二叉樹簡介

關(guān)于樹的介紹，請參考：http://www.dbjr.com.cn/article/222488.htm

一、二叉樹簡介

二叉樹是每個節(jié)點最多有兩個子樹的樹結(jié)構(gòu)，是一種特殊的樹，如下圖，就是一棵二叉樹。

二叉樹是由n(n>=0)個節(jié)點組成的數(shù)據(jù)集合。當 n=0 時，二叉樹中沒有節(jié)點，稱為空二叉樹。當 n=1 時，二叉樹只有根節(jié)點一個節(jié)點。當 n>1 時，二叉樹的每個節(jié)點都最多只能有兩個子樹，遞歸地構(gòu)建成一棵完整的二叉樹。

二叉樹的兩個子樹被稱為左子樹(left subtree)和右子樹(right subtree)。在二叉樹中，如果節(jié)點沒有子樹，則左子樹和右子樹都為空，如果節(jié)點只有一個子樹，要根據(jù)子樹的左右來區(qū)分子樹是左子樹還是右子樹，如果節(jié)點有兩個子樹，則左子樹和右子樹都有。

如果，樹中存在一個節(jié)點，該節(jié)點的子樹超過兩個，則該樹不是二叉樹，如下圖中，節(jié)點C有三個子樹，所以這不是一棵二叉樹。

二、幾種特殊的二叉樹

只要樹中所有節(jié)點的子樹都不超過兩個(0個，1個，2個)，這就是一棵普通的二叉樹。在二叉樹中，有一些比較特殊，除了滿足二叉樹的結(jié)構(gòu)外，還滿足一些特殊的規(guī)則，主要有如下幾種。

1. 完全二叉樹：假設(shè)一棵二叉樹的深度為d(d>1)，除了第d層外，其它各層的節(jié)點數(shù)目均已達最大值，且第d層所有節(jié)點從左向右連續(xù)地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹。

完全二叉樹的葉節(jié)點只能出現(xiàn)在最下層和次下層，最下層的葉節(jié)點靠左緊密地排列，次下層如果存在葉節(jié)點，葉節(jié)點緊密地靠右排列。

如下圖，樹的深度為4，除了第4層，節(jié)點數(shù)達到了最大(“掛滿了”)，第4層的節(jié)點都是緊密地靠左排列(中間沒有空位)，所以這是一棵完全二叉樹。

如下圖，樹的深度也為4，除了第4層，節(jié)點數(shù)也達到了最大，但是第4層的節(jié)點不是緊靠左側(cè)排列的(節(jié)點E沒有子節(jié)點，空了兩個位置)，所以這不是一棵完全二叉樹，只是一棵普通的二叉樹。

2. 滿二叉樹：所有葉節(jié)點都在最底層的完全二叉樹稱為滿二叉樹。滿二叉樹是完全二叉樹中的特殊情況，除了滿足完全二叉樹的特征，還滿足所有葉節(jié)點都在最底層。滿二叉樹是相同深度的二叉樹中葉節(jié)點最多的樹。

如下圖，這首先是一棵完全二叉樹，其次，所有的葉節(jié)點都在最底層，所以這是一棵滿二叉樹。其實，滿二叉樹也可以這么定義，二叉樹有節(jié)點的所有層，節(jié)點數(shù)目均已達最大值，則這是一棵滿二叉樹。

3. 平衡二叉樹(AVL樹)：如果二叉樹的所有節(jié)點的兩棵子樹的高度差不大于1，則二叉樹被稱為平衡二叉樹。

如上圖中的滿二叉樹，任何節(jié)點的兩棵子樹高度差都是0(高度都相等，高度差不大于1)，所以這是一棵平衡二叉樹。

如下圖中的二叉樹，對于根節(jié)點A，左子樹是以節(jié)點B為根的子樹，高度為4，右子樹是以節(jié)點C為根的子樹，高為2，A的左子樹與右子樹的高度差為2(高度差大于1)，所以這不是一棵平衡二叉樹。

AVL樹得名于它的發(fā)明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，是兩人姓的縮寫。AVL樹中任何節(jié)點的兩個子樹的高度差不大于1，通過高度來判斷是否平衡，所以也被稱為高度平衡樹。

4. 排序二叉樹(二叉查找樹，Binary Search Tree)：又稱為二叉搜索樹、有序二叉樹。

排序二叉樹需要具有如下的性質(zhì)：

4.1 如果二叉樹的左子樹不為空，則左子樹上所有節(jié)點的值均小于它的根節(jié)點的值。

4.2 如果二叉樹的右子樹不為空，則右子樹上所有節(jié)點的值均大于它的根節(jié)點的值。

4.3 如果獨立地看，左子樹、右子樹也分別為排序二叉樹，用遞歸的思想，直到樹的葉節(jié)點。

如下圖，根節(jié)點8的左子樹中，所有節(jié)點的值都小于根節(jié)點，右子樹中，所有節(jié)點的值都大于根節(jié)點，并且左子樹和右子樹都是排序二叉樹，所以這是一棵排序二叉樹。

5. 斜樹：除了葉節(jié)點，所有節(jié)點都只有左子樹的二叉樹稱為左斜樹。除了葉節(jié)點，所有節(jié)點都只有右子樹的二叉樹稱為右斜樹。他們統(tǒng)稱為斜樹，判斷二叉樹是否為斜樹，主要是看樹的結(jié)構(gòu)，對節(jié)點的值沒有要求。

如下圖，左邊的樹中，除了葉節(jié)點D，所有節(jié)點都只有左子樹，這是一棵左斜樹，同理，右邊的樹是一棵右斜樹。

三、二叉樹的特點和性質(zhì)

通過對二叉樹的介紹和對幾種特殊二叉樹的了解，可知二叉樹有以下特點：

1. 每個節(jié)點最多有兩顆子樹，所以二叉樹中節(jié)點的度不大于2，二叉樹的度也不會大于2。

2. 左子樹和右子樹的次序不能顛倒。

3. 即使某節(jié)點只有一棵子樹，也要根據(jù)左右來區(qū)分它是左子樹還是右子樹。

此外，二叉樹還具有如下性質(zhì)：

1. 在二叉樹的第i層，至多有 2^(i-1) 個節(jié)點(i>0) 。

這里說的是至多的情況，滿二叉樹的每一層節(jié)點都“掛滿”了，所以可以用下圖中的滿二叉樹來驗證，第1層的節(jié)點數(shù)為2^(1-1)=1個，... 第4層的節(jié)點個數(shù)最多為 2^(4-1)=8個。

2. 深度為i的二叉樹至多有 2^i - 1 個節(jié)點(k>0) 。

這里也是說至多的情況，所以也用滿二叉樹來驗證，深度為4時，二叉樹的節(jié)點數(shù)最多為 2^4 - 1=16-1=15個。

3. 對于任意一棵二叉樹，如果其葉節(jié)點數(shù)為M，度為2的節(jié)點總數(shù)為N，則 M=N+1 。

為了不失一般性，下圖中的樹是一棵普通的二叉樹，葉節(jié)點為 F,H,I,J,K,L ，共6個，度為2的節(jié)點為 A,B,C,D,G ，共5個。

4. 具有n個節(jié)點的滿二叉樹的深度必為 log2(n+1) 。這個性質(zhì)是上面第2點的逆運算。

5. 對于一棵完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號為 i 的節(jié)點，(葉節(jié)點除外)其左子節(jié)點的編號必為2i，(葉節(jié)點除外)其右子節(jié)點的編號必為 2i+1，(根節(jié)點除外)其父節(jié)點的編號必為i/2(取整除)。

如下圖，這是一棵完全二叉樹，已經(jīng)按規(guī)則編好號了，可以任意取一個節(jié)點進行驗證，都是符合此性質(zhì)的。

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