馬氏距離(Mahalanobis distance)是由印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬哈拉諾比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示點(diǎn)與一個(gè)分布之間的距離。它是一種有效的計(jì)算兩個(gè)未知樣本集的相似度的方法。與歐氏距離不同的是，它考慮到各種特性之間的聯(lián)系（例如：一條關(guān)于身高的信息會(huì)帶來一條關(guān)于體重的信息，因?yàn)閮烧呤怯嘘P(guān)聯(lián)的），并且是尺度無關(guān)的(scale-invariant)，即獨(dú)立于測量尺度。對(duì)于一個(gè)均值為μ，協(xié)方差矩陣為Σ的多變量向量，其馬氏距離為sqrt( (x-μ)'Σ^(-1)(x-μ) )。

因此，對(duì)于馬氏距離最終的定義式為：

上代碼，將馬氏距離求取式，封裝為Python函數(shù)，拷貝即可使用：

from numpy import *
import numpy
def get_mahalanobis(x, i, j):
    xT = x.T  # 求轉(zhuǎn)置
    D = numpy.cov(xT)  # 求協(xié)方差矩陣
    invD = numpy.linalg.inv(D)  # 協(xié)方差逆矩陣
    assert 0 <= i < x.shape[0], "點(diǎn) 1 索引超出樣本范圍。"
    assert -1 <= j < x.shape[0], "點(diǎn) 2 索引超出樣本范圍。"
    x_A = x[i]
    x_B = x.mean(axis=0) if j == -1 else x[j]
    tp = x_A - x_B
    return numpy.sqrt(dot(dot(tp, invD), tp.T))

使用方式如下：

if __name__ == '__main__':
    # 初始化數(shù)據(jù)點(diǎn)集，或者從其它地方加載
    x = numpy.array([[3, 4], [5, 6], [2, 2], [8, 4]])
    # 求第0個(gè)點(diǎn)到均值之間的馬氏距離（j為-1時(shí)代表均值）
    print(get_mahalanobis(x, 0, -1))
    # 求第0個(gè)點(diǎn)到第1個(gè)點(diǎn)之間的馬氏距離
    print(get_mahalanobis(x, 0, 1))
    # 求第2個(gè)點(diǎn)到第3個(gè)點(diǎn)之間的馬氏距離（索引從0開始算起）
    print(get_mahalanobis(x, 2, 3))

運(yùn)行結(jié)果貼圖