前言：

線性回歸模型屬于經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，該模型的應(yīng)用場景是根據(jù)已知的變量（即自變量）來預(yù)測某個(gè)連續(xù)的數(shù)值變量（即因變量）。例如餐廳根據(jù)媒體的營業(yè)數(shù)據(jù)（包括菜譜價(jià)格、就餐人數(shù)、預(yù)訂人數(shù)、特價(jià)菜折扣等）預(yù)測就餐規(guī)?；驙I業(yè)額；網(wǎng)站根據(jù)訪問的歷史數(shù)據(jù)（包括新用戶的注冊量、老用戶的活躍度、網(wǎng)站內(nèi)容的更新頻率等）預(yù)測用戶的支付轉(zhuǎn)化率；醫(yī)院根據(jù)患者的病歷數(shù)據(jù)（如體檢指標(biāo)、藥物復(fù)用情況、平時(shí)的飲食習(xí)慣等）預(yù)測某種疾病發(fā)生的概率。

理解什么是線性回歸

線性回歸也被稱為最小二乘法回歸（Linear Regression, also called Ordinary Least-Squares (OLS) Regression）。它的數(shù)學(xué)模型是這樣的：

y = a+ b* x＋e

其中，a 被稱為常數(shù)項(xiàng)或截距；b 被稱為模型的回歸系數(shù)或斜率；e 為誤差項(xiàng)。a 和 b 是模型的參數(shù)。

當(dāng)然，模型的參數(shù)只能從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出來：

y'= a' + b'* x

我們的目標(biāo)是選擇合適的參數(shù)，讓這一線性模型最好地?cái)M合觀測值。擬合程度越高，模型越好。

由于針對具體操作相關(guān)文檔太多，所以本文內(nèi)容涉及具體操作較少，主要是講方法。

本文內(nèi)所用到的包：

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns
import scipy.stats as stats
import statsmodels.api as sm
from scipy.stats import chi2_contingency

1.簡單線性回歸模型

• 也被稱為一元線性回歸模型，是指模型中只含有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量
• 一般可以通過散點(diǎn)圖刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并基于散點(diǎn)圖繪制簡單線性擬合線，進(jìn)而使變量之間的關(guān)系體現(xiàn)地更加直觀

以經(jīng)典的剎車距離為例：

ccpp=pd.read_csv('cars.csv')
sns.set(font=getChineseFont(8).get_name())
sns.lmplot(x='speed',y='dist',data=ccpp,
               legend_out=False,#將圖例呈現(xiàn)在圖框內(nèi)
               truncate=True#根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)范圍，對擬合線做截?cái)嗖僮?
               )
plt.show()

從散點(diǎn)圖來看，自變量speed與因變量dist之間存在明顯的正相關(guān)，即剎車速度越大，剎車距離越長。圖內(nèi)的陰影部分為擬合線95%的置信區(qū)間，每個(gè)散點(diǎn)都是盡可能地圍繞在擬合線附近。

通過ols函數(shù)求得回歸模型的參數(shù)解'y~s'表示簡單線性回歸模型

fit=sm.formula.ols('dist~speed',data=ccpp).fit()
print(fit.params)#Intercept：-17.579095,speed：3.932409

因此，關(guān)于剎車距離的簡單線性模型為：

dist=-17.579095+3.932409speed

也就是說，剎車速度每提升一個(gè)單位，將促使剎車距離增加3.93個(gè)單位。

2.多元線性回歸模型

實(shí)際應(yīng)用中，簡單線性回歸模型并不多見，因?yàn)橛绊懸蜃兞康淖宰兞客恢挂粋€(gè)用于構(gòu)建多元線性回歸模型的數(shù)據(jù)實(shí)際上由兩部分組成：一個(gè)是一維的因變量y；另一個(gè)是二維矩陣的自變量x

以利潤表Profit為例，研究影響利潤的因素

表結(jié)構(gòu)如下：

profit=pd.read_csv(‘Profit.csv',sep=",")

fit=sm.formula.ols('Profit~RD_Spend+Administration+Marketing_Spend',data=profit).fit()
print(fit.params)#Intercept:50122.192990,RD_Spend:0.805715,Administration:-0.026816,Marketing_Spend:0.027228

不考慮模型的顯著性和回歸系數(shù)的顯著性，得到的回歸模型可以表示為：

Profit=50122.192990+0.805715RD_Spend-0.026816Administration+0.027228Marketing_Spend

但是，在實(shí)際應(yīng)用中，單純的利用ols函數(shù)將偏回歸系數(shù)計(jì)算出來，并構(gòu)造一個(gè)多元線性回歸模型，得到的結(jié)果往往不是理想的，這時(shí)候需要借助于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的F檢驗(yàn)法和t檢驗(yàn)法，完成模型的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

2.1 應(yīng)用F檢驗(yàn)法完成模型的顯著性檢驗(yàn)

步驟如下：

1. 提出問題的原假設(shè)和備擇假設(shè)；
2. 在原假設(shè)的條件下，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量F；
3. 根據(jù)樣本信息，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的值；
4. 對比統(tǒng)計(jì)量的值和理論值，如果計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量值超過理論的值，則拒絕原假設(shè)，否則需要接受原假設(shè)

假設(shè)認(rèn)為模型的所有偏回歸系數(shù)全為0（即認(rèn)為沒有一個(gè)自變量可以構(gòu)成因變量的線性組合）

通常在實(shí)際的應(yīng)用中將概率值p與0.05做比較，小于0.05則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)

2.2應(yīng)用t檢驗(yàn)法完成回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

模型通過了顯著性檢驗(yàn)，只能說明模型關(guān)于因變量的線性組合是合理的，但不能說明每個(gè)自變量對因變量都具有顯著意義，所以還要對模型的回歸系數(shù)做顯著性檢驗(yàn)。

只有當(dāng)回歸系數(shù)通過了t檢驗(yàn)，才可以認(rèn)為模型的系數(shù)是顯著的t檢驗(yàn)的出發(fā)點(diǎn)就是驗(yàn)證每一個(gè)自變量是否能夠成為影響因變量的重要因素t檢驗(yàn)的原假設(shè)是假定第j變量的回歸系數(shù)為0，即認(rèn)為該變量不是因變量的影響因素t統(tǒng)計(jì)量大于理論的t分布值，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)；也可以根據(jù)概率值P判斷是否需要拒絕原假設(shè)

#返回模型概覽
print(fit.summary())

由圖可知：F-statistic:296.0，Prob (F-statistic):4.53e-30，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量值為296.0，對應(yīng)的概率值P遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，說明應(yīng)該拒絕原假設(shè)，認(rèn)為模型是顯著的。

在各自變量的t統(tǒng)計(jì)中，Administration和Marketing_Spend變量所對應(yīng)的概率值p大于0.05，說明不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該變量是不顯著的，無法認(rèn)定其實(shí)影響Profit的重要因素

對于F檢驗(yàn)來說，如果無法拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為模型是無效的，通常解決辦法是增加數(shù)據(jù)量、改變自變量或選擇其他模型；對于t檢驗(yàn)，如果無法拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為對應(yīng)的自變量與因變量之間不存在線性關(guān)系，通常的解決辦法是剔除該變量或修正該變量（如選擇對于的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換函數(shù)對其修正處理）

根據(jù)返回的fit模型的概覽信息，由于Administration和Marketing_Spend變量的t檢驗(yàn)結(jié)果是不顯著的，故可以探索其余因變量Profit之間的散點(diǎn)關(guān)系，如果確實(shí)沒有線性關(guān)系，可將其從模型中剔除。

sns.lmplot(x='Administration',y='Profit',data=profit,
               legend_out=False,#將圖例呈現(xiàn)在圖框內(nèi)
               fit_reg=False#不顯示擬合曲線
               )
sns.lmplot(x='Marketing_Spend',y='Profit',data=profit,
               legend_out=False,#將圖例呈現(xiàn)在圖框內(nèi)
               fit_reg=False#不顯示擬合曲線
               )
plt.show()

圖中自變量Administration、Marketing_Spend與因變量Profit沒有呈現(xiàn)明顯的線性關(guān)系，故可以認(rèn)為兩者不存在互相依賴關(guān)系

#將Administration、Marketing_Spend變量從模型中剔除
fit2 = sm.formula.ols('Profit~RD_Spend',data=profit).fit()
print(fit2.params)#Intercept：49032.899141，RD_Spend ：0.854291
print(fit2.summary())#Prob (F-statistic):3.50e-32；P>|t|：0.000

對模型fit重新調(diào)整后，得到的新模型fit2仍然通過了顯著性檢驗(yàn)，而且每個(gè)自變量所對應(yīng)的系數(shù)也是通過顯著性檢驗(yàn)的。

最終得到的模為：

Profit=49032.899141+0.854291RD_Spend

該回歸模型中的系數(shù)解釋為：在其他條件不變的情況下RD_Spend每增加一個(gè)單位，將使Profit增加0.854291個(gè)單位。

3.基于回歸模型識(shí)別異常點(diǎn)

1. 回歸模型計(jì)算過程會(huì)依賴于自變量的均值，均值的最大弊端是其容易受到異常點(diǎn)（或極端值）的影響
2. 建模數(shù)據(jù)中存在異常點(diǎn)，一定程度上會(huì)影響到建模的有效性
3. 對于現(xiàn)行回歸模型來說，通常利用帽子矩陣、DFFITS準(zhǔn)則、學(xué)生化殘差或Cook距離進(jìn)行異常點(diǎn)檢測
4. 使用以上4中方法判別數(shù)據(jù)集的第i個(gè)樣本是否為異常點(diǎn)，前提是已構(gòu)建好一個(gè)線性回歸模型，然后基于由get_influence方法獲得4種統(tǒng)計(jì)量的值

繼續(xù)使用上面的數(shù)據(jù)。

#異常值檢驗(yàn)
outliers=fit2.get_influence()
#高杠桿值點(diǎn)（帽子矩陣）
leverage=outliers.hat_matrix_diag
#diffits值
dffits=outliers.dffits[0]
#學(xué)生化殘差
resid_stu=outliers.resid_studentized_external
#cook距離
cook=outliers.cooks_distance[0]

#合并以上4種異常值檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量值

concat_result=pd.concat([pd.Series(leverage,name=‘leverage'),pd.Series(dffits,name=‘diffits'),

pd.Series(resid_stu,name=‘resid_stu'),pd.Series(cook,name=‘cook')],axis=1)

#將上面的concat_result結(jié)果與profit數(shù)據(jù)集合并

raw_outliers=pd.concat([profit,concat_result],axis=1)

前5行數(shù)據(jù)集打印結(jié)果如下：

簡單起見，這里使用學(xué)生化殘差，當(dāng)學(xué)生化殘差大于2時(shí)，即認(rèn)為對應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)為異常值

#計(jì)算異常值數(shù)量的比例
outliers_ratio=sum(np.where(np.abs(raw_outliers.resid_stu)>2,1,0))/raw_outliers.shape[0]
print(outliers_ratio)#0.04

結(jié)果顯示，通過學(xué)生化殘差識(shí)別出了異常值，并且異常值比例為4%。由于異常值比例非常小，故可以考慮將其直接從數(shù)據(jù)集中刪除，由此繼續(xù)建模將會(huì)得到更加穩(wěn)健且合理的模型

#通過篩選的方法，將異常點(diǎn)排除
none_outliers=raw_outliers.loc[np.abs(raw_outliers.resid_stu)<=2,]
#應(yīng)用無異常值的數(shù)據(jù)集重新建模
fit3=sm.formula.ols('Profit~RD_Spend',data=profit).fit()
#返回模型的概覽信息
print(fit3.params)#Intercept:49032.899141,RD_Spend:0.854291
print(fit3.summary())

排除異常點(diǎn)之后得到的模型fit3，不管是模型的顯著性檢驗(yàn)還是系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，各自的概率P值均小于0.05，說明他們均通過顯著性檢驗(yàn)。

模型fit3為：Profit=49032.899141+0.854291RD_Spend

從fit3模型來看RD_Spend（研發(fā)成本）每增加一個(gè)單位的成本，所帶來的Profit（收益）提升要明顯比其他的高，所以將更多的成本花費(fèi)在研發(fā)上是個(gè)不錯(cuò)的選擇。

以原始數(shù)據(jù)profit為例，根據(jù)fit3模型重新預(yù)測各成本下的收益預(yù)測值：

pred=fit3.predict(profit[['RD_Spend']])
#對于實(shí)際值與預(yù)測值的比較
df=pd.concat([pd.Series(profit.Profit/100,name='real'),pd.Series(pred/100,name='prediction')],axis=1)
df['誤差絕對值']=np.abs((df['real']-df['prediction'])/100)
print(df.head(10))

從結(jié)果上看有的預(yù)測值比較接近實(shí)際值，有的預(yù)測測偏離實(shí)際值較遠(yuǎn)，但從總體上來說，預(yù)測值與實(shí)際值之間的差異并不是特別大。

4.含有離散變量的回歸模型

1. 虛擬變量也稱為啞變量，專門用來解決離散型變量無法量化的問題
2. 解決思路為：根據(jù)離散變量的值，衍生出多個(gè)"0-1"值的新變量 如：0表示不屬于當(dāng)前狀態(tài)，1表示屬于當(dāng)前狀態(tài)
3. 假設(shè)有未婚、已婚、離婚三個(gè)啞變量，違背了數(shù)據(jù)的非多重共線性假設(shè)（即啞變量之間存在非常高的相關(guān)性），非已婚非離婚為未婚狀態(tài)，所以在構(gòu)建啞變量處理離散型自變量時(shí)，啞變量的個(gè)數(shù)應(yīng)該為n-1，其中n表示離散型自變量的不同值個(gè)數(shù)
4. 對于線性回歸模型來說，從所有啞變量中刪除某個(gè)啞變量時(shí)，被刪除的啞變量便成為參照變量（因?yàn)榭梢詫⒄兆兞坑糜趯Ρ绕渌兞繉σ蜃兞康挠绊懀?/li>

以經(jīng)典的泰坦尼克號(hào)數(shù)據(jù)為例：

titanic=pd.read_csv('Titanic_all.csv',sep=",")
print(titanic.dtypes)

12個(gè)變量中涉及5個(gè)離散型變量和7個(gè)數(shù)值型變量。根據(jù)知己情況可知，船艙等級Pclass應(yīng)為離散型變量（3等、2等、1等，并非數(shù)值）

查看各變量的缺失比例

print(titanic.isnull().sum(axis=0)/titanic.shape[0])

Cabin缺失比例超過77%，Embarked缺失比例僅為0.22%，二者數(shù)據(jù)刪除。

在這里我們需要利用年齡的非缺失數(shù)據(jù)構(gòu)造多元線性回歸模型，進(jìn)而預(yù)測缺失比例為19.87%的乘客年齡

如需基于其余變量來預(yù)測年齡變量Age,至少有5個(gè)變量與年齡無關(guān)（乘客編號(hào)、姓名、票號(hào)信息、座位號(hào)信息和登船地點(diǎn)），刪除。

1.刪除無意義的變量

titanic.drop(labels=['PassengerId','Name','Ticket','Cabin','Embarked'],axis=1,inplace=True)

2.啞變量轉(zhuǎn)換

titanic.Pclass=titanic.Pclass.astype(str)#Pclass變量轉(zhuǎn)換為字符型變量
#將Pclass和Sex變量作啞變量處理
dummies=pd.get_dummies(data=titanic[['Pclass','Sex']])
#將titanic數(shù)據(jù)集與dummies數(shù)據(jù)集進(jìn)行合并
titanic_new=pd.concat([titanic,dummies],axis=1)
#根據(jù)啞變量原則，需要從新生成的0和1變量中提出兩個(gè)變量作為參照變量（以性別中的男性為參照變量，以船艙等幾種的Pclass_3作為參照變量）
titanic_new.drop(labels=['Pclass','Sex','Pclass_3','Sex_male'],axis=1,inplace=True)

3.將數(shù)據(jù)拆分為兩部分

• 在清洗后的數(shù)據(jù)集titanic_new中，僅有Age變量存在缺失值
• 為預(yù)測該變量的缺失值，需要將數(shù)據(jù)集按照年齡是否缺失拆分為兩個(gè)數(shù)據(jù)子集，分別用于線性回歸模型的構(gòu)造和基于構(gòu)造好的數(shù)據(jù)集對其進(jìn)行預(yù)測

missing=titanic_new.loc[titanic.Age.isnull(),]
no_missing=titanic_new.loc[~titanic.Age.isnull(),]

4.構(gòu)建多元線性回歸模型

 #提取出所有的自變量名稱
predictors=no_missing.columns[~no_missing.columns.isin(['Age'])]
#構(gòu)造多元線性回歸模型的"類"
lm_Class=sm.OLS(endog=no_missing.Age,#指定模型中的因變量
                            exog=no_missing[predictors]#指定模型中的自變量
                            )
#基于"類"，對模型進(jìn)行擬合
lm_model=lm_Class.fit()
print(lm_model.summary())

根據(jù)F檢驗(yàn)的結(jié)果可知模型是顯著的，但是從t檢驗(yàn)的結(jié)果來看，僅有船艙等級Pclass和性別Sex是通過顯著性檢驗(yàn)的。

繪制其他變量與年齡之間的散點(diǎn)圖

sns.pairplot(no_missing[['Survived','SibSp','Parch','Fare','Age']])

唯有SibSp與Age之間存在一定趨勢性，將出SibSp之外其他變量從模型中剔除。

基于散點(diǎn)圖結(jié)果重新構(gòu)造多元線性回歸模型

predictors2=['SibSp','Pclass_1','Pclass_2','Sex_female']
lm_Class2=sm.OLS(endog=no_missing.Age,#指定模型中的因變量
                            exog=no_missing[predictors2]#指定模型中的自變量
                            )
lm_model2=lm_Class2.fit()
print(lm_model2.summary())

在新的模型中，F(xiàn)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的概率P值均小于0.05，說明他們通過了顯著性檢驗(yàn)。

最后再利用可視化的QQ圖，驗(yàn)證模型的殘差是否服從正態(tài)分布的假設(shè)

sns.set(font=getChineseFont(8).get_name())
pp_qq_plot=sm.ProbPlot(lm_model2.resid)
pp_qq_plot.qqplot(line='q')
plt.title('Q-Q圖')
plt.show()

圖形中的散點(diǎn)基本上都圍繞在斜線附近，可以判斷模型lm_model2的殘差服從正態(tài)分布，最終證明了lm_model2模型是合理的。

5.未知年齡的預(yù)測

pred_Age=lm_model2.predict(exog=missing[predictors2])
#將年齡的預(yù)測值替換missing數(shù)據(jù)集中的Age變量
missing.loc[:,'Age']=pred_Age
#print(missing.head(5))
#將結(jié)果插補(bǔ)到原始數(shù)據(jù)中

總結(jié)

到此這篇關(guān)于Python線性回歸的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python線性回歸內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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