如何基于java實現(xiàn)Gauss消元法過程解析
補充知識:
要理解Gauss消去法,首先來看一個例子:
從上例子可以看出,高斯消去法實際上就是我們初中學的階二元一次方程組,只不過那里的未知數(shù)個數(shù)$n=2$
$n>2$時,Gauss消去法的思路實際上和解二元一次方程組是一樣的,方法如下:
- 將n方程組中的n−1個方程通過消元,形成一個與原方程組等價的一個新方程組,新方程組中的n−1個方程僅包含n−1個未知數(shù)。
- 故問題就轉(zhuǎn)化為了求解n−1元的方程組,這樣我們可以繼續(xù)消元,以次類推,直到最后一個方程組為一元一次方程組
- 從最后一個一元一次方程組求解出最后一個未知量,然后逐步回代入之前的方程組,從而得到所有的未知數(shù)。
- 我們可以看到Gauss實際上就分為兩步:消去和回代
下面通過一般化得到Gauss消元法的求解過程
以上就是Gauss消去法的基本步驟,我們再回過頭看看有沒有什么問題?
我們在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$時,如果分母很小,即:
$l_{ik}\rightarrow \infty$,那么
總結(jié)一下,能否使用Gauss消元法的情況
為了解決這個問題,我們可以使用列主元Gauss消元法。
參考了一些網(wǎng)上的代碼,這里給出Gauss的Java實現(xiàn)
package peterxiazhe; import java.util.Scanner; public class Gauss { /** * 列主元高斯消去法 */ static double A[][]; static double b[]; static double x[]; static int n; //n表示未知數(shù)的個數(shù) static int n_2; //記錄換行的次數(shù) public static void main(String[] args) { System.out.println("--------------輸入方程組未知數(shù)的個數(shù)---------------"); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); A = new double[n][n]; b = new double[n]; x = new double[n]; System.out.println("--------------輸入方程組的系數(shù)矩陣A:---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { A[i][j] = sc.nextDouble(); } } System.out.println("--------------輸入方程組的常量向量b:---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { b[i] = sc.nextDouble(); } Elimination(); BackSubstitution(); PrintRoot(); } //消元法 public static void Elimination() { PrintA(); for(int k = 0; k < n; k++) { WrapRow(k); for(int i = k+1; i < n; i++) { double l = A[i][k] / A[k][k]; A[i][k] = 0; for(int j = k+1; j < n; j++) { A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j]; } b[i] = b[i] - l * b[k]; } //System.out.println("第" + k + "次消元后:"); //PrintA(); } } //回代法 public static void BackSubstitution() { x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1]; for(int i = n - 2; i >= 0; i--) { x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i]; } } public static double solve(int i) { double result = 0.0; for(int j = i; j < n; j++) result += A[i][j] * x[j]; return result; } //輸出方程組的根 public static void PrintRoot() { System.out.println("--------------方程組的根為---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]); } } //交換Swap函數(shù)??? public static void Swap(double[] ar, int x, int y) { Double tmp = ar[x]; ar[x] = ar[y]; ar[y] = tmp; } public static void PrintA() { //輸出A的增廣矩陣 //System.out.println("--------------增廣矩陣---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { System.out.print(A[i][j] + " "); } System.out.println(b[i]); } } //交換矩陣的行 public static void WrapRow(int k) { //k表示第k+1輪消元 double maxElement = Math.abs(A[k][k]); int WrapRowIndex = k; // 記住要交換的行 for(int i = k + 1; i < n; i++) { if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) { WrapRowIndex = i; maxElement = A[i][k]; } } if (WrapRowIndex != k) { //交換求得最大主元 n_2 += 1; System.out.println("k = " + k + "時," + "要交換的行為" + k + "和"+ WrapRowIndex); //先交換A for(int j = k; j < n; j++) { double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]}; Swap(arr, 0, 1); A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1]; // double tmp = A[k][j]; // A[k][j] = A[WrapRowIndex][j]; // A[WrapRowIndex][j] = tmp; } //再交換b double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]}; Swap(arr, 0, 1); b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1]; // double tmp = b[k]; // b[k] = b[WrapRowIndex]; // b[WrapRowIndex] = tmp; System.out.println("--------------交換后---------------"); PrintA(); } } }
注意:由于Java不支持對基本數(shù)據(jù)類型的引用傳遞,這里使用了一個小技巧
java中交換兩個基本數(shù)據(jù)類型的變量函數(shù)swap(int[] source,int i,int j)
java中函數(shù)的參數(shù)傳遞機制是:基本數(shù)據(jù)類型采用值傳遞,對象采用傳引用。因此,如果要寫一個交換兩個int型變量數(shù)值的函數(shù),還真是有點不方便,必須采用一個數(shù)組對象來作為輔助,具體實現(xiàn)如下:
//交換兩個整數(shù) private static void swap(int[] source, int i, int j) { int temp = source[i]; source[i] = source[j]; source[j] = temp; }
以上就是本文的全部內(nèi)容,希望對大家的學習有所幫助,也希望大家多多支持腳本之家。
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