如何基于java實現(xiàn)Gauss消元法過程解析

更新時間：2020年10月13日 08:34:50 投稿：yaominghui

這篇文章主要介紹了如何基于java實現(xiàn)Gauss消元法過程解析,文中通過示例代碼介紹的非常詳細，對大家的學(xué)習(xí)或者工作具有一定的參考學(xué)習(xí)價值,需要的朋友可以參考下

補充知識：

正定矩陣

奇異矩陣

嚴(yán)格對角占優(yōu)

要理解Gauss消去法，首先來看一個例子：

從上例子可以看出，高斯消去法實際上就是我們初中學(xué)的階二元一次方程組，只不過那里的未知數(shù)個數(shù)$n=2$

$n>2$時，Gauss消去法的思路實際上和解二元一次方程組是一樣的，方法如下：

將n方程組中的n−1個方程通過消元，形成一個與原方程組等價的一個新方程組，新方程組中的n−1個方程僅包含n−1個未知數(shù)。
故問題就轉(zhuǎn)化為了求解n−1元的方程組，這樣我們可以繼續(xù)消元，以次類推，直到最后一個方程組為一元一次方程組
從最后一個一元一次方程組求解出最后一個未知量，然后逐步回代入之前的方程組，從而得到所有的未知數(shù)。
我們可以看到Gauss實際上就分為兩步：消去和回代

下面通過一般化得到Gauss消元法的求解過程

以上就是Gauss消去法的基本步驟，我們再回過頭看看有沒有什么問題？

我們在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$時，如果分母很小，即：

$l_{ik}\rightarrow \infty$，那么

總結(jié)一下，能否使用Gauss消元法的情況

為了解決這個問題，我們可以使用列主元Gauss消元法。

參考了一些網(wǎng)上的代碼，這里給出Gauss的Java實現(xiàn)

package peterxiazhe;

import java.util.Scanner;

public class Gauss {
  /**
   * 列主元高斯消去法
   */
  static double A[][];
  static double b[];
  static double x[];
  
  static int n;  //n表示未知數(shù)的個數(shù)
  static int n_2;  //記錄換行的次數(shù)
  
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("--------------輸入方程組未知數(shù)的個數(shù)---------------");
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    n = sc.nextInt();
    
    A = new double[n][n];
    b = new double[n];
    x = new double[n];
    
    System.out.println("--------------輸入方程組的系數(shù)矩陣A:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        A[i][j] = sc.nextDouble();
      }
    }
    
    System.out.println("--------------輸入方程組的常量向量b:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = sc.nextDouble();
      }
    
    Elimination();
    BackSubstitution();
    PrintRoot();
  }
  
  
  //消元法
  public static void Elimination() {
    PrintA();
    for(int k = 0; k < n; k++) {
      WrapRow(k);
      for(int i = k+1; i < n; i++) {
        double l = A[i][k] / A[k][k];
        A[i][k] = 0;
        
        for(int j = k+1; j < n; j++) {
          A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j];
        }
        b[i] = b[i] - l * b[k];
      }
      //System.out.println("第" + k + "次消元后:");
      //PrintA();
    }
  }
  
  //回代法
  public static void  BackSubstitution() {
    x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1];
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
      x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i];
    }
  }
  
  public static double solve(int i) {
    double result = 0.0;
    for(int j = i; j < n; j++)
      result += A[i][j] * x[j];
    return result;
  }
  
  
  //輸出方程組的根
  public static void PrintRoot() {
    System.out.println("--------------方程組的根為---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]);
    }
  }
  
  //交換Swap函數(shù)???
  public static void Swap(double[] ar, int x, int y) {
    Double tmp = ar[x];
    ar[x] = ar[y];
    ar[y] = tmp;
  }
  
  public static void PrintA() {  //輸出A的增廣矩陣
    //System.out.println("--------------增廣矩陣---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.print(A[i][j] + " ");
      }
      System.out.println(b[i]);
    }
  }
  
  //交換矩陣的行
  public static void WrapRow(int k) {  //k表示第k+1輪消元
    double maxElement = Math.abs(A[k][k]);
    
    int WrapRowIndex = k;  //  記住要交換的行
    for(int i = k + 1; i < n; i++) {
      if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) {
        WrapRowIndex = i;
        maxElement = A[i][k];
      }
    }
    if (WrapRowIndex != k) {  //交換求得最大主元
      n_2 += 1;
      System.out.println("k = " + k + "時，" + "要交換的行為" + k + "和"+ WrapRowIndex);
      
      //先交換A
      for(int j = k; j < n; j++) {
        double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]};
        Swap(arr, 0, 1);
        A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];
//        double tmp = A[k][j];
//        A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];
//        A[WrapRowIndex][j] = tmp;
      }
      
      //再交換b
      double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]};
      Swap(arr, 0, 1);
      b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];
//      double tmp = b[k];
//      b[k] = b[WrapRowIndex];
//      b[WrapRowIndex] = tmp;
      System.out.println("--------------交換后---------------");
      PrintA();
    }    
  }
}

注意：由于Java不支持對基本數(shù)據(jù)類型的引用傳遞，這里使用了一個小技巧

java中交換兩個基本數(shù)據(jù)類型的變量函數(shù)swap(int[] source,int i,int j）

java中函數(shù)的參數(shù)傳遞機制是：基本數(shù)據(jù)類型采用值傳遞，對象采用傳引用。因此，如果要寫一個交換兩個int型變量數(shù)值的函數(shù)，還真是有點不方便，必須采用一個數(shù)組對象來作為輔助,具體實現(xiàn)如下：

//交換兩個整數(shù)
  private static void swap(int[] source, int i, int j) {

    int temp = source[i];
    source[i] = source[j];
    source[j] = temp;
  }

以上就是本文的全部內(nèi)容，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。

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