（一）圖像幾何變換理論知識(shí)

（1）圖像的平移與比例

         圖像的平移很簡(jiǎn)單，平移前后的坐標(biāo)分別為（x，y）和（x',y'）,則滿足的關(guān)系式為

              x'= x +Tx；

       y'= y +Ty；

其中Tx與Ty分別為對(duì)應(yīng)的偏移量。 

圖像的比例也很簡(jiǎn)單，可以描述為：x'=S_x * x;  y'=S_y * y;

那么上述的關(guān)系怎么用一個(gè)矩陣來(lái)表示呢？一個(gè)很重要的矩陣來(lái)了，那就是變換矩陣T，并且對(duì)于二維坐標(biāo)下的點(diǎn)，一般轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算，用一個(gè)三維點(diǎn)表示二維的，只不過(guò)把最后一項(xiàng)值置為1，這樣一個(gè)二維坐標(biāo)（x，y）就變?yōu)?nbsp;（x，y，1）了。在把上述的平移等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為矩陣形式為：

比例等式關(guān)系為：

（2）關(guān)于旋轉(zhuǎn)變換

對(duì)于某個(gè)點(diǎn)，在坐標(biāo)系中的變換為（旋轉(zhuǎn)角度為θ，并且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正）：

那么可以看出，這個(gè)時(shí)候?qū)?yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為T就如圖上所示。

（3）關(guān)于對(duì)稱變換

對(duì)稱變換比較簡(jiǎn)單，還是以點(diǎn)的變換為例，比如變換前的點(diǎn)P（x，y）和變換后的點(diǎn)P'=（x',y'），那么對(duì)稱變換包括點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、y=x、y=-x等等，點(diǎn)的變換可以自己推導(dǎo)下，這樣也就可以得到對(duì)應(yīng)的變換矩陣T了。

比如，關(guān)于x對(duì)稱的話，T=[1,0,0;0,-1,0;0,0,1],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的話，T=[-1,0,0;0,-1,0;0,0,1];關(guān)于y=x對(duì)稱的話，T=[0,1,0;1,0,0;0,0,1];等等。

（4）復(fù)合變換

下面再重點(diǎn)介紹下復(fù)合變換，因?yàn)橛械淖儞Q不是簡(jiǎn)單的初等變換，但是有一點(diǎn)需要明確的是任何復(fù)合變換都可以用初等變換一步步變換而來(lái)。比如前面的旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)選取的是原點(diǎn)，這樣才有的那個(gè)公式，那要是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)不是原點(diǎn)怎么辦？比如任一點(diǎn)s（X_f,Y_f）,那么點(diǎn)P繞著點(diǎn)s旋轉(zhuǎn)一定的角度θ該怎么表示呢？這里就要把這個(gè)復(fù)合變換化成為3個(gè)簡(jiǎn)單的初等變換，具體步驟為：首先把s點(diǎn)平移操作至原點(diǎn)（這個(gè)過(guò)程中，相當(dāng)于所有的點(diǎn)都按照一定的方向平移了），然后相當(dāng)于在原點(diǎn)對(duì)平移后的P點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，變換完后再把這個(gè)店反平移回去，這樣是不是就相當(dāng)于完成了那個(gè)復(fù)合變換。此時(shí)的變換矩陣為T，則T可以看出是兩次平移矩陣T1、T2和一次旋轉(zhuǎn)矩陣T3相乘的組合，即T=T1*T3*T2，注意方向不能反，因?yàn)槭蔷仃囅喑?，反的話相乘的結(jié)果不一定相同。

那么這個(gè)時(shí)候總的變換矩陣T就是：

這個(gè)在編程實(shí)現(xiàn)原點(diǎn)移動(dòng)位置時(shí)至關(guān)重要。

幾何變換的基礎(chǔ)知識(shí)就說(shuō)到這，具體的可以再找相關(guān)文章了解。

（二）matlab編程實(shí)現(xiàn)變換

（1）對(duì)圖像的理解

        Matlab表示一副圖像的方法很簡(jiǎn)單，對(duì)于灰度圖像來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)二維矩陣，行與列存的就是像素點(diǎn)的位置，而矩陣值就是該像素點(diǎn)的灰度值。這里以有名的一副圖lenna圖為例，那么直接image=imread（‘lenna.jpg'）就可以加載帶matlab工作框中，顯示的話imshow（image）就可以了，顯示如下：

（2）比例變換

了解了變換的基本原理，要知道其中最重要的就是關(guān)于坐標(biāo)的變換。如果以上圖中的行和列都為1的點(diǎn)作為原點(diǎn)的話，變換的程序?yàn)椋?/p>

%-------------函數(shù)說(shuō)明----------------
%    比例變換
%       輸入變量：img 灰白圖像（彩色不行）
%                s_x  x方向上的比例系數(shù)
%                s_y  y方向上的比例系數(shù)
%-------------------------------------
function bili(img,s_x,s_y)
[m,n] = size(img);
new_matrix = ones(m,n);
T1 = [s_x,0,0;0,s_y,0;0,0,1];   %對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)矩陣
for i=1:m
    for j=1:n
        p = floor([i,j,1]*T1^-1);%由P_new = P_old*T 可得：P_old = P_new*(T^-1)
        if (p(1)<=m)&&(p(1)>0)&&(p(2)<=n)&&(p(2)>0) %限制范圍 
         new_matrix(i,j) = img(p(1),p(2));   %坐標(biāo)變換關(guān)系
        else 
        new_matrix(i,j) = 0;     %沒(méi)有的點(diǎn)賦值為0
        end
    end
end
figure;imshow(new_matrix,[]);
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這樣運(yùn)行對(duì)應(yīng)程序：

bili（image,2,2）:

bili(image,0.5,0.5):

可以看到，分別對(duì)圖像擴(kuò)大和縮小的時(shí)候，都是以行和列為1為原點(diǎn)來(lái)操作的。如果還是以這個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作的話，就會(huì)非常不協(xié)調(diào)不好看。況且如果了解matlab本身自帶這些旋轉(zhuǎn)、比例操作函數(shù)的話會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)操作原點(diǎn)是圖像的正中心，這樣操作起來(lái)后才很好看。那么現(xiàn)在的問(wèn)題就是如何把圖像的中心作為我們?cè)谧鴺?biāo)系下認(rèn)為的原點(diǎn)呢？那就是上面講到的三步走了，首先平移中心點(diǎn)至原點(diǎn)，再變換，再平移至中心點(diǎn)就好了。我們需要做的就是確定平移的行與列的長(zhǎng)度（平移的長(zhǎng)度應(yīng)該是圖像行與列總長(zhǎng)度的一半吧，如果是把中心點(diǎn)當(dāng)做原點(diǎn)的話）?；诖诵薷纳鲜龅某绦蛉缦拢?/p>

function bili(img,s_x,s_y)
[m,n] = size(img);
new_matrix = ones(m,n);
T2 = [1,0,0;0,1,0;-m/2,-n/2,1];  %x、y軸平移值原點(diǎn)
T3 = [1,0,0;0,1,0;m/2,n/2,1];    %x、y軸反平移
 
T1 = [s_x,0,0;0,s_y,0;0,0,1];   %對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)矩陣
T = T2*T1*T3;     %P_new = P_old*T2*T1*T3  順序不能錯(cuò)了
for i=1:m
    for j=1:n
        p = floor([i,j,1]*T1^-1);%由P_new = P_old*T 可得：P_old = P_new*(T^-1)
        if (p(1)<=m)&&(p(1)>0)&&(p(2)<=n)&&(p(2)>0) %限制范圍 
         new_matrix(i,j) = img(p(1),p(2));   %坐標(biāo)變換關(guān)系
        else 
        new_matrix(i,j) = 0;     %沒(méi)有的點(diǎn)賦值為0
        end
    end
end
% figure;imshow(img,[]);
figure;imshow(new_matrix,[]);

從程序可以看出，只是多了那么兩個(gè)矩陣而已就可以實(shí)現(xiàn)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)移了。

運(yùn)行相應(yīng)程序，bili（image,2,2）:

bili（image,0.5,0.5）:

可以看出，這樣操作以后是不是協(xié)調(diào)多了，基本上和matlab自帶的函數(shù)有相同的功能了。

（3）對(duì)稱變換

   對(duì)稱變換和上述變換差不多，無(wú)非修改相應(yīng)的變換矩陣，程序如下：

%-------------函數(shù)說(shuō)明----------------
%    對(duì)稱變換
%       輸入變量：img 灰白圖像（彩色不行）
%                num 對(duì)稱類型
%     0：原點(diǎn)對(duì)稱，1：x軸對(duì)稱，2：y軸對(duì)稱
%     3：y=x軸對(duì)稱 4：y=-x軸對(duì)稱  其他。。
%-------------------------------------
function duichen(img,num)
[m,n] = size(img);
new_matrix = ones(m,n);
T2 = [1,0,0;0,1,0;-m/2,-n/2,1];  %x、y軸平移值原點(diǎn)
T3 = [1,0,0;0,1,0;m/2,n/2,1];    %x、y軸反平移
 
T_x = [1,0,0;0,-1,0;0,0,1];     %x軸對(duì)稱矩陣
T_y = [-1,0,0;0,1,0;0,0,1];     %y軸對(duì)稱矩陣
T_o = [-1,0,0;0,-1,0;0,0,1];    %原點(diǎn)對(duì)稱矩陣
T_yx = [0,1,0;1,0,0;0,0,1];     %y=x對(duì)稱的矩陣
T_xy = [0,-1,0;-1,0,0;0,0,1];   %y=-x對(duì)稱的矩陣
switch num                     %選擇某一種對(duì)稱方式
    case 0
        T = T2*T_o*T3 ;
    case 1
        T = T2*T_x*T3 ;
    case 2
        T = T2*T_y*T3 ;
    case 3
        T = T2*T_yx*T3 ;
    case 4
        T = T2*T_xy*T3 ;
end
for i=1:m                  %對(duì)于每一個(gè)像素點(diǎn)
    for j=1:n
        p = floor([i,j,1]*T^-1);%由P_new = P_old*T 可得：P_old = P_new*(T^-1)
        if (p(1)<=m)&&(p(1)>0)&&(p(2)<=n)&&(p(2)>0) %限制范圍 
         new_matrix(i,j) = img(p(1),p(2));   %坐標(biāo)變換關(guān)系
        else 
        new_matrix(i,j) = 0;     %沒(méi)有的點(diǎn)賦值為0
        end
    end
end
% figure;imshow(img,[]);
figure;imshow(new_matrix,[]);
————————————————

運(yùn)行相應(yīng)程序：

>> duichen(image,0)

>> duichen(image,2)

（4）旋轉(zhuǎn)變換

%-------------函數(shù)說(shuō)明----------------
%    旋轉(zhuǎn)變換
%       輸入變量：img 灰白圖像（彩色不行）
%                theat 變化的角度，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正             
%---------------------------------------
function xuanzhuan(img,theat)
[m,n] = size(img);
new_matrix = ones(m,n);
T2 = [1,0,0;0,1,0;-m/2,-n/2,1];  %x、y軸平移值原點(diǎn)
T3 = [1,0,0;0,1,0;m/2,n/2,1];    %x、y軸反平移
 
T1 = [cos(theat),sin(theat),0;-sin(theat),cos(theat),0;0,0,1];%旋轉(zhuǎn)變換
T = T2*T1*T3;                  %P_new = P_old*T2*T1*T3  順序不能錯(cuò)了
for i=1:m
    for j=1:n
        p = floor([i,j,1]*T^-1);%由P_new = P_old*T 可得：P_old = P_new*(T^-1)
        if (p(1)<=m)&&(p(1)>0)&&(p(2)<=n)&&(p(2)>0) %限制范圍 
         new_matrix(i,j) = img(p(1),p(2));   %坐標(biāo)變換關(guān)系
        else 
        new_matrix(i,j) = 0;     %沒(méi)有的點(diǎn)賦值為0
        end
    end
end
% figure;imshow(img,[]);
figure;imshow(new_matrix,[]);

運(yùn)行相應(yīng)程序：

>> xuanzhuan(image,pi/4)

>> xuanzhuan(image,-pi/3)

至此，一些基本的幾何變換操作就完成了，其他的變換就在次基礎(chǔ)上發(fā)揮了。

有一個(gè)問(wèn)題是上述的變換在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，原圖的部分圖像會(huì)被切割掉，這個(gè)是沒(méi)有考慮到的，因?yàn)椴糠窒袼攸c(diǎn)在變換以后必然超出范圍，對(duì)比matlab自帶的旋轉(zhuǎn)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)自帶的函數(shù)是可以對(duì)出界的部分進(jìn)行壓縮到范圍內(nèi)。當(dāng)然這一點(diǎn)我們也可以編程處理，不過(guò)稍微要麻煩點(diǎn)，必須對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)再進(jìn)行壓縮處理，這個(gè)有待研究。

二維圖像的幾何變換大致如此了。那么引申一下，對(duì)于三維圖像的幾何變換怎么處理了？其實(shí)歸結(jié)到底還是有一個(gè)變換矩陣T，而這個(gè)矩陣不再是3*3的了，這個(gè)時(shí)候增加了一維，那么對(duì)應(yīng)的矩陣也得增加一維變成4*4的了，維數(shù)的增加必然帶來(lái)處理上的更加復(fù)雜了，不過(guò)理解了二維變換的原理，再來(lái)處理三維的話還是很好處理的，弄清楚對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以了。

總結(jié)

到此這篇關(guān)于matlab原始處理圖像幾何變換的文章就介紹到這了,更多相關(guān)matlab原始處理圖像內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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