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運籌學(xué)-Python實現(xiàn)圖論與最短距離

 更新時間:2022年01月26日 15:46:13   作者:是夢吧,是你吧!  
需要求解任意兩個節(jié)點之間的最短距離,使用?Floyd?算法,只要求解單源最短路徑問題,有負(fù)權(quán)邊時使用?Bellman-Ford?算法,沒有負(fù)權(quán)邊時使用?Dijkstra?算法,本節(jié)我們只討論Dijkstra?算法,需要的朋友可以參考一下

1 概述

1.1 貪心算法

貪心算法總是作出在當(dāng)前看來最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮,它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇。當(dāng)然,希望貪心算法得到的最終結(jié)果也是整體最優(yōu)的。雖然貪心算法不能對所有問題都得到整體最優(yōu)解,但對許多問題它能產(chǎn)生整體最優(yōu)解。如單源最短路經(jīng)問題,最小生成樹問題等。在一些情況下,即使貪心算法不能得到整體最優(yōu)解,其最終結(jié)果卻是最優(yōu)解的很好近似。
基本思路:從問題的某一個初始解出發(fā)逐步逼近給定的目標(biāo),以盡可能快的地求得更好的解。當(dāng)達(dá)到算法中的某一步不能再繼續(xù)前進(jìn)時,算法停止。

該算法存在問題:

  • (1)不能保證求得的最后解是最佳的;
  • (2)不能用來求最大或最小解問題;
  • (3)只能求滿足某些約束條件的可行解的范圍。

實現(xiàn)該算法的偽代碼:

從問題的某一初始解出發(fā);
 
while 能朝給定總目標(biāo)前進(jìn)一步 do
 
   求出可行解的一個解元素

由所有解元素組合成問題的一個可行解;

1.2 圖論及求解最短距離 

1.2.1 方法選擇

  • (1)需要求解任意兩個節(jié)點之間的最短距離,使用 Floyd 算法;
  • (2)只要求解單源最短路徑問題,有負(fù)權(quán)邊時使用 Bellman-Ford 算法,沒有負(fù)權(quán)邊時使用 Dijkstra 算法;
  • (3)A*算法找到的是相對最優(yōu)路徑,適合大規(guī)模、實時性高的問題。

本節(jié)我們只討論Dijkstra 算法。

1.2.2 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法

適用于wij≥0,給出了從vs到任意一個點vj的最短路。

Dijkstra算法是在1959年提出來的。目前公認(rèn),在所有的權(quán)wij ≥0時,這個算法是尋求最短路問題最好的算法。并且,這個算法實際

上也給出了尋求從一個始定點vs到任意一個點vj的最短路。

2 案例1——貪心算法實現(xiàn) 

2.1 旅行商問題(TSP)

旅行商問題(TravelingSalesmanProblem,TSP)一個商品推銷員要去若干個城市推銷商品,該推銷員從一個城市出發(fā),需要遍歷所有城市一次且只能一次,回到出發(fā)地。應(yīng)如何選擇行進(jìn)路線,以使總的行程最短。

旅行商問題(TSP)即給定一組城市以及每對城市之間的距離,需要找到一條最短的路線,該路線只對每個城市進(jìn)行一次訪問并返回起點。

這里注意漢密爾頓活路(Hamiltonian Cycle)和TSP之間的區(qū)別。漢密爾頓回路問題是要找出是否存在一次游覽每個城市一次的路線。在TSP問題中,我們是已知存在漢密爾頓回路(因為該圖是完整的),并且實際上,存在許多此類回路,TSP問題在于找到最小權(quán)重的漢密爾頓回路。

目前解決TSP問題的方法有許多種,比如:貪心算法、動態(tài)規(guī)劃算法、分支限界法;也有智能算法。本文先介紹貪心算法:

2.2 案例

數(shù)據(jù) 如下圖,第一列城市名。第二列坐標(biāo)x,第三列坐標(biāo)y:

貪心算法思路:隨便選擇出發(fā)城市,然后每次選擇要去的下一個城市時,都選擇還沒去的最近的城市。

2.3 Python實現(xiàn) 

#========第一步:導(dǎo)入相關(guān)庫==================
import pandas as pd
import numpy as np
import math
import time
?
#======第二步:讀取數(shù)據(jù)=================
dataframe = pd.read_csv("旅行商問題.csv", sep=",", header=None)
v = dataframe.iloc[:, 1:3] ? ? ?#去除第一列12345678910,只保留x,y
print('讀取數(shù)據(jù):----------------------------')
print(v)
?
#=======第三步:計算城市之間的距離========
train_v= np.array(v)
train_d=train_v
dist = np.zeros((train_v.shape[0],train_d.shape[0])) ? ?#初始化距離 為10*10的全0矩陣
print(dist.shape) ? ?#(10,10)
?
#==計算距離矩陣===
for i in range(train_v.shape[0]):
? ? for j in range(train_d.shape[0]):
? ? ? ? dist[i,j] = math.sqrt(np.sum((train_v[i,:]-train_d[j,:])**2))
print('距離矩陣:----------------------------------')
print(dist)
?
#==========第四步:計算距離和路徑==============
"""
s:已經(jīng)遍歷過的城市
dist:城市間距離矩陣
sumpath:目前的最小路徑總長度
Dtemp:當(dāng)前最小距離
flag:訪問標(biāo)記
"""
i=1
n=train_v.shape[0]#城市個數(shù)
j=0
sumpath=0#目前的最小路徑總長度
s=[]#已經(jīng)遍歷過的城市
s.append(0)#從城市0開始
start = time.perf_counter() ? ? #time.clock()
while True:
? ? k=1#從1開始,因為人在城市0,所以我們設(shè)定先從城市1開始選擇
? ? Detemp=float('inf')#當(dāng)前最小距離
? ? while True:
? ? ? ? flag=0#訪問標(biāo)記,否0
? ? ? ? if k in s:#是否訪問,如果訪問過,flag設(shè)為1
? ? ? ? ? ? flag = 1
? ? ? ? if (flag==0) and (dist[k][s[i-1]] < Detemp):#如果未訪問過,并且距離小于最小距離
? ? ? ? ? ? j = k;
? ? ? ? ? ? Detemp=dist[k][s[i - 1]]; ? ? #當(dāng)前兩座城市相鄰距離
? ? ? ? k+=1#遍歷下一城市
? ? ? ? if k>=n:
? ? ? ? ? ? break;
? ? s.append(j)
? ? i+=1;
? ? sumpath+=Detemp
? ? if i>=n:
? ? ? ? break;
?
sumpath+=dist[0][j]#加上dist[0][j] 表示最后又回到起點
end = time.perf_counter() ? #time.clock()
print("距離:")
print(sumpath)
print('*--------------*')
print('路徑:')
for m in range(n):
? ? print("%s-> "%(s[m]),end='')
print()
print("程序的運行時間是:%s"%(end-start))

代碼解析:數(shù)字k表示當(dāng)前我們選擇前往下一個城市時,我們需要計算所有未訪問過的城市和當(dāng)前城市距離。
數(shù)字i 用于控制訪問過的城市,我們需要到達(dá)每一個城市。

代碼中有兩個while
里面那個while表示選擇下一城市時,需要遍歷所有未訪問過的城市,然后選擇距離當(dāng)前城市最近的城市,賦值給j
外面while,表示我們的每一步,我們需要去每個城市。

2.4 結(jié)果 

讀取數(shù)據(jù):

      1     2
0  2066  2333
1   935  1304
2  1270   200
3  1389   700
4   984  2810
5  2253   478
6   949  3025
7    87  2483
8  3094  1883
9  2706  3130
(10, 10)
距離矩陣:----------------------------------
[[   0.         1529.05264788 2276.68728639 1767.77204413 1182.47748393
  1864.40178073 1313.98363765 1984.67654795 1122.17823896 1022.15898959]
 [1529.05264788    0.         1153.70750193  755.6004235  1506.7969339
  1555.44205935 1721.0569427  1452.28957168 2235.29013777 2543.76040538]
 [2276.68728639 1153.70750193    0.          513.96595218 2625.6229737
  1021.55420806 2843.17885473 2571.29889356 2481.82694804 3262.97349055]
 [1767.77204413  755.6004235   513.96595218    0.         2148.51693035
   892.06502005 2366.26815894 2207.7801068  2075.21420581 2763.94446399]
 [1182.47748393 1506.7969339  2625.6229737  2148.51693035    0.
  2654.91713618  217.83020911  954.74499213 2304.65377009 1751.48051659]
 [1864.40178073 1555.44205935 1021.55420806  892.06502005 2654.91713618
     0.         2861.40262808 2951.53875123 1637.46938903 2690.41130685]
 [1313.98363765 1721.0569427  2843.17885473 2366.26815894  217.83020911
  2861.40262808    0.         1018.23769327 2430.05946429 1760.13465394]
 [1984.67654795 1452.28957168 2571.29889356 2207.7801068   954.74499213
  2951.53875123 1018.23769327    0.         3066.2760802  2697.7342345 ]
 [1122.17823896 2235.29013777 2481.82694804 2075.21420581 2304.65377009
  1637.46938903 2430.05946429 3066.2760802     0.         1305.9682232 ]
 [1022.15898959 2543.76040538 3262.97349055 2763.94446399 1751.48051659
  2690.41130685 1760.13465394 2697.7342345  1305.9682232     0.        ]]
距離:
10464.183486532447
*--------------*
路徑:
0-> 9-> 8-> 5-> 3-> 2-> 1-> 7-> 4-> 6-> 
程序的運行時間是:0.0002605780000024538
 
Process finished with exit code 0
 

3 案例2——圖論及最短距離 

3.1 知識點

3.2 networkx繪圖 

3.2.1 創(chuàng)建圖

networkx有四種圖 Graph 、DiGraph、MultiGraph、MultiDiGraph,分別為無多重邊無向圖、無多重邊有向圖、有多重邊無向圖、有多重邊有向圖。

#==========創(chuàng)建圖================
?
import networkx as nx ?# 導(dǎo)入 NetworkX 工具包
G1 = nx.Graph() ?# 創(chuàng)建:空的 無向圖
G2 = nx.DiGraph() ?#創(chuàng)建:空的 有向圖
G3 = nx.MultiGraph() ?#創(chuàng)建:空的 多圖
G4 = nx.MultiDiGraph() ?#創(chuàng)建:空的 有向多圖

3.2.2 定點的添加、刪除和查看 

#================頂點的添加、刪除和查看=============
?
#======頂點(node)的操作=====
?
#==向圖中添加頂點==
G1.add_node(1) ?# 向 G1 添加頂點 1
G1.add_node(1, name='n1', weight=1.0) ?# 添加頂點 1,定義 name, weight 屬性
G1.add_node(2, date='May-16') # 添加頂點 2,定義 time 屬性
G1.add_nodes_from([3, 0, 6], dist=1) ?# 添加多個頂點,并定義屬性
G1.add_nodes_from(range(10, 15)) ?# 向圖 G1 添加頂點 10~14
?
#==查看頂點和頂點屬性==
print(G1.nodes()) ?# 查看頂點列表
# [1, 2, 3, 0, 6, 10, 11, 12, 13, 14]
print(G1._node) ?# 查看頂點屬性
# {1: {'name': 'n1', 'weight': 1.0}, 2: {'date': 'May-16'}, 3: {'dist': 1}, 0: {'dist': 1}, 6: {'dist': 1}, 10: {}, 11: {}, 12: {}, 13: {}, 14: {}}
?
#==從圖中刪除頂點==
G1.remove_node(1) ?# 刪除頂點
G1.remove_nodes_from([1, 11, 13, 14]) ?# 通過頂點標(biāo)簽的 list 刪除多個頂點
print(G1.nodes()) ?# 查看頂點
# [2, 3, 0, 6, 10, 12] ?# 頂點列表

3.2.3 邊的添加、刪除和查看 

#====================邊的添加、刪除和查看================
?
#========邊(edge)的操作========
?
#==向圖中添加邊==
G1.add_edge(1,5) ?# 向 G1 添加邊,并自動添加圖中沒有的頂點
G1.add_edge(0,10, weight=2.7) ?# 向 G1 添加邊,并設(shè)置邊的屬性
G1.add_edges_from([(1,2,{'weight':0}), (2,3,{'color':'blue'})]) ?# 向圖中添加邊,并設(shè)置#==屬性==
G1.add_edges_from([(3,6),(1,2),(6,7),(5,10),(0,1)]) ?# 向圖中添加多條邊
G1.add_weighted_edges_from([(1,2,3.6),[6,12,0.5]]) ?# 向圖中添加多條賦權(quán)邊: (node1,node2,weight)
print(G1.nodes()) ?# 查看頂點
# [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7] ?# 自動添加了圖中沒有的頂點
?
#==從圖中刪除邊==
G1.remove_edge(0,1) ?# 從圖中刪除邊 0-1
G1.remove_edges_from([(2,3),(1,5),(6,7)]) ?# 從圖中刪除多條邊
?
#==查看邊和邊的屬性==
print(G1.edges) ?# 查看所有的邊
[(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)]
print(G1.get_edge_data(1,2)) ?# 查看指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1[1][2]) ?# 查看指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1.edges(data=True)) ?# 查看所有邊的屬性
# [(2, 1, {'weight': 3.6}), (3, 6, {}), (0, 10, {'weight': 2.7}), (6, 12, {'weight': 0.5}), (10, 5, {})]

3.3 案例 

例題 1:已知如圖的有權(quán)無向圖,求頂點 v1 到 頂點 v11 的最短路徑。

3.4 Python實現(xiàn) 

#========導(dǎo)入相關(guān)包=========================
import matplotlib.pyplot as plt # 導(dǎo)入 Matplotlib 工具包
import networkx as nx ?# 導(dǎo)入 NetworkX 工具包
?
#======問題:無向圖的最短路問題===============
G1 = nx.Graph() ?# 創(chuàng)建:空的 無向圖
G1.add_weighted_edges_from([(1,2,2),(1,3,8),(1,4,1),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2,3,6),(2,5,1),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3,4,7),(3,5,5),(3,6,1),(3,7,2),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4,7,9),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5,6,3),(5,8,2),(5,9,9),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6,7,4),(6,9,6),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7,9,3),(7,10,1),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (8,9,7),(8,11,9),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (9,10,1),(9,11,2),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (10,11,4)]) ?# 向圖中添加多條賦權(quán)邊: (node1,node2,weight)
print('nx.info:',G1.nodes) ?# 返回圖的基本信息,nx.info:返回圖的基本信息
?
#=======兩個指定頂點之間的最短加權(quán)路徑===============
minWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path(G1, source=1, target=11) ?# 頂點 1 到 頂點 11 的最短加權(quán)路徑
print("頂點 v1 到 頂點 v11 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath_v1_v11)
# 兩個指定頂點之間的最短加權(quán)路徑的長度
lMinWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path_length(G1, source=1, target=11) ?# 最短加權(quán)路徑長度
print("頂點 v1 到 頂點 v11 的最短加權(quán)路徑長度: ", lMinWPath_v1_v11)
?
pos = {1: (0,4), 2: (5,7), 3: (5,4), 4: (5,1), 5: (10,7), 6: (10,4), 7: (10,1),
? ? ? ?8: (15,7), 9: (15,4), 10: (15,1), 11: (20,4)} ?# 指定頂點位置,以節(jié)點為鍵,位置為值的字典
labels = nx.get_edge_attributes(G1, 'weight') ?# 設(shè)置邊的 labels 為 ‘weight'
nx.draw(G1, pos,node_color = 'r',with_labels=True, font_color='b') ?# 繪制無向圖,pos 指的是布局
nx.draw_networkx_edge_labels(G1, pos, edge_labels=labels, font_color='y') ?# 顯示邊的權(quán)值
plt.show()
  • 1、Python Network(二)繪圖draw系列draw(),draw_networkx(),draw_networkx_nodes(),draw_networkx_edges() 
  • 2、用Python的networkx繪制精美網(wǎng)絡(luò)圖

3.5 結(jié)果

nx.info: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
頂點 v1 到 頂點 v11 的最短加權(quán)路徑:  [1, 2, 5, 6, 3, 7, 10, 9, 11]
頂點 v1 到 頂點 v11 的最短加權(quán)路徑長度:  13

到此這篇關(guān)于運籌學(xué)-Python實現(xiàn)圖論與最短距離的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python實現(xiàn)圖論與最短距離內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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