(zhì)心必須要在整個數(shù)據(jù)集的邊界之內(nèi),這可以通過找到數(shù)據(jù)集每一維的最小和最大值來完成
然后生成0到1.0之間的隨機數(shù)并通過取值范圍和最小值,以便確保隨機點在數(shù)據(jù)的邊界之內(nèi)
:param dataMat:
:param k:
:return:
'''
# 獲取樣本數(shù)與特征值
m, n = np.shape(dataMat)
# 初始化質(zhì)心,創(chuàng)建(k,n)個以零填充的矩陣
centroids = np.mat(np.zeros((k, n)))
# 循環(huán)遍歷特征值
for j in range(n):
# 計算每一列的最小值
minJ = min(dataMat[:, j])
# 計算每一列的范圍值
rangeJ = float(max(dataMat[:, j]) - minJ)
# 計算每一列的質(zhì)心,并將值賦給centroids
centroids[:, j] = np.mat(minJ + rangeJ * np.random.rand(k, 1))
# 返回質(zhì)心
return centroids
歐式距離計算
def distEclud(vecA, vecB): ''' 歐氏距離計算函數(shù) :param vecA: :param vecB: :return: ''' return np.sqrt(sum(np.power(vecA - vecB, 2)))
cost 方法將執(zhí)行一個簡化的 kMeans ，即較少次數(shù)的迭代，計算出其中的誤差（即當前點到簇質(zhì)心的距離,后面會使用該誤差來評價聚類的效果）
def cost(dataMat, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent,iterNum=300):
'''
計算誤差的多少，通過這個方法來確定 k 為多少比較合適，這個其實就是一個簡化版的 kMeans
:param dataMat: 數(shù)據(jù)集
:param k: 簇的數(shù)目
:param distMeans: 計算距離
:param createCent: 創(chuàng)建初始質(zhì)心
:param iterNum：默認迭代次數(shù)
:return:
'''
# 獲取樣本數(shù)和特征數(shù)
m, n = np.shape(dataMat)
# 初始化一個矩陣來存儲每個點的簇分配結果
# clusterAssment包含兩個列:一列記錄簇索引值,第二列存儲誤差(誤差是指當前點到簇質(zhì)心的距離,后面會使用該誤差來評價聚類的效果)
clusterAssment = np.mat(np.zeros((m, 2)))
# 創(chuàng)建質(zhì)心,隨機K個質(zhì)心
centroids = createCent(dataMat, k)
clusterChanged = True
while iterNum > 0:
clusterChanged = False
# 遍歷所有數(shù)據(jù)找到距離每個點最近的質(zhì)心,
# 可以通過對每個點遍歷所有質(zhì)心并計算點到每個質(zhì)心的距離來完成
for i in range(m):
minDist = np.inf
minIndex = -1
for j in range(k):
# 計算數(shù)據(jù)點到質(zhì)心的距離
# 計算距離是使用distMeas參數(shù)給出的距離公式,默認距離函數(shù)是distEclud
distJI = distMeas(centroids[j, :], dataMat[i, :])
# print(distJI)
# 如果距離比minDist(最小距離)還小,更新minDist(最小距離)和最小質(zhì)心的index(索引)
if distJI < minDist:
minDist = distJI
minIndex = j
# 更新簇分配結果為最小質(zhì)心的index(索引),minDist(最小距離)的平方
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist ** 2
iterNum -= 1;
# print(centroids)
# 遍歷所有質(zhì)心并更新它們的取值
for cent in range(k):
# 通過數(shù)據(jù)過濾來獲得給定簇的所有點
ptsInClust = dataMat[np.nonzero(clusterAssment[:, 0].A == cent)[0]]
# 計算所有點的均值,axis=0表示沿矩陣的列方向進行均值計算
centroids[cent, :] = np.mean(ptsInClust, axis=0)
# 返回給定迭代次數(shù)后誤差的值
return np.mat(clusterAssment[:,1].sum(0))[0,0]
最后可以調(diào)用 Kmeans 算法來進行計算。
def kMeans(dataMat, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
'''
創(chuàng)建K個質(zhì)心,然后將每個店分配到最近的質(zhì)心,再重新計算質(zhì)心。
這個過程重復數(shù)次,直到數(shù)據(jù)點的簇分配結果不再改變?yōu)橹?
:param dataMat: 數(shù)據(jù)集
:param k: 簇的數(shù)目
:param distMeans: 計算距離
:param createCent: 創(chuàng)建初始質(zhì)心
:return:
'''
# 獲取樣本數(shù)和特征數(shù)
m, n = np.shape(dataMat)
# 初始化一個矩陣來存儲每個點的簇分配結果
# clusterAssment包含兩個列:一列記錄簇索引值,第二列存儲誤差(誤差是指當前點到簇質(zhì)心的距離,后面會使用該誤差來評價聚類的效果)
clusterAssment = np.mat(np.zeros((m, 2)))
# 創(chuàng)建質(zhì)心,隨機K個質(zhì)心
centroids = createCent(dataMat, k)
# 初始化標志變量,用于判斷迭代是否繼續(xù),如果True,則繼續(xù)迭代
clusterChanged = True
while clusterChanged:
clusterChanged = False
# 遍歷所有數(shù)據(jù)找到距離每個點最近的質(zhì)心,
# 可以通過對每個點遍歷所有質(zhì)心并計算點到每個質(zhì)心的距離來完成
for i in range(m):
minDist = np.inf
minIndex = -1
for j in range(k):
# 計算數(shù)據(jù)點到質(zhì)心的距離
# 計算距離是使用distMeas參數(shù)給出的距離公式,默認距離函數(shù)是distEclud
distJI = distMeas(centroids[j, :], dataMat[i, :])
# 如果距離比minDist(最小距離)還小,更新minDist(最小距離)和最小質(zhì)心的index(索引)
if distJI < minDist:
minDist = distJI
minIndex = j
# 如果任一點的簇分配結果發(fā)生改變,則更新clusterChanged標志
if clusterAssment[i, 0] != minIndex: clusterChanged = True
# 更新簇分配結果為最小質(zhì)心的index(索引),minDist(最小距離)的平方
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist ** 2
# print(centroids)
# 遍歷所有質(zhì)心并更新它們的取值
for cent in range(k):
# 通過數(shù)據(jù)過濾來獲得給定簇的所有點
ptsInClust = dataMat[np.nonzero(clusterAssment[:, 0].A == cent)[0]]
# 計算所有點的均值,axis=0表示沿矩陣的列方向進行均值計算
centroids[cent, :] = np.mean(ptsInClust, axis=0)
# 返回所有的類質(zhì)心與點分配結果
return centroids, clusterAssment
選取不同的 k 值對結果影響有多大呢？我們來看看就知道了，下面給出的是 k 值為 2 到 6 的效果。
圖中紅色方塊即為“簇”的中心點，每個“簇”所屬的點用不同的顏色表示。
K = 2
K = 3
K = 4
K = 5
K = 6
以上就是本文的全部內(nèi)容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。
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