Python?分形算法代碼詳解
1. 前言
分形幾何是幾何數(shù)學中的一個分支，也稱大自然幾何學，由著名數(shù)學家本華曼德勃羅（ 法語：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年構(gòu)思和發(fā)展出來的一種新的幾何學。
分形幾何是對大自然中微觀與宏觀和諧統(tǒng)一之美的發(fā)現(xiàn)，分形幾何最大的特點：
- 整體與局部的相似性： 一個完整的圖形是由諸多相似的微圖形組成，而整體圖形又是微圖形的放大。
局部是整體的縮影，整體是局部的放大。
- 具有自我疊加性： 整體圖形是由微圖形不斷重復疊加構(gòu)成，且具有無限疊加能力。
什么是分形算法？
所謂分形算法就是使用計算機程序模擬出大自然界的分形幾何圖案，是分形幾何數(shù)學與計算機科學相融合的藝術(shù)。
由于分形圖形相似性的特點，分形算法多采用遞歸實現(xiàn)。
2. 分形算法
2.1 科赫雪花
科赫雪花是由瑞典數(shù)學家科赫在 1904 年提出的一種不規(guī)則幾何圖形，也稱為雪花曲線。
分形圖形的特點是整體幾何圖形是由一個微圖形結(jié)構(gòu)自我復制、反復疊加形成，且最終形成的整體圖案和微圖形結(jié)構(gòu)一樣。在編寫分形算法時，需要先理解微圖案的生成過程。
科赫雪花的微圖案生成過程：
- 先畫一條直線。科赫雪花本質(zhì)就由一條直線演化而成。
- 三等分畫好的直線。
- 取中間線段，然后用夾角為 60° 的兩條等長線段替代。
- 可在每一條線段上都采用如上方式進行迭代操作，便會構(gòu)造出多層次的科赫雪花。
科赫微圖形算法實現(xiàn)：
使用 Python 自帶小海龜模塊繪制，科赫雪花遞歸算法的出口的是畫直線。
import turtle
'''
size：直線的長度
level: 科赫雪花的層次
'''
def koch(size, level):
if n == 1:
turtle.fd(size)
else:
for i in [0, 60, -120, 60]:
turtle.left(i)
# 旋轉(zhuǎn)后，再繪制
koch(size // 3, level - 1)參數(shù)說明：
- size： 要繪制的直線長度。
- level： 科赫雪花的層次。
0 階和 1 階 科赫雪花遞歸流程：
import turtle
turtle.speed(100)
def ke_line(line_, n):
if n == 0:
turtle.fd(line_)
else:
line_len = line_ // 3
for i in [0, 60, -120, 60]:
turtle.left(i)
ke_line(line_len, n - 1)
# 原始直線長度
line = 300
# 移動小海龜?shù)疆嫴甲笙陆?
turtle.penup()
turtle.goto(-150, -150)
turtle.pendown()
# 1 階科赫雪花
di_gui_deep = 1
ke_line(line, di_gui_deep)
turtle.done()
2 階科赫雪花：
可以多畫幾個科赫雪花，布滿整個圓周。
import turtle
turtle.speed(100)
def ke_line(line_, n):
if n == 0:
turtle.fd(line_)
else:
line_len = line_ // 3
for i in [0, 60, -120, 60]:
turtle.left(i)
ke_line(line_len, n - 1)
# 原始線長度
line = 300
# 移動小海龜畫布左下角
turtle.penup()
turtle.goto(-150, -150)
turtle.pendown()
# 幾階科赫雪花
di_gui_deep = int(input("請輸入科赫雪花的階數(shù)："))
while True:
# 當多少科赫雪花圍繞成一個圓周時，就構(gòu)成一個完整的雪花造型
count = int(input("需要幾個科赫雪花："))
if 360 % count != 0:
print("請輸入 360 的倍數(shù)")
else:
break
for i in range(count):
ke_line(line, di_gui_deep)
turtle.left(360 // count)
turtle.done()4 個 3 階科赫雪花： 每畫完一個后旋轉(zhuǎn) 90 度，然后再繪制另一個。
6 個 3 階科赫雪花： 每畫完一個后，旋轉(zhuǎn) 60 度再畫另一個。
科赫雪花的繪制并不難，本質(zhì)就是畫直線、旋轉(zhuǎn)、再畫直線……
2.2 康托三分集
由德國數(shù)學家格奧爾格·康托爾在1883年引入，是位于一條線段上的一些點的集合。最常見的構(gòu)造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。
構(gòu)造過程：
- 繪制一條給定長度的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下兩段。
- 再將剩下的兩段再分別三等分，同樣各去掉中間一段，剩下更短的四段……
- 將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾點集。
編碼實現(xiàn)： 使用遞歸實現(xiàn)。
import turtle
''''
(sx,sy)線段的開始位置
(ex,ey)線段的結(jié)束位置
'''
turtle.speed(100)
turtle.pensize(2)
def draw_kt(sx, sy, ex, ey):
turtle.penup()
# 小海龜移動開始位置
turtle.goto(sx, sy)
turtle.pendown()
# # 小海龜移動結(jié)束位置
turtle.goto(ex, ey)
# 起始點與結(jié)束點之間的距離
length = ex - sx
# 如果直線長線大于 5 則繼續(xù)畫下去
if length > 5:
# 左邊線段的開始 x 坐標
left_sx = sx
# y 坐標向下移動 30
left_sy = sy - 50
# 左邊線段的結(jié)束坐標
left_ex = sx + length / 3
left_ey = left_sy
# 右邊線段的開始坐標
right_sx = ex - length / 3
right_sy = ey - 50
# 右邊線段的結(jié)束坐標
right_ex = ex
right_ey = right_sy
draw_kt(left_sx, left_sy, left_ex, left_ey)
draw_kt(right_sx, right_sy, right_ex, right_ey)
draw_kt(-300, 200, 300, 200)
turtle.done()
康托三分集的遞歸算法很直觀。
2.3 謝爾賓斯基三角形
謝爾賓斯基三角形（英語：Sierpinski triangle）由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出。
構(gòu)造過程：
- 取一個實心的三角形（最好是等邊三角形）。
- 沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。
- 去掉中間的那一個小三角形。
- 對其余三個小三角形重復上述過程直到條件不成立。
編碼實現(xiàn)： 謝爾賓斯基三角形就是不停的畫三角形，在編碼之前約定三角形點之間的關(guān)系以及繪制方向如下圖所示。
import turtle
import math
turtle.speed(100)
'''
通過連接 3 個點的方式繪制三角形
pos是元組的元組((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))
def draw_triangle(pos):
turtle.penup()
# 移到第一個點
turtle.goto(pos[0])
turtle.pendown()
# 連接 3 個點
for i in [1, 2, 0]:
turtle.goto(pos[i])
# 計算三角形任意兩邊的中點坐標
def get_mid(p1, p2):
return (p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2
繪制 謝爾賓斯基三角形
def sierpinski_triangle(*pos):
# 用給定的點繪制三角形
draw_triangle(pos)
p1, p2, p3 = pos
# 計算三角形的邊長
side = math.fabs((p3[0] - p1[0]) / 2)
# 如果邊長滿足條件，繼續(xù)繪制其它三角形
if side > 10:
# p1和p2線段 的中心點
p1_p2_center_x, p1_p2_center_y = get_mid(p1, p2)
# p2和p3線段 的中心點
p2_p3_center_x, p2_p3_center_y = get_mid(p2, p3)
# p1和p3線段 的中心點
p1_p3_center_x, p1_p3_center_y = get_mid(p1, p3)
# 繪制左下角三角形
sierpinski_triangle(p1, (p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), (p1_p3_center_x, p1_p3_center_y))
# 繪制上邊三角形
sierpinski_triangle((p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), p2, (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y))
# 繪制右下角三角形
sierpinski_triangle((p1_p3_center_x, p1_p3_center_y), (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y), p3)
# 第一個點指左邊點，第二點指上面的點，第三個指右邊的點。
sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100))
turtle.done()代碼執(zhí)行之后的結(jié)果：
用隨機的方法（Chaos Game），繪制謝爾賓斯基三角形：
構(gòu)造過程：
任意取平面上三點 A,B,C，組成一個三角形。
在三角形 ABC 內(nèi)任意取一點 P，并畫出該點。
找出 P 和三角形其中一個頂點的中點，并畫出來。
把剛才找出來的中心點和三角形的任一頂點相連接，同樣取其中點，并畫出來。
重復上述流程，不停的獲取中心點。
注意，是畫點，上面的線段是為了直觀理解中心點位置。
編碼實現(xiàn)：
import turtle
import random
turtle.speed(100)
turtle.bgcolor('black')
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'yellow']
# 畫等邊三角形
def draw_triangle(pos):
turtle.penup()
turtle.goto(pos[0])
turtle.pendown()
for i in [1, 2, 0]:
turtle.goto(pos[i])
def sierpinski_triangle(*pos):
# 畫三角形
draw_triangle(pos)
p1, p2, p3 = pos
# 在三角形中任取一點
ran_x, ran_y = (p1[0] + p3[0]) / 2, (p2[1] + p3[1]) / 2
for i in range(10000):
# 畫點
turtle.penup()
turtle.goto(ran_x, ran_y)
turtle.pendown()
turtle.dot(3, colors[i % 5])
# 隨機選擇 3 個頂點的一個頂點
ran_i = random.randint(0, 2)
ding_p = pos[ran_i]
# 計算任意點和頂點的中心點
ran_x, ran_y = (ran_x + ding_p[0]) / 2, (ran_y + ding_p[1]) / 2
sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100))
turtle.done()隨機法是一個神奇的存在，當點數(shù)量很少時，看不出到底在畫什么。當點的數(shù)量增加后，如成千上萬后，會看到謝爾賓斯基三角形躍然于畫布上，不得不佩服數(shù)學家們天才般的大腦。
下圖是點數(shù)量為 10000 時的謝爾賓斯基三角形，是不是很震撼。
2.4 分形樹
繪制分形樹對于遞歸調(diào)用過程的理解有很大的幫助，其實前面所聊到的遞歸算法都是樹形遞進。分形樹能很形象的描述樹形遞歸的過程。
分形樹的算法實現(xiàn)：
import turtle
def draw_tree(size):
if size >= 20:
turtle.forward(size) # 1
# 畫右邊樹
turtle.right(20)
draw_tree(size - 40) # 2
# 畫左邊樹
turtle.left(40)
draw_tree(size - 40)
# 后退
turtle.right(20)
turtle.backward(size)
turtle.left(90)
draw_tree(80)
turtle.done()為了理解分形樹的遞歸過程，如上代碼可以先僅畫一個樹干兩個樹丫。
下面以圖示方式顯示左右兩邊的樹丫繪制過程。
3. 總結(jié)
分形幾何是大自然對數(shù)學的饋贈，當然這離不開數(shù)學家們的發(fā)現(xiàn)與研究，通過計算機科學對分形幾何的模擬，可以以可視化的方式更直觀地研究分形幾何學。這也是計算機科學對于各學科的巨大貢獻。
到此這篇關(guān)于Python 分形算法代碼詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python 分形算法內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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