Python基于鏈接表實現無向圖最短路徑搜索
前言
圖的常用存儲方式有 2 種：
- 鄰接炬陣
- 鏈接表
鄰接炬陣的優(yōu)點和缺點都很明顯。優(yōu)點是簡單、易理解，對于大部分圖結構而言，都是稀疏的，使用炬陣存儲空間浪費就較大。
鏈接表的存儲相比較鄰接炬陣，使用起來更方便，對于空間的使用是剛好夠用原則，不會產生太多空間浪費。操作起來，也是簡單。
本文將以鏈接表方式存儲圖結構，在此基礎上實現無向圖最短路徑搜索。
1. 鏈接表
鏈接表的存儲思路：
使用鏈接表實現圖的存儲時，有主表和子表概念。
- 主表： 用來存儲圖對象中的所有頂點數據。
- 子表： 每一個頂點自身會維護一個子表，用來存儲與其相鄰的所有頂點數據。
如下圖結構中有 5 個頂點，使用鏈接表保存時，會有主表 1 張，子表 5 張。鏈接表的優(yōu)點是能夠緊湊地表示稀疏圖。
在 Python 中可以使用列表嵌套實現鏈接表，這應該是最簡單的表達方式。
g = [
['A0', [('B1', 3), ('D3', 5)]],
['B1', [('C2', 4)]],
['C2', [('D3', 6), ('E4', 1)]],
['D3', [('E4', 2)]],
['E4', [('B1', 7)]],
]
在此基礎上，可以做一些簡單的常規(guī)操作。
查詢所有頂點：
for node in g:
print(node[0],end=' ')
查詢頂點及其相鄰頂點：
for node in g:
print('-------------------')
print(node[0], ":", end='')
edges = node[1]
for e in edges:
v, w = e
print(v, w, end=';')
print()
當頂點和相鄰頂點之間的關系很復雜時，這種層層嵌套的存儲格式會讓人眼花繚亂。即使要使用這種嵌套方式，那也應該選擇 Python 中的字典類型，對于查詢會方便很多。
g = {
'A0':{'B1': 3, 'D3': 5},
'B1': {'C2': 4},
'C2': {'D3': 6, 'E4': 1},
'D3': {'E4':2},
'E4': {'B1': 7}
}
如上結構，在查詢時，無論是方便性還是性能，都要強于完全的列表方案。
查詢所有頂點：
for node in g.keys():
print(node,end=" ")
查詢與某一頂點相鄰的頂點時，只需要提供頂點名稱就可以了。
print("查詢與 A0 項點有連接的其它頂點")
for k, v in g.get('A0').items():
print((k, v), end=";")
以上的存儲方案，適合于演示，并不適合于開發(fā)環(huán)境，因頂點本身是具有特定的數據含義（如，可能是城市、公交車站、網址、路由器……），且以上存儲方案讓頂點和其相鄰頂點的信息過度耦合，在實際運用時，會牽一發(fā)而動全身。
也許一個微不足道的修改，會波動到整個結構的更新。
所以，有必要引于 OOP 設計理念，讓頂點和圖有各自特定數據結構，通過 2 種類類型可以更好地體現圖是頂點的集合，頂點和頂點之間的多對多關系。
項點類：
class Vertex:
def __init__(self, name, v_id=0):
# 頂點的編號
self.v_id = v_id
# 頂點的名稱
self.v_name = name
# 是否被訪問過:False 沒有 True:有
self.visited = False
# 與此頂點相連接的其它頂點
self.connected_to = {}
頂點類結構說明：
visited：用于搜索路徑算法中，檢查節(jié)點是否已經被搜索過。connected_to：存儲與項點相鄰的頂點信息。這里使用了字典，以頂點為鍵，權重為值。
圖類：
class Graph:
def __init__(self):
# 一維列表，保存節(jié)點
self.vert_list = {}
# 頂點個數
self.v_nums = 0
# 使用隊列模擬隊列或棧，用于路徑搜索算法
self.queue_stack = []
# 保存搜索到的路徑
self.searchPath = []
圖類結構說明：
queue_stack：使用隊列模擬?；蜿犃?。用于路徑搜索過程中保存臨時數據。
怎么使用列表模擬隊列或棧？
列表有 append()、pop() 2 個很價值的方法。
append() 用來向列表中添加數據，且每次都是從列表最后面添加。
pop() 默認從列表最后面刪除且彈出數據， pop(參數) 可以提供索引值用來從指定位置刪除且彈出數據。
使用 append() 和 pop() 方法就能模擬棧，從同一個地方進出數據。
使用 append() 和 pop(0) 方法就能模擬隊列，從后面添加數據，從最前面獲取數據
searchPath：用于保存搜索到的路徑數據。
2. 最短路徑算法
從圖結構可知，從一個頂點到達另一個頂點，可不止一條可行路徑，在眾多路徑我們總是試圖選擇一條最短路徑，當然，需求不同，衡量一個路徑是不是最短路徑的標準也會不同。
如打開導航系統(tǒng)后，最短路徑可能是費用最少的那條，可能是速度最快的那條，也可能是量程數最少的或者是紅綠燈是最少的……
在無向圖中，以經過的邊數最少的路徑為最短路徑。
在有向加權圖中，會以附加在每條邊上的權重的數據含義來衡量。權重可以是時間、速度、量程數……
2.1 無向圖最短路徑算法
查找無向圖中任意兩個頂點間的最短路徑長度，可以直接使用廣度搜索算法。如下圖求解 A0 ~ F5 的最短路徑。
Tips： 無向圖中任意 2 個頂點間的最短路徑長度由邊數決定。
廣度優(yōu)先搜索算法流程：
廣度優(yōu)先搜索算法的基本原則：以某一頂點為參考點，先搜索離此頂點最近的頂點，再搜索離最近頂點最近的頂點……以此類推，一層一層向目標頂點推進。
如從頂點 A0 找到頂點 F5。先從離 A0 最近的頂點 B1、D3 找起，如果沒找到，再找離 B1、D3 最近的頂點 C2、E4，如果還是沒有找到，再找離 C2、E4 最近的頂點 F5。
因為每一次搜索都是采用最近原則，最后搜索到的目標也一定是最近的路徑。
也因為采用最近原則，所以搜索過程中，在搜索過程中所經歷到的每一個頂點的路徑都是最短路徑。最近+最近，結果必然還是最近。
顯然，廣度優(yōu)先搜索的最近搜索原則是符合先進先出思想的，具體算法實施時可以借助隊列實現整個過程。
算法流程：
1.先確定起始點 A0。
2.找到 A0 的 2 個后序頂點 B1 、D3 （或者說 B1、D3的前序頂點是 A0），壓入隊列中。除去起點 A0，B1、D3 頂點屬于第一近壓入隊列的節(jié)點。
B1和D3壓入隊列的順序并不影響A0~B1或A0~D3的路徑距離（都是 1）。A0~B1的最短路徑長度為 1A0~D3的最短路徑長度為 1
3.從隊列中搜索 B1 時，找到 B1 的后序頂點 C2 并壓入隊列。B1 是 C2 的前序頂點。
B1 ~ C2 的最短路徑長度為 1，而又因為 A0~B1 的最短路徑長度為 1 ，所以 A0 ~ C2 的最短路徑為 2
4.B1 搜索完畢后，在隊列中搜索 B3 時，找到 B3 的后序頂點 E4 ，壓入隊列。因 B1 和 D3 屬于第一近頂點，所以這 2 個頂點的后序頂點 C2、E4 屬于第二近壓入隊列，或說 A0-B1-C2、A0-D3-E4 的路徑距離是相同的（都為 2）。
5.當搜索到 C2 時，沒有后序頂點，此時隊列沒有壓入操作。
6.當 搜索到 E4 時，E4 有 2 個后序頂點 C2、F5，因 C2 已經壓入過，所以僅壓入 F5。因 F5 是由第二近頂點壓入，所以 F5 是屬于第三近壓入頂點。
A0-D3-E4-F5 的路徑為 3。
編碼實現廣度優(yōu)先算法：
在頂點類中添加如下幾個方法：
class Vertex:
def __init__(self, v_name, v_id=0):
# 頂點的編號
self.v_id = v_id
# 頂點的名稱
self.v_name = v_name
# 是否被訪問過:False 沒有 True:有
self.visited = False
# 與此頂點相連接的其它頂點
self.connected_to = {}
'''
添加鄰接頂點
nbr_ver:相鄰頂點
weight:無向無權重圖，權重默認設置為 1
'''
def add_neighbor(self, nbr_ver, weight=1):
# 以相鄰頂點為鍵，權重為值
self.connected_to[nbr_ver] = weight
'''
顯示與當前頂點相鄰的頂點
'''
def __str__(self):
return '與 {0} 頂點相鄰的頂點有:{1}'.format(self.v_name,
str([(key.v_name, val) for key, val in self.connected_to.items()]))
'''
得到相鄰頂點的權重
'''
def get_weight(self, nbr_v):
return self.connected_to[nbr_v]
'''
判斷給定的頂點是否和當前頂點相鄰
'''
def is_neighbor(self, nbr_v):
return nbr_v in self.connected_to
頂點類用來構造一個新頂點，并維護與相鄰頂點的關系。
對圖類中的方法做一下詳細解釋：
初始化方法：
class Graph:
def __init__(self):
# 一維列表，保存節(jié)點
self.vert_list = {}
# 頂點個數
self.v_nums = 0
# 使用隊列模擬隊列或棧，用于路徑搜索算法
self.queue_stack = []
# 保存搜索到的路徑
self.searchPath = []
為圖添加新頂點方法：
def add_vertex(self, vert):
if vert.v_name in self.vert_list:
# 已經存在
return
# 頂點的編號內部生成
vert.v_id = self.v_nums
# 所有頂點保存在圖所維護的字典中，以頂點名為鍵，頂點對象為值
self.vert_list[vert.v_name] = vert
# 數量增一
self.v_nums += 1
頂點的編號由圖對象內部指定，便于統(tǒng)一管理。
所有頂點保存在一個字典中，以頂點名稱為鍵，頂點對象為值。也可以使用列表直接保存頂點，根據需要決定。
提供一個根據頂點名稱返回頂點的方法：
'''
根據頂點名找到頂點對象
'''
def find_vertex(self, v_name):
if v_name in self.vert_list:
return self.vert_list.get(v_name)
# 查詢所有頂點
def find_vertexes(self):
return [str(ver) for ver in self.vert_list.values()]
添加頂點與相鄰頂點的關系：此方法屬于一個封裝方法，本質是調用頂點自身的添加相鄰頂點方法。
'''
添加節(jié)點與節(jié)點之間的關系（邊），
如果是無權重圖，統(tǒng)一設定為 1
'''
def add_edge(self, from_v, to_v, weight=1):
# 如果節(jié)點不存在
if from_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(from_v)
if to_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(to_v)
from_v.add_neighbor(to_v, weight)
圖中核心方法：用來廣度優(yōu)先搜索算法查找頂點與頂點之間的路徑
'''
廣度優(yōu)先搜索
'''
def bfs_nearest_path(self, from_v, to_v):
tmp_path = []
tmp_path.append(from_v)
# 起始頂點不用壓入隊列
from_v.visited = True
# from_v 頂點的相鄰頂點壓入隊列
self.push_queue(from_v)
while len(self.queue_stack) != 0:
# 從隊列中獲取頂點
v_ = self.queue_stack.pop(0)
if from_v.is_neighbor(v_):
# 如果 v_ 是 from_v 的后序相鄰頂點，則連接成一條中路徑信息
tmp_path.append(v_)
# 添加路徑信息
self.searchPath.append(tmp_path)
tmp_path = tmp_path.copy()
tmp_path.pop()
else:
for path_ in self.searchPath:
tmp_path = path_.copy()
tmp = tmp_path[len(tmp_path) - 1]
if tmp.is_neighbor(v_):
tmp_path.append(v_)
self.searchPath.append(tmp_path)
if v_.v_id == to_v.v_id:
break
else:
self.push_queue(v_)
'''
把某一頂點的相鄰頂點壓入隊列
'''
def push_queue(self, vertex):
# 獲取 vertex 頂點的相鄰頂點
for v_ in vertex.connected_to.keys():
# 檢查此頂點是否壓入過
if v_.visited:
continue
vertex.visited = True
self.queue_stack.append(v_)
廣度優(yōu)先搜索算法有一個核心點，當搜索到某一個頂點后，需要找到與此頂點相鄰的其它頂點，并壓入隊列中。push_queue() 方法就是做些事情的。如果某一個頂點曾經進過隊列，就不要再重復壓入隊列了。
測試代碼：
'''
測試無向圖最短路徑
'''
if __name__ == '__main__':
# 初始化圖
graph = Graph()
# 添加節(jié)點
for v_name in ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']:
v = Vertex(v_name)
graph.add_vertex(v)
# 添加頂點之間關系
v_to_v = [('A', 'B'), ('A', 'D'), ('B', 'C'), ('C', 'E'), ('D', 'E'), ('E', 'F')]
# 無向圖中每 2 個相鄰頂點之間互為關系
for v in v_to_v:
f_v = graph.find_vertex(v[0])
t_v = graph.find_vertex(v[1])
graph.add_edge(f_v, t_v)
graph.add_edge(t_v, f_v)
# 輸出所有頂點
print('-----------頂點及頂點之間的關系-------------')
for v in graph.find_vertexes():
print(v)
# 查找路徑
print('-------------廣度優(yōu)先搜索--------------------')
# 起始點
f_v = graph.find_vertex('A')
# 目標點
t_v = graph.find_vertex('F')
# 廣度優(yōu)先搜索
graph.bfs_nearest_path(f_v, t_v)
for path in graph.searchPath:
weight = 0
for idx in range(len(path)):
if idx != len(path) - 1:
weight += path[idx].get_weight(path[idx + 1])
print(path[idx].v_name, end='-')
print("的最短路徑長度，", weight)
輸出結果：
-----------頂點及頂點之間的關系-------------
與 A 頂點相鄰的頂點有:[('B', 1), ('D', 1)]
與 B 頂點相鄰的頂點有:[('A', 1), ('C', 1)]
與 C 頂點相鄰的頂點有:[('B', 1), ('E', 1)]
與 D 頂點相鄰的頂點有:[('A', 1), ('E', 1)]
與 E 頂點相鄰的頂點有:[('C', 1), ('D', 1), ('F', 1)]
與 F 頂點相鄰的頂點有:[('E', 1)]
-------------廣度優(yōu)先搜索--------------------
A-B-的最短路徑長度， 1
A-D-的最短路徑長度， 1
A-B-C-的最短路徑長度， 2
A-D-E-的最短路徑長度， 2
A-B-C-E-的最短路徑長度， 3
A-D-E-的最短路徑長度， 2
A-B-C-E-的最短路徑長度， 3
A-D-E-F-的最短路徑長度， 3
A-B-C-E-F-的最短路徑長度， 4
A-D-E-F-的最短路徑長度， 3
A-B-C-E-F-的最短路徑長度， 4
廣度優(yōu)先搜索算法也可以使用遞歸方案：
'''
遞歸實現
'''
def bfs_nearest_path_dg(self, from_v, to_v):
# 相鄰頂點
self.push_queue(from_v)
tmp_v = self.queue_stack.pop(0)
if not tmp_v.visited:
self.searchPath.append(tmp_v)
if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
return
self.bfs_nearest_path_dg(tmp_v, to_v)
在無向圖中，查找起始點到目標點的最短路徑，使用廣度優(yōu)先搜索算法便可實現，但如果是有向加權圖，可能不會稱心如愿。因有向加權圖中的邊是有權重的。所以對于有向加權圖則需要另擇方案。
3. 總結
圖數據結構的實現過程中會涉及到其它數據結構的運用。學習、使用圖數據結構對其它數據結構有重新認識和鞏固作用。
以上就是Python基于鏈接表實現無向圖最短路徑搜索的詳細內容，更多關于Python無向圖最短路徑搜索的資料請關注腳本之家其它相關文章！
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