問題描述

現(xiàn)有一個(gè)有向無權(quán)圖。如下圖所示：

問題：使用某個(gè)頂點(diǎn)s作為輸入?yún)?shù)，找出從s到所有其他頂點(diǎn)的最短路徑。
說明：因?yàn)槭菬o權(quán)圖，因此我們可以為每臺(tái)邊賦值為1。這里選擇v3為s作為起點(diǎn)。

問題分析

此時(shí)立刻可以說，從s到v3的最短路徑是長(zhǎng)為0的路徑，標(biāo)記此信息，得到下圖。

現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為1的頂點(diǎn)。這些頂點(diǎn)肯定是與s鄰接的頂點(diǎn)，很明顯，v1，v6從s出發(fā)只需要一條邊就到了。所以，從s出發(fā)距離為1的頂點(diǎn)，為v1,v6。

現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為2的頂點(diǎn)。這些頂點(diǎn)肯定是與v1,v6（距離為1的頂點(diǎn)）鄰接的頂點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)與v1鄰接的頂點(diǎn)為v2,v4，與v6鄰接的頂點(diǎn)沒有（不能往回走，沒有出邊）。所以，從s出發(fā)距離為2的頂點(diǎn)，為v2,v4。

最后，考察與v2,v4鄰接的頂點(diǎn)，即v5,v7。所以，從s出發(fā)距離為3的頂點(diǎn)，為v5,v7。

這種搜索圖的方法稱為廣度優(yōu)先搜索（breadth-first search）。按層處理頂點(diǎn)，距離起點(diǎn)近的頂點(diǎn)先處理，距離起點(diǎn)遠(yuǎn)的后處理。

偽代碼（處理節(jié)點(diǎn)）

void unweighted(Vertex s){
    Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();
    //把每個(gè)頂點(diǎn)的距離設(shè)為無窮大
    for each Vertex v
        v.dist = INFINITY
    //將起點(diǎn)的距離設(shè)為0
    s.dist = 0;
    //起點(diǎn)入隊(duì)，作為算法的開始
    q.enqueue(s);
    //只要隊(duì)列不為空，便繼續(xù)循環(huán)
    while( !q.isEmpty() ){
        //獲得出隊(duì)頂點(diǎn)
        Vertex v = q.dequeue();
        //對(duì)與v鄰接的每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行處理
        for each Vertex w adjacent to v
            if(w.dist == INFINITY){
                w.dist = v.dist + 1;
                w.path = v;//代表w的上一個(gè)經(jīng)過的頂點(diǎn)為v
                //完成操作后，便入隊(duì)，以用來接著分析與w鄰接的頂點(diǎn)們
                q.enqueue( w );
            }
    }
}

實(shí)現(xiàn)過程

從s開始到頂點(diǎn)的距離放到dv列里，pv列用來代表，當(dāng)前行代表的頂點(diǎn)的上一個(gè)經(jīng)過的頂點(diǎn)。known列代表此頂點(diǎn)已經(jīng)被處理過了。

初始化時(shí)，將起點(diǎn)的距離設(shè)置為0，且所有的頂點(diǎn)都不是know的。

結(jié)合偽代碼進(jìn)行分析：
【1】當(dāng)?shù)谝淮窝h(huán)中，出隊(duì)的是v3（每次循環(huán)只出隊(duì)一個(gè)頂點(diǎn)）
【2】而第一次循環(huán)結(jié)束時(shí)，就是上表中“v3出隊(duì)后”的數(shù)據(jù)情況，如下
【3】此時(shí)，對(duì)v3的鄰接的頂點(diǎn)們都作了處理，所以v3就從F變成了T（即已知）
【4】與v3鄰接的頂點(diǎn)v1,v6都作了處理，dv都變成了1，pv都為v3
【5】而因?yàn)榕cv1,v6的鄰接頂點(diǎn)都還沒有開始處理呢，所以v1,v6的F還不能變成T

得到無權(quán)最短路徑

通過觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)有兩條路徑長(zhǎng)為3的最短路徑。
【1】v3 => v1 => v2 => v5
【2】v3 => v1 => v4 => v7
我們可以通過數(shù)據(jù)變化表的最終情況來找到這兩條路徑。

注意，第一行代表v1，以此類推。
以找到v3 => v1 => v2 => v5路徑為例，過程如下：
【1】找到距離為0的頂點(diǎn)，0在且只在第三行，所以第一個(gè)頂點(diǎn)為v3
【2】找到距離為1且pv為v3的頂點(diǎn)，有第一行和第六行，這里必須選一個(gè)，這里選第一行，所以第二個(gè)頂點(diǎn)為v1
【3】找到距離為2且pv為v1的頂點(diǎn)，有第二行和第四行，這里選第二行，所以第三個(gè)頂點(diǎn)為v2
【4】找到距離為3且pv為v2的頂點(diǎn)，只有第五行，所以第四個(gè)頂點(diǎn)為v5
【5】找到距離為4且pv為v5的頂點(diǎn)，沒有，結(jié)束。
其實(shí)，以上步驟，是給出了，在對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后，找出無權(quán)最短路徑的算法的思想。
其實(shí)可以，維護(hù)一些頂點(diǎn)間指針，用來指向下一個(gè)頂點(diǎn)，這樣就可以用遞歸的思路來做，從起點(diǎn)開始，每遞歸到下一層距離dv便加1，用一個(gè)中間變量存儲(chǔ)經(jīng)過的頂點(diǎn)，每調(diào)用一次遞歸，便打印這個(gè)中間變量，這樣，便能得到所有的無權(quán)最短路徑。
這里得到無權(quán)最短路徑的偽代碼也不給出了，以上分析供大家理解參考。

代碼實(shí)現(xiàn)

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行！還是覺得用代碼實(shí)現(xiàn)一遍比較好。

from queue import Queue
class Vertex:
    #頂點(diǎn)類
    def __init__(self,vid,outList):
        self.vid = vid#出邊
        self.outList = outList#出邊指向的頂點(diǎn)id的列表，也可以理解為鄰接表
        self.know = False#默認(rèn)為假
        self.dist = float('inf')#s到該點(diǎn)的距離,默認(rèn)為無窮大
        self.prev = 0#上一個(gè)頂點(diǎn)的id，默認(rèn)為0

#創(chuàng)建頂點(diǎn)對(duì)象
v1=Vertex(1,[2,4])
v2=Vertex(2,[4,5])
v3=Vertex(3,[1,6])
v4=Vertex(4,[3,5,6,7])
v5=Vertex(5,[7])
v6=Vertex(6,[])
v7=Vertex(7,[6])
#創(chuàng)建一個(gè)長(zhǎng)度為8的數(shù)組，來存儲(chǔ)頂點(diǎn)，0索引元素不存
vlist = [False,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]
def unweighted():
    #起點(diǎn)為v3
    vlist[3].dist = 0
    q = Queue()
    q.put(vlist[3])
    while(not q.empty()):
        v = q.get()#返回并刪除隊(duì)列頭部元素
        for w in v.outList:
            if(vlist[w].dist == float('inf')):
                vlist[w].dist = v.dist + 1
                vlist[w].prev = v.vid
                q.put(vlist[w])

unweighted()
print('v1.prev:',v1.prev,'v1.dist',v1.dist)
print('v2.prev:',v2.prev,'v2.dist',v2.dist)
print('v3.prev:',v3.prev,'v3.dist',v3.dist)
print('v4.prev:',v4.prev,'v4.dist',v4.dist)
print('v5.prev:',v5.prev,'v5.dist',v5.dist)
print('v6.prev:',v6.prev,'v6.dist',v6.dist)
print('v7.prev:',v7.prev,'v7.dist',v7.dist)

運(yùn)行結(jié)果：

與數(shù)據(jù)變化表的最終情況一致。
這里你可能會(huì)問，Vertex類的init函數(shù)中，明明有know成員，為什么在程序沒有使用know成員（在處理節(jié)點(diǎn)后，就把該節(jié)點(diǎn)的know置為Ture），因?yàn)?code>if(vlist[w].dist == float('inf'))的判斷就相當(dāng)于判斷節(jié)點(diǎn)的know是否為Ture，因?yàn)橐粋€(gè)已知的節(jié)點(diǎn)，它的距離就肯定不是無窮大了。
然后再使用遞歸，打印出所有可能的最短路徑，把以下代碼和以上代碼合在一起就可以了。

traj_list = [3]#v3是起點(diǎn)直接加上

def print_traj(dist):
    last = traj_list[-1]
    print(traj_list,'該路徑的長(zhǎng)度為：',vlist[last].dist)
    temp_list = []#存儲(chǔ)下一步的選項(xiàng)
    for i in range(1,len(vlist)):
        v = vlist[i]
        if((v.dist==dist) and (v.prev==last)):
            temp_list.append(i)
    if(len(temp_list)==0):
        return#終點(diǎn)
    #遞歸每個(gè)選項(xiàng)
    for i in temp_list:#i為頂點(diǎn)的索引
        traj_list.append(i)
        print_traj(dist+1)
        traj_list.pop()


print_traj(1)

到此這篇關(guān)于python3實(shí)現(xiàn)無權(quán)最短路徑的方法的文章就介紹到這了,更多相關(guān)python3 無權(quán)最短路徑內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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