python3實現(xiàn)無權最短路徑的方法
問題描述
現(xiàn)有一個有向無權圖。如下圖所示:
問題:使用某個頂點s作為輸入?yún)?shù),找出從s到所有其他頂點的最短路徑。
說明:因為是無權圖,因此我們可以為每臺邊賦值為1。這里選擇v3為s作為起點。
問題分析
此時立刻可以說,從s到v3的最短路徑是長為0的路徑,標記此信息,得到下圖。
現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為1的頂點。這些頂點肯定是與s鄰接的頂點,很明顯,v1,v6從s出發(fā)只需要一條邊就到了。所以,從s出發(fā)距離為1的頂點,為v1,v6。
現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為2的頂點。這些頂點肯定是與v1,v6(距離為1的頂點)鄰接的頂點。發(fā)現(xiàn)與v1鄰接的頂點為v2,v4,與v6鄰接的頂點沒有(不能往回走,沒有出邊)。所以,從s出發(fā)距離為2的頂點,為v2,v4。
最后,考察與v2,v4鄰接的頂點,即v5,v7。所以,從s出發(fā)距離為3的頂點,為v5,v7。
這種搜索圖的方法稱為廣度優(yōu)先搜索(breadth-first search)。按層處理頂點,距離起點近的頂點先處理,距離起點遠的后處理。
偽代碼(處理節(jié)點)
void unweighted(Vertex s){ Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>(); //把每個頂點的距離設為無窮大 for each Vertex v v.dist = INFINITY //將起點的距離設為0 s.dist = 0; //起點入隊,作為算法的開始 q.enqueue(s); //只要隊列不為空,便繼續(xù)循環(huán) while( !q.isEmpty() ){ //獲得出隊頂點 Vertex v = q.dequeue(); //對與v鄰接的每個頂點進行處理 for each Vertex w adjacent to v if(w.dist == INFINITY){ w.dist = v.dist + 1; w.path = v;//代表w的上一個經(jīng)過的頂點為v //完成操作后,便入隊,以用來接著分析與w鄰接的頂點們 q.enqueue( w ); } } }
實現(xiàn)過程
從s開始到頂點的距離放到dv列里,pv列用來代表,當前行代表的頂點的上一個經(jīng)過的頂點。known列代表此頂點已經(jīng)被處理過了。
初始化時,將起點的距離設置為0,且所有的頂點都不是know的。
結合偽代碼進行分析:
【1】當?shù)谝淮窝h(huán)中,出隊的是v3(每次循環(huán)只出隊一個頂點)
【2】而第一次循環(huán)結束時,就是上表中“v3出隊后”的數(shù)據(jù)情況,如下
【3】此時,對v3的鄰接的頂點們都作了處理,所以v3就從F變成了T(即已知)
【4】與v3鄰接的頂點v1,v6都作了處理,dv都變成了1,pv都為v3
【5】而因為與v1,v6的鄰接頂點都還沒有開始處理呢,所以v1,v6的F還不能變成T
得到無權最短路徑
通過觀察圖,可以發(fā)現(xiàn)有兩條路徑長為3的最短路徑。
【1】v3 => v1 => v2 => v5
【2】v3 => v1 => v4 => v7
我們可以通過數(shù)據(jù)變化表的最終情況來找到這兩條路徑。
注意,第一行代表v1,以此類推。
以找到v3 => v1 => v2 => v5路徑為例,過程如下:
【1】找到距離為0的頂點,0在且只在第三行,所以第一個頂點為v3
【2】找到距離為1且pv為v3的頂點,有第一行和第六行,這里必須選一個,這里選第一行,所以第二個頂點為v1
【3】找到距離為2且pv為v1的頂點,有第二行和第四行,這里選第二行,所以第三個頂點為v2
【4】找到距離為3且pv為v2的頂點,只有第五行,所以第四個頂點為v5
【5】找到距離為4且pv為v5的頂點,沒有,結束。
其實,以上步驟,是給出了,在對頂點進行數(shù)據(jù)處理后,找出無權最短路徑的算法的思想。
其實可以,維護一些頂點間指針,用來指向下一個頂點,這樣就可以用遞歸的思路來做,從起點開始,每遞歸到下一層距離dv便加1,用一個中間變量存儲經(jīng)過的頂點,每調用一次遞歸,便打印這個中間變量,這樣,便能得到所有的無權最短路徑。
這里得到無權最短路徑的偽代碼也不給出了,以上分析供大家理解參考。
代碼實現(xiàn)
紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行!還是覺得用代碼實現(xiàn)一遍比較好。
from queue import Queue class Vertex: #頂點類 def __init__(self,vid,outList): self.vid = vid#出邊 self.outList = outList#出邊指向的頂點id的列表,也可以理解為鄰接表 self.know = False#默認為假 self.dist = float('inf')#s到該點的距離,默認為無窮大 self.prev = 0#上一個頂點的id,默認為0 #創(chuàng)建頂點對象 v1=Vertex(1,[2,4]) v2=Vertex(2,[4,5]) v3=Vertex(3,[1,6]) v4=Vertex(4,[3,5,6,7]) v5=Vertex(5,[7]) v6=Vertex(6,[]) v7=Vertex(7,[6]) #創(chuàng)建一個長度為8的數(shù)組,來存儲頂點,0索引元素不存 vlist = [False,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7] def unweighted(): #起點為v3 vlist[3].dist = 0 q = Queue() q.put(vlist[3]) while(not q.empty()): v = q.get()#返回并刪除隊列頭部元素 for w in v.outList: if(vlist[w].dist == float('inf')): vlist[w].dist = v.dist + 1 vlist[w].prev = v.vid q.put(vlist[w]) unweighted() print('v1.prev:',v1.prev,'v1.dist',v1.dist) print('v2.prev:',v2.prev,'v2.dist',v2.dist) print('v3.prev:',v3.prev,'v3.dist',v3.dist) print('v4.prev:',v4.prev,'v4.dist',v4.dist) print('v5.prev:',v5.prev,'v5.dist',v5.dist) print('v6.prev:',v6.prev,'v6.dist',v6.dist) print('v7.prev:',v7.prev,'v7.dist',v7.dist)
運行結果:
與數(shù)據(jù)變化表的最終情況一致。
這里你可能會問,Vertex類的init函數(shù)中,明明有know成員,為什么在程序沒有使用know成員(在處理節(jié)點后,就把該節(jié)點的know置為Ture),因為if(vlist[w].dist == float('inf'))
的判斷就相當于判斷節(jié)點的know是否為Ture,因為一個已知的節(jié)點,它的距離就肯定不是無窮大了。
然后再使用遞歸,打印出所有可能的最短路徑,把以下代碼和以上代碼合在一起就可以了。
traj_list = [3]#v3是起點直接加上 def print_traj(dist): last = traj_list[-1] print(traj_list,'該路徑的長度為:',vlist[last].dist) temp_list = []#存儲下一步的選項 for i in range(1,len(vlist)): v = vlist[i] if((v.dist==dist) and (v.prev==last)): temp_list.append(i) if(len(temp_list)==0): return#終點 #遞歸每個選項 for i in temp_list:#i為頂點的索引 traj_list.append(i) print_traj(dist+1) traj_list.pop() print_traj(1)
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