動態(tài)規(guī)劃可謂是大名鼎鼎，筆試面試中的高頻考點，也是重點難點，動態(tài)規(guī)劃類型題目靈活多變，難度系數(shù)也相對較高，往往我們做不好動態(tài)規(guī)劃的題目就會與心儀的offer失之交臂，本篇文章我們就一起來研究一下動態(tài)規(guī)劃的計數(shù)類DP

寫在前面

之前講過背包問題，線性DP，區(qū)間DP，不知道大家忘了嗎，這次是計數(shù)類DP

石子合并

在這里插入圖片描述

老規(guī)矩，先畫圖。

思路：把1,2,3, … n分別看做n個物體的體積，這n個物體均無使用次數(shù)限制，問恰好能裝滿總體積為n的背包的總方案數(shù)（完全背包問題變形）

初值問題：

求最大值時，當都不選時，價值顯然是 0

而求方案數(shù)時，當都不選時，方案數(shù)是 1（即前 i 個物品都不選的情況也是一種方案），所以需要初始化為 1

即：for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;

等價變形后： f[0] = 1

狀態(tài)計算：

f[i][j]表示前i個整數(shù)（1,2…,i）恰好拼成j的方案數(shù)

求方案數(shù)：把集合選0個i，1個i，2個i，…全部加起來

f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;

f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;

因此 f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i]; (這一步類似完全背包的推導）

樸素做法

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[i][0] = 1; // 容量為0時，前 i 個物品全不選也是一種方案
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod; // 特殊 f[0][0] = 1
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n][n] << endl;
}

等價變形

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;


    f[0] = 1; // 容量為0時，前 i 個物品全不選也是一種方案

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = i; j <= n; j ++) {
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n] << endl;
}

上面是完全背包問題的解法，再來看看不用完全背包問題求解

在這里插入圖片描述

狀態(tài)計算:分兩部分

這j個數(shù)中存在最小值為1的數(shù) 先去掉這一個1，其他部分表示為總和為i-1,恰好由j-1個數(shù)f[i-1][j-1]
這j個數(shù)中存在的最小值都>1 j個數(shù)都>1,讓j個數(shù)都-1,求總和為j-i,由j個數(shù)的方案表示:f[i-j][j]

綜上所述:f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];

//非背包做法
//狀態(tài)表示:f[i][j] 所有總和是i，并且恰好可以表示成j個數(shù)的和的方案
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        //i最多表示成i個數(shù)的和，因此j<=i
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = (res + f[n][i]) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

到此這篇關于C語言深入理解動態(tài)規(guī)劃之計數(shù)類DP的文章就介紹到這了,更多相關C語言計數(shù)類DP內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！

您可能感興趣的文章: