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使用Python手工計算x的算數(shù)平方根,來自中國古人的數(shù)學智慧

 更新時間:2021年09月02日 12:07:59   作者:Hann Yang  
本篇采用的計算方法既非二分法也非牛頓迭代法,而是把中國古代的手工計算平方根的方法轉成代碼來完成。代碼有點煩雜,算是拋磚引玉吧,期待高手們寫出更好的代碼來

代碼 

sqrt(x, w=20, Float=False)
x 為非負實數(shù),允許科學計數(shù)法
w 是當sqrt(x)為無理數(shù)或結果的小數(shù)部分很長時的最大位數(shù)。默認w=20
Float 當Float=True輸出浮點數(shù),w設置如超出float精度則失效。默認輸出字符串類型

def sqrt(x,w=20,Float=False):
    if x==0 or x==1:return str(x*1.0)
    if x<0: raise ValueError('x>=0')
    s,power = str(x),0
    t = s.find('e')
    if t!=-1:
        s=s.split('e')
        s[1] = int(s[1])
        if int(s[1])%2:
            tmp = str(s[0])
            s = [tmp[0]+tmp[2]+tmp[1]+tmp[3:],s[1]-1]
        s,power = *s,
    t = s.find('.')
    if t!=-1:
        if t%2: s='0'+s
        if not len(s)%2: s+='0'
    else:
        if len(s)%2: s='0'+s
    s = s.split('.')
    t = t,len(s[0])//2
    try: s = s[0]+s[1]
    except: s = s[0]
    s = [s[i:i+2] for i in range(len(s)) if not i%2][::-1]
    n = int(s.pop())
    i = 1
    while n>0 and i*i<=n: i+=1
    i -= 1
    m,n = str(n-i*i),i
    div = lambda x,y:[(i,y-(20*x+i)*i) for i in range(10) if y>=(20*x+i)*i]
    dot,ret = t[1],str(n)
    while w>0:
        dot -= 1;
        if dot==0: ret += '.'
        if dot<=0: w-=1
        m += s.pop() if s else '00'
        q,d = div(n,int(m))[-1]
        m,n = str(d),10*n+q
        ret += str(q)
        if len(s)==0 and d==0:
            if ret.find('.')==-1: ret += '.0'
            break
    if power!=0:
        if power>0: ret += 'e+0'+str(power//2)
        else: ret += 'e-0'+str(power//2)[1:]
    if Float: ret = float(ret)
    return ret

原理

據(jù)說這個平方根計算法出自《九章算術》,成書在公元一世紀前后,總結了先秦到兩漢的古代數(shù)學成就。古代數(shù)學家也真是鬼才,怎么想出來的?

操作過程:

小數(shù)點前后2位2位的隔開,不足2位用0補。然后首位試開方,第二位開始反復用公式 (Qn+1 * 20 + Qn) * Qn來試商 ; 下一結果Qn+2 = 10*Qn+1 + Qn。具體流程請自行搜索了解,大致流程如下:

測試 sqrt(n)與n**0.5

>>> for i in range(17):
	print(f'sqrt({i})={sqrt(i)}')
	print(f'{i}**0.5={i**0.5}')	
sqrt(0)=0.0
0**0.5=0.0
sqrt(1)=1.0
1**0.5=1.0
sqrt(2)=1.41421356237309504880
2**0.5=1.4142135623730951
sqrt(3)=1.73205080756887729352
3**0.5=1.7320508075688772
sqrt(4)=2.0
4**0.5=2.0
sqrt(5)=2.23606797749978969640
5**0.5=2.23606797749979
sqrt(6)=2.44948974278317809819
6**0.5=2.449489742783178
sqrt(7)=2.64575131106459059050
7**0.5=2.6457513110645907
sqrt(8)=2.82842712474619009760
8**0.5=2.8284271247461903
sqrt(9)=3.0
9**0.5=3.0
sqrt(10)=3.16227766016837933199
10**0.5=3.1622776601683795
sqrt(11)=3.31662479035539984911
11**0.5=3.3166247903554
sqrt(12)=3.46410161513775458705
12**0.5=3.4641016151377544
sqrt(13)=3.60555127546398929311
13**0.5=3.605551275463989
sqrt(14)=3.74165738677394138558
14**0.5=3.7416573867739413
sqrt(15)=3.87298334620741688517
15**0.5=3.872983346207417
sqrt(16)=4.0
16**0.5=4.0
>>> 
>>> 
>>> sqrt(2,Float=True) == 2**0.5
True
>>> sqrt(3,Float=True) == 3**0.5
True
>>> sqrt(123,Float=True) == 123**0.5
True
>>> 

科學計算法測試

>>> sqrt(1.23e+50)
'1.10905365064094171620e+025'
>>> 1.23e+50**0.5
1.1090536506409416e+25
>>> sqrt(1.23e+51)
'3.50713558335003638336e+025'
>>> 1.23e+51**0.5
3.5071355833500364e+25
>>> sqrt(1.23e-50)
'1.10905365064094171620e-025'
>>> 1.23e-50**0.5
1.1090536506409418e-25
>>> sqrt(1.23e-51)
'3.50713558335003638336e-026'
>>> 1.23e-51**0.5
3.5071355833500365e-26
>>> 

精度測試

>>> sqrt(2,100)
'1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
80731766797379907324784621070388503875343276415727'
>>> sqrt(10,500)
'3.16227766016837933199889354443271853371955513932521
68268575048527925944386392382213442481083793002951
87347284152840055148548856030453880014690519596700
15390334492165717925994065915015347411333948412408
53169295770904715764610443692578790620378086099418
28371711548406328552999118596824564203326961604691
31433612894979189026652954361267617878135006138818
62785804636831349524780311437693346719738195131856
78403231241795402218308045872844614600253577579702
82864402902440797789603454398916334922265261206779'
>>> sqrt(123,2000)
'11.09053650640941716205160010260993291846337674245402
00228773128390850016331012896052334560795952104923
97609680678955280792187905933115292625456231839306
77251943912251383176574941199469582196976000438135
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91236339758444278806715795552342614568993355758259
00257454016962686033789212494918951906742724387717
86816775058970553110606825772728456503631816127185
97236514403953501043370950197906664648656587402375
47456007486620199478701365589929806411967684259454
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49746216571370198706996668818361845968235199845816
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50866454616067044997958059525209028336061119869487
42330123683852090419874148218422184948658174234109
57266920859313915279433828848348895422861007776818
60008218306382698626583716405660864687800252861028
31434598682004467042622580768146827595778429365752
19552960734589394860581552514632178318401717998004
12904477515916582731378709757426533231624676879051
21277303475419893966421915682962327965202183939540
07041575389626966661084388718863067485822881867488
00698329255619212758441301451712107894934052042668
13620261632356745839351541875140890682676375675084
74266141686980135645708807796240849684849035273656
15026469136389861472142022294507047846522584450886
83823021978858519029304962564972861464819539784518
43062402845984165814550404820570869649363216162428
32571582506529019502195720558586845830492641836612
65156560044594234298289454649568716622838760718998
14917847213523793754337786561375901264942957378010
57481468928695787589958271831183026476218342365982
72020291818311722410861264031411990033164594115086'
>>> 

1000位到1萬位的耗時測試

>>> from time import time
>>> for i in range(1,11):
	t = time()
	s = sqrt(2,i*1000)
	print(i*1000,':',time()-t) 
1000 : 0.09099745750427246
2000 : 0.5609970092773438
3000 : 1.7489948272705078
4000 : 3.7850000858306885
5000 : 7.239997863769531
6000 : 12.108997106552124
7000 : 19.044997692108154
8000 : 28.065003395080566
9000 : 39.57198643684387
10000 : 54.04999876022339
>>> 

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