Python學習Turtle庫畫對稱勾股樹體會分形驚艷

更新時間：2021年09月30日 17:35:31 作者：Hann Yang

這篇文章主要為大家介紹了Python學習中如何使用Turtle庫畫對稱勾股樹，從而體會到分形世界的驚艷，文中附含詳細示例代碼有需要的朋友可以借鑒參考下

分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形的設想。
分形是一個數(shù)學術(shù)語，也是一套以分形特征為研究主題的數(shù)學理論。分形理論既是非線性科學的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學科，是研究一類現(xiàn)象特征的新的數(shù)學分科，相對于其幾何形態(tài)，它與微分方程與動力系統(tǒng)理論的聯(lián)系更為顯著。分形的自相似特征可以是統(tǒng)計自相似，構(gòu)成分形也不限于幾何形式，時間過程也可以，故而與鞅論關系密切。
分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界普遍存在，因此分形幾何學又被稱為描述大自然的幾何學。分形幾何學建立以后，很快就引起了各個學科領域的關注。不僅在理論上，而且在實用上分形幾何都具有重要價值。

——摘自百度百科

自然界中的分形幾何

人為的分形圖案

分形樹是分形幾何中的一小種類型，一棵分形樹相當于一棵“滿二叉樹”。通常都用遞歸來實現(xiàn)，遞歸條件通常分兩派，一派是用長度遞減，直到長度不滿足某個條件時退出；另一派則是按層數(shù)來遞歸，相當于“滿二叉樹”的層序遍歷。前一派的長度遞歸相當于“滿二叉樹”的先序遍歷，從根出發(fā)先左子樹后右子樹，每一棵子樹都按這種“先根后左右”的順序遍歷。

舉個例子：

源代碼：

import turtle 
def bintree(size):
    angle = 60    # 分叉的角度
    if size > 5:    # 長度退出條件
        turtle.forward(size)
        turtle.left(angle)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.right(angle*2)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.left(angle)
        turtle.backward(size)
def main():
    turtle.speed(0)
    turtle.hideturtle()
    turtle.penup()
    turtle.left(90)
    turtle.backward(100)
    turtle.showturtle()
    turtle.pendown()
    turtle.pensize(2)
    turtle.color('green')
    bintree(150)
    turtle.done() 
if __name__ == '__main__':
 
    main()

以上代碼中長度以等比數(shù)列遞減，公比1/1.6；當然也可以改成等差數(shù)列形式。此方式缺點樹的層數(shù)不能直接控制，需要用初始長度、遞減公式和退出條件來計算得出。

勾股樹，其實就是分形樹的一種，只是不像上例一樣簡單地畫2個分叉，而是畫直角三角形加上各邊上的正方形，就像平面幾何中勾股定理證明時畫的示意圖。

以下是我用Turtle庫畫的一棵12層的對稱勾股樹，使用“層序遍歷”方式：

根據(jù)二叉樹的性質(zhì)可知：12層的樹會有 2^12 - 1 個正方形以及同樣數(shù)量的三角形。時間復雜度為指數(shù)級，在關掉畫筆蹤跡開關的情況下畫完此時耗時43秒。

簡單點，就用一個6層的來示意一下其“層序”的過程：

源代碼：

from turtle import *
 def Square(self,length):
    for _ in range(5):
        self.forward(length)
        self.right(90)
def Triangle(self,length):
    self.left(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(135)
    self.forward(length)
def Move2Right(self,length):
    self.back(length)
    self.right(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90) 
def Recursive(n, tracer, length):
    if n<1: return
    tracers = []
    for left in tracer:
        if n<3: left.pencolor('green')
        else: left.pencolor('brown')
        Square(left, length)
        Triangle(left, length)
        right = left.clone()
        left.right(45)
        Move2Right(right, length)
        tracers.append(left)
        tracers.append(right)
    Recursive(n-1, tracers, length/2**0.5)
def Setup(self, length, speed):
    self.hideturtle()
    self.speed(speed)
    self.penup()
    self.goto(-length*0.5, -length*1.8)
    self.seth(90)
    self.pensize(2)
    self.pendown() 
def main(level, length, speed=-1):
    setup(800,600)
    title('Fractal Tree')
    if speed==-1: tracer(0)
    else: tracer(1)
    t = Turtle()
    Setup(t, length, speed)
    from time import sleep
    sleep(2)
    Recursive(level, list([t]), length)
    done()
    bye() 
if __name__ == '__main__':    
    main(6,150,10)

主函數(shù)： main(level, length, speed=-1)

參數(shù)：
level: 樹的層數(shù)
length: 最底層正方形的邊長
speed: 1~10，畫筆速度遞增；=0時速度最快；=-1時關閉畫筆蹤跡。

本篇完，其他分形圖待繼......

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