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最小二乘法及其python實現(xiàn)詳解

更新時間：2020年02月24日 12:38:58 作者：yhao浩

今天小編就為大家分享一篇最小二乘法及其python實現(xiàn)詳解，具有很好的參考價值，希望對大家有所幫助。一起跟隨小編過來看看吧

最小二乘法Least Square Method，做為分類回歸算法的基礎(chǔ)，有著悠久的歷史（由馬里·勒讓德于1806年提出）。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達(dá)。

那什么是最小二乘法呢？別著急，我們先從幾個簡單的概念說起。

假設(shè)我們現(xiàn)在有一系列的數(shù)據(jù)點，那么由我們給出的擬合函數(shù)h(x)得到的估計量就是，那么怎么評估我們給出的擬合函數(shù)與實際待求解的函數(shù)的擬合程度比較高呢？這里我們先定義一個概念：殘差，我們估計擬合程度都是在殘差的基礎(chǔ)上進行的。下面再介紹三種范數(shù)：

• ∞-范數(shù)：殘差絕對值的最大值，即所有數(shù)據(jù)點中殘差距離的最大值

• 1-范數(shù)：絕對殘差和，即所有數(shù)據(jù)點殘差距離之和

• 2-范數(shù)：殘差平方和

前兩種范數(shù)是最容易想到，最自然的，但是不利于進行微分運算，在數(shù)據(jù)量很大的情況下計算量太大，不具有可操作性。因此一般使用的是2-范數(shù)。

說了這么多，那范數(shù)和擬合有什么關(guān)系呢？擬合程度，用通俗的話來講，就是我們的擬合函數(shù)h(x)與待求解的函數(shù)y之間的相似性。那么2-范數(shù)越小，自然相似性就比較高了。

由此，我們可以寫出最小二乘法的定義了：

對于給定的數(shù)據(jù) ，在取定的假設(shè)空間H中，求解h(x)∈H，使得殘差的2-范數(shù)最小，即

從幾何上講，就是尋找與給定點距離平方和最小的曲線y=h(x)。h(x)稱為擬合函數(shù)或者最小二乘解，求解擬合函數(shù)h(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

那么這里的h(x)到底應(yīng)該長什么樣呢？一般情況下，這是一條多項式曲線：

這里h(x,w)是一個n次多項式，w是其參數(shù)。

也就是說，最小二乘法就是要找到這樣一組，使得最小。

那么如何找到這樣的w，使得其擬合函數(shù)h(x)與目標(biāo)函數(shù)y具有最高擬合程度呢？即最小二乘法如何求解呢，這才是關(guān)鍵啊。

假設(shè)我們的擬合函數(shù)是一個線性函數(shù)，即：

（當(dāng)然，也可以是二次函數(shù)，或者更高維的函數(shù)，這里僅僅是作為求解范例，所以采用了最簡單的線性函數(shù)）那么我們的目標(biāo)就是找到這樣的w，

這里令為樣本的平方損失函數(shù)

這里的Q(w)即為我們要進行最優(yōu)化的風(fēng)險函數(shù)。

學(xué)過微積分的同學(xué)應(yīng)該比較清楚，這是一個典型的求解極值的問題，只需要分別對 18 求偏導(dǎo)數(shù)，然后令偏導(dǎo)數(shù)為0，即可求解出極值點，即：

接下來只需要求解這個方程組即可解出w_i 的值

============ 分割分割 =============

上面我們講解了什么是最小二乘法，以及如何求解最小二乘解，下面我們將通過Python來實現(xiàn)最小二乘法。

這里我們把目標(biāo)函數(shù)選為y=sin(2πx)，疊加上一個正態(tài)分布作為噪音干擾，然后使用多項式分布去擬合它。

代碼：

# _*_ coding: utf-8 _*_
# 作者: yhao
# 博客: http://blog.csdn.net/yhao2014
# 郵箱: yanhao07@sina.com
 
import numpy as np # 引入numpy
import scipy as sp
import pylab as pl
from scipy.optimize import leastsq # 引入最小二乘函數(shù)
 
n = 9 # 多項式次數(shù)
 
 
# 目標(biāo)函數(shù)
def real_func(x):
 return np.sin(2 * np.pi * x)
 
 
# 多項式函數(shù)
def fit_func(p, x):
 f = np.poly1d(p)
 return f(x)
 
 
# 殘差函數(shù)
def residuals_func(p, y, x):
 ret = fit_func(p, x) - y
 return ret
 
 
x = np.linspace(0, 1, 9) # 隨機選擇9個點作為x
x_points = np.linspace(0, 1, 1000) # 畫圖時需要的連續(xù)點
 
y0 = real_func(x) # 目標(biāo)函數(shù)
y1 = [np.random.normal(0, 0.1) + y for y in y0] # 添加正太分布噪聲后的函數(shù)
 
p_init = np.random.randn(n) # 隨機初始化多項式參數(shù)
 
plsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(y1, x))
 
print 'Fitting Parameters: ', plsq[0] # 輸出擬合參數(shù)
 
pl.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
pl.plot(x_points, fit_func(plsq[0], x_points), label='fitted curve')
pl.plot(x, y1, 'bo', label='with noise')
pl.legend()
pl.show()

輸出擬合參數(shù)：

圖像如下：

從圖像上看，很明顯我們的擬合函數(shù)過擬合了，下面我們嘗試在風(fēng)險函數(shù)的基礎(chǔ)上加上正則化項，來降低過擬合的現(xiàn)象：

為此，我們只需要在殘差函數(shù)中將lambda^(1/2)p加在了返回的array的后面

regularization = 0.1 # 正則化系數(shù)lambda
 
 
# 殘差函數(shù)
def residuals_func(p, y, x):
 ret = fit_func(p, x) - y
 ret = np.append(ret, np.sqrt(regularization) * p) # 將lambda^(1/2)p加在了返回的array的后面
 return ret

輸出擬合參數(shù)：