Python基于鏈接表實現(xiàn)無向圖最短路徑搜索

更新時間：2022年04月25日 10:02:45 作者：一枚大果殼

鏈接表的存儲相比較鄰接炬陣，使用起來更方便，對于空間的使用是剛好夠用原則，不會產(chǎn)生太多空間浪費。所以本文將以鏈接表方式實現(xiàn)無向圖最短路徑搜索，需要的可以參考一下

前言

圖的常用存儲方式有 2 種：

鄰接炬陣
鏈接表

鄰接炬陣的優(yōu)點和缺點都很明顯。優(yōu)點是簡單、易理解，對于大部分圖結(jié)構(gòu)而言，都是稀疏的，使用炬陣存儲空間浪費就較大。

鏈接表的存儲相比較鄰接炬陣，使用起來更方便，對于空間的使用是剛好夠用原則，不會產(chǎn)生太多空間浪費。操作起來，也是簡單。

本文將以鏈接表方式存儲圖結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)無向圖最短路徑搜索。

1. 鏈接表

鏈接表的存儲思路：

使用鏈接表實現(xiàn)圖的存儲時，有主表和子表概念。

主表： 用來存儲圖對象中的所有頂點數(shù)據(jù)。
子表： 每一個頂點自身會維護一個子表，用來存儲與其相鄰的所有頂點數(shù)據(jù)。

如下圖結(jié)構(gòu)中有 5 個頂點，使用鏈接表保存時，會有主表 1 張，子表 5 張。鏈接表的優(yōu)點是能夠緊湊地表示稀疏圖。

在 Python 中可以使用列表嵌套實現(xiàn)鏈接表，這應(yīng)該是最簡單的表達方式。

g = [
    ['A0', [('B1', 3), ('D3', 5)]],
    ['B1', [('C2', 4)]],
    ['C2', [('D3', 6), ('E4', 1)]],
    ['D3', [('E4', 2)]],
    ['E4', [('B1', 7)]],
]

在此基礎(chǔ)上，可以做一些簡單的常規(guī)操作。

查詢所有頂點：

for node in g:
    print(node[0],end=' ')

查詢頂點及其相鄰頂點：

for node in g:
    print('-------------------')
    print(node[0], ":", end='')
    edges = node[1]
    for e in edges:
        v, w = e
        print(v, w, end=';')
    print()

當頂點和相鄰頂點之間的關(guān)系很復(fù)雜時，這種層層嵌套的存儲格式會讓人眼花繚亂。即使要使用這種嵌套方式，那也應(yīng)該選擇 Python 中的字典類型，對于查詢會方便很多。

g = {
    'A0':{'B1': 3, 'D3': 5},
    'B1': {'C2': 4},
    'C2': {'D3': 6, 'E4': 1},
    'D3': {'E4':2},
    'E4': {'B1': 7}
}

如上結(jié)構(gòu)，在查詢時，無論是方便性還是性能，都要強于完全的列表方案。

查詢所有頂點：

for node in g.keys():
    print(node,end=" ")

查詢與某一頂點相鄰的頂點時，只需要提供頂點名稱就可以了。

print("查詢與 A0 項點有連接的其它頂點")
for k, v in g.get('A0').items():
    print((k, v), end=";")

以上的存儲方案，適合于演示，并不適合于開發(fā)環(huán)境，因頂點本身是具有特定的數(shù)據(jù)含義（如，可能是城市、公交車站、網(wǎng)址、路由器……），且以上存儲方案讓頂點和其相鄰頂點的信息過度耦合，在實際運用時，會牽一發(fā)而動全身。

也許一個微不足道的修改，會波動到整個結(jié)構(gòu)的更新。

所以，有必要引于 OOP 設(shè)計理念，讓頂點和圖有各自特定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過 2 種類類型可以更好地體現(xiàn)圖是頂點的集合，頂點和頂點之間的多對多關(guān)系。

項點類：

class Vertex:
    def __init__(self, name, v_id=0):
        # 頂點的編號
        self.v_id = v_id
        # 頂點的名稱
        self.v_name = name
        # 是否被訪問過:False 沒有 True:有
        self.visited = False
        # 與此頂點相連接的其它頂點
        self.connected_to = {}

頂點類結(jié)構(gòu)說明：

visited：用于搜索路徑算法中，檢查節(jié)點是否已經(jīng)被搜索過。
connected_to：存儲與項點相鄰的頂點信息。這里使用了字典，以頂點為鍵，權(quán)重為值。

圖類：

class Graph:

    def __init__(self):
        # 一維列表，保存節(jié)點
        self.vert_list = {}
        # 頂點個數(shù)
        self.v_nums = 0
        # 使用隊列模擬隊列或棧，用于路徑搜索算法
        self.queue_stack = []
        # 保存搜索到的路徑
        self.searchPath = []

圖類結(jié)構(gòu)說明：

queue_stack：使用隊列模擬?；蜿犃?。用于路徑搜索過程中保存臨時數(shù)據(jù)。

怎么使用列表模擬隊列或棧？

列表有 append()、pop() 2 個很價值的方法。

append() 用來向列表中添加數(shù)據(jù)，且每次都是從列表最后面添加。

pop() 默認從列表最后面刪除且彈出數(shù)據(jù)， pop(參數(shù)) 可以提供索引值用來從指定位置刪除且彈出數(shù)據(jù)。

使用 append() 和 pop() 方法就能模擬棧，從同一個地方進出數(shù)據(jù)。

使用 append() 和 pop(0) 方法就能模擬隊列，從后面添加數(shù)據(jù)，從最前面獲取數(shù)據(jù)

searchPath：用于保存搜索到的路徑數(shù)據(jù)。

2. 最短路徑算法

從圖結(jié)構(gòu)可知，從一個頂點到達另一個頂點，可不止一條可行路徑，在眾多路徑我們總是試圖選擇一條最短路徑，當然，需求不同，衡量一個路徑是不是最短路徑的標準也會不同。

如打開導(dǎo)航系統(tǒng)后，最短路徑可能是費用最少的那條，可能是速度最快的那條，也可能是量程數(shù)最少的或者是紅綠燈是最少的……

在無向圖中，以經(jīng)過的邊數(shù)最少的路徑為最短路徑。

在有向加權(quán)圖中，會以附加在每條邊上的權(quán)重的數(shù)據(jù)含義來衡量。權(quán)重可以是時間、速度、量程數(shù)……

2.1 無向圖最短路徑算法

查找無向圖中任意兩個頂點間的最短路徑長度，可以直接使用廣度搜索算法。如下圖求解 A0 ~ F5 的最短路徑。

Tips： 無向圖中任意 2 個頂點間的最短路徑長度由邊數(shù)決定。

廣度優(yōu)先搜索算法流程：

廣度優(yōu)先搜索算法的基本原則：以某一頂點為參考點，先搜索離此頂點最近的頂點，再搜索離最近頂點最近的頂點……以此類推，一層一層向目標頂點推進。

如從頂點 A0 找到頂點 F5。先從離 A0 最近的頂點 B1、D3 找起，如果沒找到，再找離 B1、D3 最近的頂點 C2、E4，如果還是沒有找到，再找離 C2、E4 最近的頂點 F5。

因為每一次搜索都是采用最近原則，最后搜索到的目標也一定是最近的路徑。

也因為采用最近原則，所以搜索過程中，在搜索過程中所經(jīng)歷到的每一個頂點的路徑都是最短路徑。最近+最近，結(jié)果必然還是最近。

顯然，廣度優(yōu)先搜索的最近搜索原則是符合先進先出思想的，具體算法實施時可以借助隊列實現(xiàn)整個過程。

算法流程：

1.先確定起始點 A0。

2.找到 A0 的 2 個后序頂點 B1 、D3 （或者說 B1、D3的前序頂點是 A0），壓入隊列中。除去起點 A0，B1、D3 頂點屬于第一近壓入隊列的節(jié)點。

B1 和 D3 壓入隊列的順序并不影響 A0 ~B1 或 A0 ~ D3 的路徑距離（都是 1）。
A0~B1 的最短路徑長度為 1
A0~D3 的最短路徑長度為 1

3.從隊列中搜索 B1 時，找到 B1 的后序頂點 C2 并壓入隊列。B1 是 C2 的前序頂點。

B1 ~ C2 的最短路徑長度為 1，而又因為 A0~B1 的最短路徑長度為 1 ，所以 A0 ~ C2 的最短路徑為 2

4.B1 搜索完畢后，在隊列中搜索 B3 時，找到 B3 的后序頂點 E4 ，壓入隊列。因 B1 和 D3 屬于第一近頂點，所以這 2 個頂點的后序頂點 C2、E4 屬于第二近壓入隊列，或說 A0-B1-C2、A0-D3-E4 的路徑距離是相同的（都為 2）。

5.當搜索到 C2 時，沒有后序頂點，此時隊列沒有壓入操作。

6.當搜索到 E4 時，E4 有 2 個后序頂點 C2、F5，因 C2 已經(jīng)壓入過，所以僅壓入 F5。因 F5 是由第二近頂點壓入，所以 F5 是屬于第三近壓入頂點。

A0-D3-E4-F5 的路徑為 3。

編碼實現(xiàn)廣度優(yōu)先算法：

在頂點類中添加如下幾個方法：

class Vertex:
    def __init__(self, v_name, v_id=0):
        # 頂點的編號
        self.v_id = v_id
        # 頂點的名稱
        self.v_name = v_name
        # 是否被訪問過:False 沒有 True:有
        self.visited = False
        # 與此頂點相連接的其它頂點
        self.connected_to = {}

    '''
    添加鄰接頂點
    nbr_ver:相鄰頂點
    weight:無向無權(quán)重圖，權(quán)重默認設(shè)置為 1
    '''
    def add_neighbor(self, nbr_ver, weight=1):
        # 以相鄰頂點為鍵，權(quán)重為值
        self.connected_to[nbr_ver] = weight

    '''
    顯示與當前頂點相鄰的頂點
    '''
    def __str__(self):
        return '與 {0} 頂點相鄰的頂點有:{1}'.format(self.v_name,
                                           str([(key.v_name, val) for key, val in self.connected_to.items()]))

    '''
    得到相鄰頂點的權(quán)重
    '''
    def get_weight(self, nbr_v):
        return self.connected_to[nbr_v]

    '''
    判斷給定的頂點是否和當前頂點相鄰
    '''
    def is_neighbor(self, nbr_v):
        return nbr_v in self.connected_to

頂點類用來構(gòu)造一個新頂點，并維護與相鄰頂點的關(guān)系。

對圖類中的方法做一下詳細解釋：

初始化方法：

class Graph:
    def __init__(self):
        # 一維列表，保存節(jié)點
        self.vert_list = {}
        # 頂點個數(shù)
        self.v_nums = 0
        # 使用隊列模擬隊列或棧，用于路徑搜索算法
        self.queue_stack = []
        # 保存搜索到的路徑
        self.searchPath = []

為圖添加新頂點方法：

   def add_vertex(self, vert):
        if vert.v_name in self.vert_list:
            # 已經(jīng)存在
            return
        # 頂點的編號內(nèi)部生成
        vert.v_id = self.v_nums
        # 所有頂點保存在圖所維護的字典中，以頂點名為鍵，頂點對象為值
        self.vert_list[vert.v_name] = vert
        # 數(shù)量增一
        self.v_nums += 1

頂點的編號由圖對象內(nèi)部指定，便于統(tǒng)一管理。

所有頂點保存在一個字典中，以頂點名稱為鍵，頂點對象為值。也可以使用列表直接保存頂點，根據(jù)需要決定。

提供一個根據(jù)頂點名稱返回頂點的方法：

 	'''
    根據(jù)頂點名找到頂點對象
    '''
    def find_vertex(self, v_name):
        if v_name in self.vert_list:
            return self.vert_list.get(v_name)
    # 查詢所有頂點
    def find_vertexes(self):
        return [str(ver) for ver in self.vert_list.values()]

添加頂點與相鄰頂點的關(guān)系：此方法屬于一個封裝方法，本質(zhì)是調(diào)用頂點自身的添加相鄰頂點方法。

    '''
    添加節(jié)點與節(jié)點之間的關(guān)系（邊），
    如果是無權(quán)重圖，統(tǒng)一設(shè)定為 1 
    '''
    def add_edge(self, from_v, to_v, weight=1):
        # 如果節(jié)點不存在
        if from_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(from_v)
        if to_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(to_v)
        from_v.add_neighbor(to_v, weight)

圖中核心方法：用來廣度優(yōu)先搜索算法查找頂點與頂點之間的路徑

    '''
    廣度優(yōu)先搜索
    '''
    def bfs_nearest_path(self, from_v, to_v):
        tmp_path = []
        tmp_path.append(from_v)
        # 起始頂點不用壓入隊列
        from_v.visited = True
        # from_v 頂點的相鄰頂點壓入隊列
        self.push_queue(from_v)
        while len(self.queue_stack) != 0:
            # 從隊列中獲取頂點
            v_ = self.queue_stack.pop(0)
            if from_v.is_neighbor(v_):
                # 如果 v_ 是 from_v 的后序相鄰頂點，則連接成一條中路徑信息 
                tmp_path.append(v_)
                # 添加路徑信息
                self.searchPath.append(tmp_path)
                tmp_path = tmp_path.copy()
                tmp_path.pop()
            else:
                for path_ in self.searchPath:
                    tmp_path = path_.copy()
                    tmp = tmp_path[len(tmp_path) - 1]
                    if tmp.is_neighbor(v_):
                        tmp_path.append(v_)
                        self.searchPath.append(tmp_path)
            if v_.v_id == to_v.v_id:
                break
            else:
                self.push_queue(v_)

    '''
     把某一頂點的相鄰頂點壓入隊列
     '''
    def push_queue(self, vertex):
        # 獲取 vertex 頂點的相鄰頂點
        for v_ in vertex.connected_to.keys():
            # 檢查此頂點是否壓入過
            if v_.visited:
                continue
            vertex.visited = True
            self.queue_stack.append(v_)

廣度優(yōu)先搜索算法有一個核心點，當搜索到某一個頂點后，需要找到與此頂點相鄰的其它頂點，并壓入隊列中。push_queue() 方法就是做些事情的。如果某一個頂點曾經(jīng)進過隊列，就不要再重復(fù)壓入隊列了。

測試代碼：

'''
測試無向圖最短路徑
'''

if __name__ == '__main__':
    # 初始化圖
    graph = Graph()
    # 添加節(jié)點
    for v_name in ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']:
        v = Vertex(v_name)
        graph.add_vertex(v)

    # 添加頂點之間關(guān)系
    v_to_v = [('A', 'B'), ('A', 'D'), ('B', 'C'), ('C', 'E'), ('D', 'E'), ('E', 'F')]
    # 無向圖中每 2 個相鄰頂點之間互為關(guān)系
    for v in v_to_v:
        f_v = graph.find_vertex(v[0])
        t_v = graph.find_vertex(v[1])
        graph.add_edge(f_v, t_v)
        graph.add_edge(t_v, f_v)

    # 輸出所有頂點
    print('-----------頂點及頂點之間的關(guān)系-------------')
    for v in graph.find_vertexes():
        print(v)

    # 查找路徑
    print('-------------廣度優(yōu)先搜索--------------------')
    # 起始點
    f_v = graph.find_vertex('A')
    # 目標點
    t_v = graph.find_vertex('F')
    # 廣度優(yōu)先搜索
    graph.bfs_nearest_path(f_v, t_v)
    for path in graph.searchPath:
        weight = 0
        for idx in range(len(path)):
            if idx != len(path) - 1:
                weight += path[idx].get_weight(path[idx + 1])
            print(path[idx].v_name, end='-')
        print("的最短路徑長度，", weight)

輸出結(jié)果：

-----------頂點及頂點之間的關(guān)系-------------
與 A 頂點相鄰的頂點有:[('B', 1), ('D', 1)]
與 B 頂點相鄰的頂點有:[('A', 1), ('C', 1)]
與 C 頂點相鄰的頂點有:[('B', 1), ('E', 1)]
與 D 頂點相鄰的頂點有:[('A', 1), ('E', 1)]
與 E 頂點相鄰的頂點有:[('C', 1), ('D', 1), ('F', 1)]
與 F 頂點相鄰的頂點有:[('E', 1)]
-------------廣度優(yōu)先搜索--------------------
A-B-的最短路徑長度， 1
A-D-的最短路徑長度， 1
A-B-C-的最短路徑長度， 2
A-D-E-的最短路徑長度， 2
A-B-C-E-的最短路徑長度， 3
A-D-E-的最短路徑長度， 2
A-B-C-E-的最短路徑長度， 3
A-D-E-F-的最短路徑長度， 3
A-B-C-E-F-的最短路徑長度， 4
A-D-E-F-的最短路徑長度， 3
A-B-C-E-F-的最短路徑長度， 4

廣度優(yōu)先搜索算法也可以使用遞歸方案：

    '''
    遞歸實現(xiàn)
    '''

    def bfs_nearest_path_dg(self, from_v, to_v):

        # 相鄰頂點
        self.push_queue(from_v)
        tmp_v = self.queue_stack.pop(0)
        if not tmp_v.visited:
            self.searchPath.append(tmp_v)
        if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
            return

        self.bfs_nearest_path_dg(tmp_v, to_v)

在無向圖中，查找起始點到目標點的最短路徑，使用廣度優(yōu)先搜索算法便可實現(xiàn)，但如果是有向加權(quán)圖，可能不會稱心如愿。因有向加權(quán)圖中的邊是有權(quán)重的。所以對于有向加權(quán)圖則需要另擇方案。