Python數(shù)學(xué)建模PuLP庫線性規(guī)劃進階基于字典詳解
1、基于字典的創(chuàng)建規(guī)劃問題
上篇中介紹了使用 LpVariable 對逐一定義每個決策變量，設(shè)定名稱、類型和上下界，類似地對約束條件也需要逐一設(shè)置模型參數(shù)。在大規(guī)模的規(guī)劃問題中，這樣逐個定義變量和設(shè)置模型參數(shù)非常繁瑣，效率很低。Pulp 庫提供了一種快捷方式，可以結(jié)合 Python語言的循環(huán)和容器，使用字典來創(chuàng)建問題。
-（1）使用快捷方法建立一個規(guī)劃問題，可以用字典類型（dict） 建立多個變量，例如：
name = [‘廢料1', ‘廢料2', ‘廢料3', ‘廢料4', ‘鎳', ‘鉻', ‘鉬']
# A dictionary of the costs of each of the Ingredients is created
mass = pulp.LpVariable.dicts(“原料”, material, lowBound=0, cat=‘Continuous')
-（2）使用字典類型（dict） 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件的參數(shù)，例如：
cost = {
‘廢料1': 16,
‘廢料2': 10,
‘廢料3': 8,
‘廢料4': 9,
‘鎳': 48,
‘鉻': 60,
‘鉬': 53}
-（3）使用 遍歷循環(huán)結(jié)構(gòu) 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件，例如：
AlloyModel += pulp.lpSum([cost[item] * mass[item] for item in material]), “總生產(chǎn)成本”
AlloyModel += pulp.lpSum([mass[item] for item in material]) == 1000, “質(zhì)量約束”
2、線性規(guī)劃問題案例
本篇以合金鋼材生產(chǎn)投料問題為例，分析基于列表和字典創(chuàng)建問題的快捷方法。
問題描述：
某鋼鐵廠通過熔煉回收的金屬廢料并添加一定新料的方法生產(chǎn)滿足化學(xué)成分要求的合金，計劃生產(chǎn)1000千克的合金。
所有金屬廢料的主要成分是鐵，不同金屬廢料還含有各種微量元素。
金屬廢料、新料的各組分含量占比、可用數(shù)量和單位成本如下表所示。生成合金中各組分的含量要求，也如表中所示。
問如何安排投料比例，在滿足合金組分含量要求的條件下的材料成本最?。?/p>
| 材料 | 碳 | 鎳 | 鉻 | 鉬 | 可用量 | 成本 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 廢料1 | 0.80 | 18.0 | 12.0 | 0.0 | 75 | 16 |
| 廢料2 | 0.70 | 3.2 | 1.1 | 0.1 | 250 | 10 |
| 廢料3 | 0.85 | 0 | 0 | 0 | 不限 | 8 |
| 廢料4 | 0.40 | 0 | 0 | 0 | 不限 | 9 |
| 鎳 | 0 | 100 | 0 | 0 | 不限 | 48 |
| 鉻 | 0 | 0 | 100 | 0 | 不限 | 60 |
| 鉬 | 0 | 0 | 0 | 100 | 不限 | 53 |
| 合金下限 | 0.65 | 3.0 | 1.0 | 1.1 | / | / |
| 合金上限 | 0.75 | 3.5 | 1.2 | 1.3 | / | / |
3、建立模型
（1）決策變量
x1：廢料 1 用量（千克）
x2：廢料 2 用量（千克）
x3：廢料 3 用量（千克）
x4：廢料 4 用量（千克）
x5：原料鎳 用量（千克）
x6：原料鉻 用量（千克）
x7：原料鉬 用量（千克）
（2）目標(biāo)函數(shù)
min cost = 16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7
（3）約束條件
0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 >= 0.65*1000
0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 <= 0.75*1000
18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000
18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000
12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000
12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.2*1000
0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000
0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.3*1000
（4）變量取值范圍
xi >= 0, i=1,2,…7
x1 <= 75, x2 <= 250
4、PuLP 程序1：使用 LpVariable 逐一定義變量
本程序與上篇的方法相同，使用 LpVariable 逐一定義變量。完整的程序代碼如下：
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
# 1.建立優(yōu)化問題 AlloyLP: 求最小值(LpMinimize)
AlloyLP = pulp.LpProblem("合金生產(chǎn)材料優(yōu)化", sense=pulp.LpMinimize) # 定義問題，求最小值
# 2.定義決策變量 x1~x7
x1 = pulp.LpVariable('廢料1#', lowBound=0, upBound=75.0, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('廢料2#', lowBound=0, upBound=250., cat='Continuous') # 定義 x2
x3 = pulp.LpVariable('廢料3#', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x3
x4 = pulp.LpVariable('廢料4#', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x4
x5 = pulp.LpVariable('原料鎳', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x5
x6 = pulp.LpVariable('原料鉻', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x6
x7 = pulp.LpVariable('原料鉬', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x7
# 3.定義目標(biāo)函數(shù) cost
AlloyLP += (16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7) # 投料成本
# 4.設(shè)置約束條件
AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000) # 等式約束
AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 >= 0.65*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 <= 0.75*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 <= 1.2*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 <= 1.3*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000) # 等式約束
# 5.求解線性規(guī)劃問題
AlloyLP.solve()
# 6.輸出優(yōu)化結(jié)果
print(AlloyLP) # 輸出問題設(shè)定參數(shù)和條件
# print("求解狀態(tài):", pulp.LpStatus[AlloyLP.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in AlloyLP.variables():
print(v.name, " = ", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("最小材料成本 = ", pulp.value(AlloyLP.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值
# = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
5、PuLP 程序2：使用 dict 定義決策變量和約束條件
本程序使用 dict 定義變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件參數(shù)，便于復(fù)雜問題的參數(shù)設(shè)定。
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
# 1.建立優(yōu)化問題 AlloyLP: 求最小值(LpMinimize)
AlloyLP = pulp.LpProblem("合金生產(chǎn)材料優(yōu)化", sense=pulp.LpMinimize) # 定義問題，求最小值
# 2.定義決策變量 x1~x7
x1 = pulp.LpVariable('廢料1#', lowBound=0, upBound=75.0, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('廢料2#', lowBound=0, upBound=250., cat='Continuous') # 定義 x2
x3 = pulp.LpVariable('廢料3#', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x3
x4 = pulp.LpVariable('廢料4#', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x4
x5 = pulp.LpVariable('原料鎳', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x5
x6 = pulp.LpVariable('原料鉻', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x6
x7 = pulp.LpVariable('原料鉬', lowBound=0, cat='Continuous') # 定義 x7
# 3.定義目標(biāo)函數(shù) cost
AlloyLP += (16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7) # 投料成本
# 4.設(shè)置約束條件
AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000) # 等式約束
AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 >= 0.65*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 <= 0.75*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 <= 1.2*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 <= 1.3*1000) # 不等式約束
AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000) # 等式約束
# 5.求解線性規(guī)劃問題
AlloyLP.solve()
# 6.輸出優(yōu)化結(jié)果
print(AlloyLP) # 輸出問題設(shè)定參數(shù)和條件
# print("求解狀態(tài):", pulp.LpStatus[AlloyLP.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in AlloyLP.variables():
print(v.name, " = ", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("最小材料成本 = ", pulp.value(AlloyLP.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值
# = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
6、Python程序和運行結(jié)果
程序 1 和程序 2 的運行結(jié)果完全相同，結(jié)果如下：
Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 鋼材生產(chǎn)問題: MINIMIZE 16*原料_廢料1 + 10*原料_廢料2 + 8*原料_廢料3 + 9*原料_廢料4 + 53*原料_鉬 + 60*原料_鉻 + 48*原料_鎳 + 0 SUBJECT TO 質(zhì)量約束: 原料_廢料1 + 原料_廢料2 + 原料_廢料3 + 原料_廢料4 + 原料_鉬 + 原料_鉻 + 原料_鎳 = 1000 碳最小占比: 0.8 原料_廢料1 + 0.7 原料_廢料2 + 0.85 原料_廢料3 + 0.4 原料_廢料4 >= 650 碳最大占比: 0.8 原料_廢料1 + 0.7 原料_廢料2 + 0.85 原料_廢料3 + 0.4 原料_廢料4 <= 750 鎳最小占比: 18 原料_廢料1 + 3.2 原料_廢料2 + 100 原料_鎳 >= 3000 鎳最大占比: 18 原料_廢料1 + 3.2 原料_廢料2 + 100 原料_鎳 <= 3500 鉻最小占比: 12 原料_廢料1 + 1.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉻 >= 1000 鉻最大占比: 12 原料_廢料1 + 1.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉻 <= 1200 鉬最小占比: 0.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉬 >= 1100 鉬最大占比: 0.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉬 <= 1300 廢料1可用量: 原料_廢料1 <= 75 廢料2可用量: 原料_廢料2 <= 250 VARIABLES 原料_廢料1 Continuous 原料_廢料2 Continuous 原料_廢料3 Continuous 原料_廢料4 Continuous 原料_鉬 Continuous 原料_鉻 Continuous 原料_鎳 Continuous 優(yōu)化狀態(tài): Optimal 原料_廢料1 = 75.0 原料_廢料2 = 90.909091 原料_廢料3 = 672.28283 原料_廢料4 = 137.30808 原料_鉬 = 10.909091 原料_鉻 = 0.0 原料_鎳 = 13.590909 最優(yōu)總成本 = 9953.671725000002
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