import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
? ? # 極徑
? ? r = np.arange(10)
? ? # 角度
? ? theta = 0.5 * np.pi * r

? ? fig = plt.figure()
? ? plt.polar(theta, r, c='r', marker='o', ms=3, ls='-', lw=1)
? ? # plt.savefig('img/polar1.png')
? ? plt.show()

使用matplotlib繪制極坐標(biāo)散點圖：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
?? ?r = np.linspace(0, 10, num=10)
? ? theta = 2 * np.pi * r
? ? area = 3 * r ** 2

? ? ax = plt.subplot(111, projection='polar')
? ? ax.scatter(theta, r, c=theta, s=area, cmap='hsv', alpha=0.75)
? ? # plt.savefig('img/polar2.png')
? ? plt.show()

有關(guān)matplotlib極坐標(biāo)的參數(shù)更多介紹，可參閱官網(wǎng)手冊。

2. 極坐標(biāo)系花瓣

繪制r = s i n ( θ ) r=sin(\theta)r=sin(θ) 在極坐標(biāo)系下的圖像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
?? ?fig = plt.figure()
? ? ax = plt.subplot(111, projection='polar')
? ? ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

? ? theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
? ? r = np.sin(theta)
? ? ax.plot(theta, r)
? ? # plt.savefig('img/polar3.png')
? ? plt.show()

以 2 π 為一個周期，增加圖像的旋轉(zhuǎn)周期：

r = np.sin(2 * theta)

繼續(xù)增加圖像的旋轉(zhuǎn)周期：

r = np.sin(3 * theta)
r = np.sin(4 * theta)

然后我們可以通過調(diào)整極徑系數(shù)和角度系數(shù)來調(diào)整圖像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
?? ?fig = plt.figure()
? ? ax = plt.subplot(111, projection='polar')
? ? ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

? ? theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
? ? r1 = np.sin(4 * (theta + np.pi / 8))
? ? r2 = 0.5 * np.sin(5 * theta)
? ? r3 = 2 * np.sin(6 * (theta + np.pi / 12))

? ? ax.plot(theta, r1)
? ? ax.plot(theta, r2)
? ? ax.plot(theta, r3)
? ? # plt.savefig('img/polar4.png')
? ? plt.show()

3. 三維花瓣

現(xiàn)在可以將花瓣放置在三維空間上了，根據(jù)花瓣的生成規(guī)律，其花瓣外邊緣線在一條旋轉(zhuǎn)內(nèi)縮的曲線上，這條曲線的極徑 r 隨著角度的增大逐漸變小，其高度 h 逐漸變大。

其函數(shù)圖像如下：

這樣定義就滿足前面對花瓣外邊緣曲線的假設(shè)了，即 r 遞減， h 遞增。

現(xiàn)在將其放在三維空間中：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
? ? fig = plt.figure()
? ? ax = Axes3D(fig)
? ? # plt.axis('off')

? ? x = np.linspace(0, 1, num=30)
? ? theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
? ? theta = 30 * theta
? ? x, theta = np.meshgrid(x, theta)

? ? # f is a decreasing function of theta
? ? f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

? ? r = x * np.sin(f)
? ? h = x * np.cos(f)

?? ?# 極坐標(biāo)轉(zhuǎn)笛卡爾坐標(biāo)
? ? X = r * np.cos(theta)
? ? Y = r * np.sin(theta)
? ? ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.cool)

? ? # plt.savefig('img/polar5.png')
? ? plt.show()

笛卡爾坐標(biāo)系(Cartesian coordinate system)，即直角坐標(biāo)系。

然而，上述的表達仍然沒有得到花瓣的細節(jié)，因此我們需要在此基礎(chǔ)之上進行處理，以得到花瓣形狀。因此設(shè)計了一個花瓣函數(shù)：

其是一個以 2 π 為周期的周期函數(shù)，其值域為[ 0.5 , 1.0 ]，圖像如下圖所示：

再次繪制：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
?? ?fig = plt.figure()
? ? ax = Axes3D(fig)
? ? # plt.axis('off')

? ? x = np.linspace(0, 1, num=30)
? ? theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
? ? theta = 30 * theta
? ? x, theta = np.meshgrid(x, theta)

? ? # f is a decreasing function of theta
? ? f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

?? ?# 通過改變函數(shù)周期來改變花瓣的形狀
?? ?# 改變值域也可以改變花瓣形狀
?? ?# u is a periodic function
? ? u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2
? ? r = x * u * np.sin(f)
? ? h = x * u * np.cos(f)
?? ?
?? ?# 極坐標(biāo)轉(zhuǎn)笛卡爾坐標(biāo)
? ? X = r * np.cos(theta)
? ? Y = r * np.sin(theta)
? ? ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

? ? # plt.savefig('img/polar6.png')
? ? plt.show()

4. 花瓣微調(diào)

為了使花瓣更加真實，使花瓣的形態(tài)向下凹，因此需要對花瓣的形狀進行微調(diào)，這里添加一個修正項和一個噪聲擾動，修正函數(shù)圖像為：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
?? ?fig = plt.figure()
? ? ax = Axes3D(fig)
? ? # plt.axis('off')

? ? x = np.linspace(0, 1, num=30)
? ? theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
? ? theta = 30 * theta
? ? x, theta = np.meshgrid(x, theta)

? ? # f is a decreasing function of theta
? ? f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

? ? noise = np.sin(theta) / 30
? ? # u is a periodic function
? ? u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2 + noise

? ? # y is a correction function
? ? y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(f)
? ? r = u * (x * np.sin(f) + y * np.cos(f))
? ? h = u * (x * np.cos(f) - y * np.sin(f))

? ? X = r * np.cos(theta)
? ? Y = r * np.sin(theta)
? ? ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

? ? # plt.savefig('img/polar7.png')
? ? plt.show()