所謂的回歸樹模型其實(shí)就是用樹形模型來解決回歸問題，樹模型當(dāng)中最經(jīng)典的自然還是決策樹模型，它也是幾乎所有樹模型的基礎(chǔ)。雖然基本結(jié)構(gòu)都是使用決策樹，但是根據(jù)預(yù)測方法的不同也可以分為兩種。第一種，樹上的葉子節(jié)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)預(yù)測值和分類樹對(duì)應(yīng)，這一種方法稱為回歸樹。第二種，樹上的葉子節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)線性模型，最后的結(jié)果由線性模型給出。這一種方法稱為模型樹。

今天我們先來看看其中的回歸樹。

回歸樹模型

CART算法的核心精髓就是我們每次選擇特征對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分的時(shí)候，永遠(yuǎn)對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行二分。無論是離散特征還是連續(xù)性特征，一視同仁。CART還有一個(gè)特點(diǎn)是使用GINI指數(shù)而不是信息增益或者是信息增益比來選擇拆分的特征，但是在回歸問題當(dāng)中用不到這個(gè)。因?yàn)榛貧w問題的損失函數(shù)是均方差，而不是交叉熵，很難用熵來衡量連續(xù)值的準(zhǔn)確度。

在分類樹當(dāng)中，我們一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)類別的預(yù)測值，這個(gè)類別的值是落到這個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)當(dāng)中訓(xùn)練樣本的類別的眾數(shù)，也就是出現(xiàn)頻率最高的類別。在回歸樹當(dāng)中，葉子節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自然就是一個(gè)連續(xù)值。這個(gè)連續(xù)值是落到這個(gè)節(jié)點(diǎn)的訓(xùn)練樣本的均值，它的誤差就是這些樣本的均方差。

另外，之前我們?cè)谶x擇特征的劃分閾值的時(shí)候，對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了優(yōu)化，只選擇了那些會(huì)引起預(yù)測類別變化的閾值。但是在回歸問題當(dāng)中，由于預(yù)測值是一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，所以這個(gè)優(yōu)化也不存在了。整體上來說，其實(shí)回歸樹的實(shí)現(xiàn)難度比分類樹是更低的。

實(shí)戰(zhàn)

我們首先來加載數(shù)據(jù)，我們這次使用的是scikit-learn庫當(dāng)中經(jīng)典的波士頓房價(jià)預(yù)測的數(shù)據(jù)。關(guān)于房價(jià)預(yù)測，kaggle當(dāng)中也有一個(gè)類似的比賽，叫做：house-prices-advanced-regression-techniques。不過給出的特征更多，并且存在缺失等情況，需要我們進(jìn)行大量的特征工程。感興趣的同學(xué)可以自行研究一下。

首先，我們來獲取數(shù)據(jù)，由于sklearn庫當(dāng)中已經(jīng)有數(shù)據(jù)了，我們可以直接調(diào)用api獲取，非常簡單：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()

X, y = boston.data, boston.target

我們輸出前幾條數(shù)據(jù)查看一下：

這個(gè)數(shù)據(jù)質(zhì)量很高，sklearn庫已經(jīng)替我們做完了數(shù)據(jù)篩選與特征工程，直接拿來用就可以了。為了方便我們傳遞數(shù)據(jù)，我們將X和y合并在一起。由于y是一維的數(shù)組形式是不能和二維的X合并的，所以我們需要先對(duì)y進(jìn)行reshape之后再進(jìn)行合并。

y = y.reshape(-1, 1)
X = np.hstack((X, y))

hstack函數(shù)可以將兩個(gè)np的array橫向拼接，與之對(duì)應(yīng)的是vstack，是將兩個(gè)array縱向拼接，這個(gè)也是常規(guī)操作。合并之后，y作為新的一列添加在了X的后面。數(shù)據(jù)搞定了，接下來就要輪到實(shí)現(xiàn)模型了。

在實(shí)現(xiàn)決策樹的主體部分之前，我們先來實(shí)現(xiàn)兩個(gè)輔助函數(shù)。第一個(gè)輔助函數(shù)是計(jì)算一批樣本的方差和，第二個(gè)輔助函數(shù)是獲取樣本的均值，也就是子節(jié)點(diǎn)的預(yù)測值。

def node_mean(X):
 return np.mean(X[:, -1])


def node_variance(X):
 return np.var(X[:, -1]) * X.shape[0]

這個(gè)搞定了之后，我們繼續(xù)實(shí)現(xiàn)根據(jù)閾值拆分?jǐn)?shù)據(jù)的函數(shù)。這個(gè)也可以復(fù)用之前的代碼：

from collections import defaultdict
def split_dataset(X, idx, thred):
 split_data = defaultdict(list)
 for x in X:
  split_data[x[idx] < thred].append(x)
 return list(split_data.values()), list(split_data.keys())

接下來是兩個(gè)很重要的函數(shù)，分別是get_thresholds和split_variance。顧名思義，第一個(gè)函數(shù)用來獲取閾值，前面說了由于我們做的是回歸模型，所以理論上來說特征的每一個(gè)取值都可以作為切分的依據(jù)。但是也不排除可能會(huì)存在多條數(shù)據(jù)的特征值相同的情況，所以我們對(duì)它進(jìn)行去重。第二個(gè)函數(shù)是根據(jù)閾值對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分，返回拆分之后的方差和。

def get_thresholds(X, i):
 return set(X[:, i].tolist())

# 每次迭代方差優(yōu)化的底線
MINIMUM_IMPROVE = 2.0
# 每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)最少樣本數(shù)
MINIMUM_SAMPLES = 10

def split_variance(dataset, idx, threshold):
 left, right = [], []
 n = dataset.shape[0]
 for data in dataset:
  if data[idx] < threshold:
   left.append(data)
  else:
   right.append(data)
 left, right = np.array(left), np.array(right)
 # 預(yù)剪枝
 # 如果拆分結(jié)果有一邊過少，則返回None，防止過擬合
 if len(left) < MINIMUM_SAMPLES or len(right) < MINIMUM_SAMPLES:
  return None
 # 拆分之后的方差和等于左子樹的方差和加上右子樹的方差和
 # 因?yàn)槭欠讲詈投皇蔷讲?，所以可以累?
 return node_variance(left) + node_variance(right)

這里我們用到了MINIMUM_SAMPLES這個(gè)參數(shù)，它是用來預(yù)剪枝用的。由于我們是回歸模型，如果不對(duì)決策樹的生長加以限制，那么很有可能得到的決策樹的葉子節(jié)點(diǎn)和訓(xùn)練樣本的數(shù)量一樣多。這顯然就陷入了過擬合了，對(duì)于模型的效果是有害無益的。所以我們要限制每個(gè)節(jié)點(diǎn)的樣本數(shù)量，這個(gè)是一個(gè)參數(shù)，我們可以根據(jù)需要自行調(diào)整。

接下來，就是特征和閾值篩選的函數(shù)了。我們需要開發(fā)一個(gè)函數(shù)來遍歷所有可以拆分的特征和閾值，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分，從所有特征當(dāng)中找到最佳的拆分可能。

def choose_feature_to_split(dataset):
 n = len(dataset[0])-1
 m = len(dataset)
 # 記錄最佳方差,特征和閾值
 var_ = node_variance(dataset)
 bestVar = float('inf')
 feature = -1
 thred = None
 for i in range(n):
  threds = get_thresholds(dataset, i)
  for t in threds:
   # 遍歷所有的閾值，計(jì)算每個(gè)閾值的variance
   v = split_variance(dataset, i, t)
   # 如果v等于None，說明拆分過擬合了，跳過
   if v is None:
    continue
   if v < bestVar:
    bestVar, feature, thred = v, i, t
 # 如果最好的拆分效果達(dá)不到要求，那么就不拆分，控制子樹的數(shù)量
 if var_ - bestVar < MINIMUM_IMPROVE:
  return None, None
 return feature, thred

和上面一樣，這個(gè)函數(shù)當(dāng)中也用到了一個(gè)預(yù)剪枝的參數(shù)MINIMUM_IMPROVE，它衡量的是每一次生成子樹帶來的收益。當(dāng)某一次生成子樹帶來的收益小于某個(gè)值的時(shí)候，說明收益很小，并不劃算，所以我們就放棄這次子樹的生成。這也是預(yù)剪枝的一種。

這些都搞定了之后，就可以來建樹了。建樹的過程和之前類似，只是我們這一次的數(shù)據(jù)當(dāng)中沒有特征的name，所以我們?nèi)サ籼卣髅Q的相關(guān)邏輯。

def create_decision_tree(dataset):
 dataset = np.array(dataset)
 
 # 如果當(dāng)前數(shù)量小于10，那么就不再繼續(xù)劃分了
 if dataset.shape[0] < MINIMUM_SAMPLES:
  return node_mean(dataset)
 
 # 記錄最佳拆分的特征和閾值
 fidx, th = choose_feature_to_split(dataset)
 if fidx is None:
  return th
 
 node = {}
 node['feature'] = fidx
 node['threshold'] = th
 
 # 遞歸建樹
 split_data, vals = split_dataset(dataset, fidx, th)
 for data, val in zip(split_data, vals):
  node[val] = create_decision_tree(data)
 return node

我們來完整測試一下建樹，首先我們需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分。將原始數(shù)據(jù)拆分成訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)，由于我們的場景比較簡單，就不設(shè)置驗(yàn)證數(shù)據(jù)了。

拆分?jǐn)?shù)據(jù)不用我們自己實(shí)現(xiàn)，sklearn當(dāng)中提供了相應(yīng)的工具，我們直接調(diào)用即可：

from sklearn.model_selection import train_test_split

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=23)

我們一般用到的參數(shù)就兩個(gè)，一個(gè)是test_size，它可以是一個(gè)整數(shù)也可以是一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。如果是整數(shù)，代表的是測試集的樣本數(shù)量。如果是一個(gè)0-1.0的浮點(diǎn)數(shù)，則代表測試集的占比。random_state是生成隨機(jī)數(shù)的時(shí)候用到的隨機(jī)種子。

我們輸出一下生成的樹，由于數(shù)據(jù)量比較大，可以看到一顆龐大的樹結(jié)構(gòu)。建樹的部分實(shí)現(xiàn)了之后，最后剩下的就是預(yù)測的部分了。

預(yù)測部分的代碼和之前分類樹相差不大，整體的邏輯完全一樣，只是去掉了feature_names的相關(guān)邏輯。

def classify(node, data):
 key = node['feature']
 pred = None
 thred = node['threshold']

 if isinstance(node[data[key] < thred], dict):
  pred = classify(node[data[key] < thred], data)
 else:
  pred = node[data[key] < thred]
   
 # 放置pred為空，挑選一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)作為替補(bǔ)
 if pred is None:
  for key in node:
   if not isinstance(node[key], dict):
    pred = node[key]
    break
 return pred

由于這個(gè)函數(shù)一次只能接受一條數(shù)據(jù)，如果我們想要批量預(yù)測的話還不行，所以最好的話再實(shí)現(xiàn)一個(gè)批量預(yù)測的predict函數(shù)比較好。

def predict(node, X):
 y_pred = []
 for x in X:
  y = classify(node, x)
  y_pred.append(y)
 return np.array(y_pred)

后剪枝

后剪枝的英文原文是post-prune，但是翻譯成事后剪枝也有點(diǎn)奇怪。anyway，我們就用后剪枝這個(gè)詞好了。

在回歸樹當(dāng)中，我們利用的思想非常樸素，在建樹的時(shí)候建立一棵盡量復(fù)雜龐大的樹。然后在通過測試集對(duì)這棵樹進(jìn)行修剪，修剪的邏輯也非常簡單，我們判斷一棵子樹存在分叉和沒有分叉單獨(dú)成為葉子節(jié)點(diǎn)時(shí)的誤差，如果修剪之后誤差更小，那么我們就減去這棵子樹。

整個(gè)剪枝的過程和建樹的過程一樣，從上到下，遞歸執(zhí)行。

整個(gè)邏輯很好理解，我們直接來看代碼：

def is_dict(node):
 return isinstance(node, dict)


def prune(node, testData):
 testData = np.array(testData)
 if testData.shape[0] == 0:
  return node
 
 # 拆分?jǐn)?shù)據(jù)
 split_data, _ = split_dataset(testData, node['feature'], node['threshold'])
 # 對(duì)左右子樹遞歸修剪
 if is_dict(node[0]):
  node[0] = prune(node[0], split_data[0])
 if is_dict(node[1]) and len(split_data) > 1:
  node[1] = prune(node[1], split_data[1])

 # 如果左右都是葉子節(jié)點(diǎn)，那么判斷當(dāng)前子樹是否需要修剪
 if len(split_data) > 1 and not is_dict(node[0]) and not is_dict(node[1]):
  # 計(jì)算修剪前的方差和
  baseError = np.sum(np.power(np.array(split_data[0])[:, -1] - node[0], 2)) + np.sum(np.power(np.array(split_data[1])[:, -1] - node[1], 2))
  # 計(jì)算修剪后的方差和
  meanVal = (node[0] + node[1]) / 2
  mergeError = np.sum(np.power(meanVal - testData[:, -1], 2))
  if mergeError < baseError:
   return meanVal
  else:
   return node
 return node

最后，我們對(duì)修剪之后的效果做一下驗(yàn)證：

從圖中可以看到，修剪之前我們?cè)跍y試數(shù)據(jù)上的均方差是19.65，而修剪之后降低到了19.48。從數(shù)值上來看是有效果的，只是由于我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)比較少，同時(shí)進(jìn)行了預(yù)剪枝，影響了后剪枝的效果。但是對(duì)于實(shí)際的機(jī)器學(xué)習(xí)工程來說，一個(gè)方法只要是有明確效果的，在代價(jià)可以承受的范圍內(nèi)，它就是有價(jià)值的，千萬不能覺得提升不明顯，而隨便否定一個(gè)方法。

這里計(jì)算均方差的時(shí)候用到了sklearn當(dāng)中的一個(gè)庫函數(shù)mean_square_error，從名字當(dāng)中我們也可以看得出來它的用途，它可以對(duì)兩個(gè)Numpy的array計(jì)算均方差。

總結(jié)

關(guān)于回歸樹模型的相關(guān)內(nèi)容到這里就結(jié)束了，我們不僅親手實(shí)現(xiàn)了模型，而且還在真實(shí)的數(shù)據(jù)集上做了實(shí)驗(yàn)。如果你是親手實(shí)現(xiàn)的模型的代碼，相信你一定會(huì)有很多收獲。

雖然從實(shí)際運(yùn)用來說我們幾乎不會(huì)使用樹模型來做回歸任務(wù)，但是回歸樹模型本身是非常有意義的。因?yàn)樵谒幕A(chǔ)上我們發(fā)展出了很多效果更好的模型，比如大名鼎鼎的GBDT。因此理解回歸樹對(duì)于我們后續(xù)進(jìn)階的學(xué)習(xí)是非常重要的。在深度學(xué)習(xí)普及之前，其實(shí)大多數(shù)高效果的模型都是以樹模型為基礎(chǔ)的，比如隨機(jī)森林、GBDT、Adaboost等等?？梢哉f樹模型撐起了機(jī)器學(xué)習(xí)的半個(gè)時(shí)代，這么說相信大家應(yīng)該都能理解它的重要性了吧。

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