1.鏈?zhǔn)椒▌t

根據(jù)以前的知識(shí)，如果我們需要尋找到目標(biāo)參數(shù)的值的話，我們需要先給定一個(gè)初值，然后通過梯度下降，不斷對(duì)其更新，直到最終的損失值最小即可。而其中最關(guān)鍵的一環(huán)，就是梯度下降的時(shí)候，需要的梯度，也就是需要求最終的損失函數(shù)對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

如下圖，假設(shè)有一個(gè)神經(jīng)元，是輸入層，有2個(gè)數(shù)據(jù)，參數(shù)分別是w1和w2，偏置項(xiàng)為b，那么我們需要把這些參數(shù)組合成一個(gè)函數(shù)z，然后將其輸入到sigmoid函數(shù)中，便可得到該神經(jīng)元的輸出結(jié)果。過程中，z對(duì)w求導(dǎo)十分好算，就是x1和x2。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，如下圖左下角所示，我們整體的計(jì)算過程就是，通過前向傳播求出z對(duì)w的偏導(dǎo)，再通過反向傳播找到損失函數(shù)C對(duì)z的偏導(dǎo)。

2.前向傳播

計(jì)算z對(duì)w的偏導(dǎo)：前向傳播相當(dāng)簡單，對(duì)參數(shù)的偏導(dǎo)結(jié)果就是參數(shù)對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)，如下圖所示。輸入數(shù)據(jù)對(duì)于輸入層來說就是原始數(shù)據(jù)1和-1，對(duì)于其他層，輸入數(shù)據(jù)就是通過sigmoid轉(zhuǎn)換后的輸出結(jié)果。

3.后向傳播

計(jì)算C對(duì)z的偏導(dǎo)：

設(shè)每一個(gè)神經(jīng)元中，sigmoid函數(shù)最終的輸出為a，則C對(duì)z的偏導(dǎo)，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，就可以寫作a對(duì)z的偏導(dǎo)，乘上C對(duì)a的偏導(dǎo)。

a對(duì)z的偏導(dǎo)，只是一個(gè)sigmoid函數(shù)，該函數(shù)偏導(dǎo)可以計(jì)算。

C對(duì)a的偏導(dǎo)，由于a輸入進(jìn)了下一層的多個(gè)神經(jīng)元，假設(shè)有2個(gè)，因此，C對(duì)a的偏導(dǎo)，等于分別對(duì)這兩個(gè)神經(jīng)元求偏導(dǎo)并求和。比如第一個(gè)神經(jīng)元z' = 輸入a*權(quán)重w3+...，那么C對(duì)這個(gè)神經(jīng)元求偏導(dǎo)，就是C對(duì)z'求偏導(dǎo)，乘上z'對(duì)a求偏導(dǎo)，后一項(xiàng)十分簡單，就是w3；對(duì)于z''來說，對(duì)a求偏導(dǎo)就是w4

那么問題又變成了，C對(duì)z', z''求偏導(dǎo)的結(jié)果是什么？

假！如！ 損失函數(shù)C對(duì)z'和z''的偏導(dǎo)已知了：

以上C對(duì)z求偏導(dǎo)的計(jì)算過程，可以寫作以下的式子，括號(hào)外就是a對(duì)z求偏導(dǎo)，括號(hào)內(nèi)就是C對(duì)a求偏導(dǎo)：

這個(gè)式子可以看做一個(gè)反向傳播的神經(jīng)元，如下圖所示：

這個(gè)神經(jīng)元中，損失函數(shù)C對(duì)sigmoid轉(zhuǎn)化前的z' 和z''求導(dǎo)的結(jié)果，就是輸入，權(quán)重w3,w4是輸入對(duì)應(yīng)的權(quán)重，將這兩個(gè)輸入乘上參數(shù)后相加，再和sigmoid函數(shù)對(duì)z的導(dǎo)數(shù)相乘，最終得到C對(duì)z的偏導(dǎo)。而sigmoid對(duì)z的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)是常數(shù)，并且已經(jīng)是確定了的，因?yàn)槲覀兺ㄟ^前向傳播計(jì)算，就已經(jīng)能夠?qū)⑵浯_定。

有了第一個(gè)反向傳播的輸出結(jié)果，那么就可以有隱藏層的其他神經(jīng)元所需要的結(jié)果，以此類推，對(duì)于所有神經(jīng)元，我們均可算出損失函數(shù)對(duì)其z的偏導(dǎo)。有了這個(gè)，那么我們結(jié)合z對(duì)w的偏導(dǎo)，就可以計(jì)算出每一個(gè)參數(shù)w的梯度。從而進(jìn)行梯度下降。

4.計(jì)算方式整理

假設(shè)我們計(jì)算的是輸出層，那么我們通過前向傳播后，已經(jīng)得到了一個(gè)輸出了，于是就已經(jīng)有損失函數(shù)C了，同時(shí)前向傳播也讓我們得到了z'和z''，那么所有需要的數(shù)據(jù)已就緒，可以直接計(jì)算出來C對(duì)z'和z''的偏導(dǎo)。

假如我們計(jì)算的是中間層，在計(jì)算C對(duì)z'的偏導(dǎo)的時(shí)候，還需要下一層通過反向傳播給到的C對(duì)兩個(gè)其他z的結(jié)果，那么我們就繼續(xù)往下計(jì)算，繼續(xù)尋找下一層計(jì)算的時(shí)候，需要的下下一層的信息，一直到輸出層后，我們得到一個(gè)，再往回推，以此遞歸計(jì)算前面待定的所有項(xiàng)。

5.總結(jié)

既然我們需要輸出層的內(nèi)容作為反向傳播的輸入，我們在進(jìn)行完前向傳播之后，就別考慮前面需要什么求導(dǎo)了，干脆直接從結(jié)尾開始算起，得到每一層的損失函數(shù)C對(duì)每一個(gè)z的偏導(dǎo)即可。

至此，我們得到了每一個(gè)神經(jīng)元前向傳播的z對(duì)w的偏導(dǎo)（其實(shí)就是sigmoid轉(zhuǎn)化后的輸出a），以及每一個(gè)神經(jīng)元反向傳播后的C對(duì)z的偏導(dǎo)，二者相乘，就得到了我們需要的結(jié)果，也就是每一個(gè)參數(shù)的梯度。

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