1. 圖信號處理知識

圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)涉及到圖信號處理的相關(guān)知識，也是由圖信號處理領(lǐng)域的知識推導(dǎo)發(fā)展而來，了解圖信號處理的知識是理解圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。

1.1 圖的拉普拉斯矩陣

拉普拉斯矩陣是體現(xiàn)圖結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的一種重要矩陣，是圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個重要部分。

1.1.1 拉普拉斯矩陣的定義及示例

實例：

按照上述計算式子，可以得到拉普拉斯矩陣為：

1.1.2 正則化拉普拉斯矩陣

1.1.3 拉普拉斯矩陣的性質(zhì)

1.2 圖上的傅里葉變換

傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。它將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域，從頻域視角給出了信號處理的另一種解法。（1）對于圖結(jié)構(gòu)，可以定義圖上的傅里葉變換(GFT)，對于任意一個在圖G上的信號x，其傅里葉變換表示為：

從線代角度，可以清晰的看出：v1,…, vn構(gòu)成了N維特征空間中的一組完備基向量，G中任意一個圖信號都可表示為這些基向量的線性加權(quán)求和，系數(shù)為圖信號對應(yīng)傅里葉基上的傅里葉系數(shù)。

回到之前提到的拉普拉斯矩陣刻畫平滑度的總變差：

可以看成：刻畫圖平滑度的總變差是圖中所有節(jié)點特征值的線性組合，權(quán)值為傅里葉系數(shù)的平方?？傋儾钊∽钚≈档臈l件是圖信號與最小的特征值所對應(yīng)的特征向量完全重合，結(jié)合其描述圖信號整體平滑度的意義，可將特征值等價成頻率：特征值越低，頻率越低，對應(yīng)的傅里葉基變化緩慢，即相近節(jié)點的信號值趨于一致。

把圖信號所有的傅里葉系數(shù)結(jié)合稱為頻譜(spectrum)，頻域的視角從全局視角既考慮信號本身，也考慮到圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

1.3 圖信號濾波器

圖濾波器(Graph Filter)為對圖中的頻率分量進行增強或衰減，圖濾波算子核心為其頻率響應(yīng)矩陣，為濾波器帶來不同的濾波效果。

故圖濾波器根據(jù)濾波效果可分為低通，高通和帶通。

低通濾波器：保留低頻部分，關(guān)注信號的平滑部分；

高通濾波器：保留高頻部分，關(guān)注信號的劇烈變化部分；

帶通濾波器：保留特定頻段部分；

而拉普拉斯矩陣多項式擴展可形成圖濾波器H：

2. 圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 數(shù)學(xué)定義

圖卷積運算的數(shù)學(xué)定義為：

上述公式存在一個較大問題：學(xué)習(xí)參數(shù)為N，這涉及到整個圖的所有節(jié)點，對于大規(guī)模數(shù)據(jù)極易發(fā)生過擬合。

進一步的化簡推導(dǎo)：將之前說到的拉普拉斯矩陣的多項式展開代替上述可訓(xùn)練參數(shù)矩陣。

此結(jié)構(gòu)內(nèi)容即定義為圖卷積層(GCN layer)，有圖卷積層堆疊得到的網(wǎng)絡(luò)模型即為圖卷積網(wǎng)絡(luò)GCN。

2.2 GCN的理解及時間復(fù)雜度

圖卷積層是對頻率響應(yīng)矩陣的極大化簡，將本要訓(xùn)練的圖濾波器直接退化為重歸一化拉普拉斯矩陣

2.3 GCN的優(yōu)缺點

優(yōu)點：GCN作為近年圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)之作，對處理圖數(shù)據(jù)非常有效，其對圖結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)信息和節(jié)點的屬性信息同時學(xué)習(xí)，共同得到最終的節(jié)點特征表示，考慮到了節(jié)點之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性，這在圖操作中是非常重要的。

缺點：過平滑問題(多層疊加之后，節(jié)點的表示向量趨向一致，節(jié)點難以區(qū)分)，由于GCN具有一個低通濾波器的作用(j聚合特征時使得節(jié)點特征不斷融合)，多次迭代后特征會趨于相同。

3. Pytorch代碼解析

GCN層的pytorch實現(xiàn)：

class GraphConvolutionLayer(nn.Module):
    '''
        圖卷積層:Lsym*X*W
            其中 Lsym表示正則化圖拉普拉斯矩陣, X為輸入特征, W為權(quán)重矩陣, X'表示輸出特征;
            *表示矩陣乘法
    '''
    def __init__(self, input_dim, output_dim, use_bias=True):
        #初始化, parameters: input_dim-->輸入維度, output_dim-->輸出維度, use_bias-->是否使用偏置項, boolean
        super(GraphConvolutionLayer,self).__init__()
        self.input_dim=input_dim
        self.output_dim=output_dim
        self.use_bias=use_bias #是否加入偏置, 默認(rèn)為True
        self.weight=nn.Parameter(torch.Tensor(input_dim, output_dim))#權(quán)重矩陣為可訓(xùn)練參數(shù)
        if self.use_bias==True: #加入偏置
            self.bias=nn.Parameter(torch.Tensor(output_dim)) 
        else: #設(shè)置偏置為空
            self.register_parameter('bias', None)
        self.reset_parameters()
    def reset_parameters(self):
        #初始化參數(shù)
        stdv = 1. / math.sqrt(self.weight.size(1))
        self.weight.data.uniform_(-stdv, stdv)#使用均勻分布U(-stdv,stdv)初始化權(quán)重Tensor
        if self.bias is not None:
            self.bias.data.uniform_(-stdv, stdv)
    def forward(self, adj, input_feature):
        #前向傳播, parameters: adj-->鄰接矩陣(輸入為正則化拉普拉斯矩陣), input_future-->輸入特征矩陣
        temp=torch.mm(input_feature, self.weight)#矩陣乘法, 得到X*W
        output_feature=torch.sparse.mm(adj, temp)#由于鄰接矩陣adj為稀疏矩陣, 采用稀疏矩陣乘法提高計算效率, 得到Lsym*temp=Lsym*X*W
        if self.use_bias==True: #若設(shè)置了偏置, 加入偏置項
            output_feature+=self.bias
        return output_feature

定義兩層的GCN網(wǎng)絡(luò)模型：

class GCN(nn.Module):
    '''
        定義兩層GCN網(wǎng)絡(luò)模型
    '''
    def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim):
        #初始化, parameters: input_dim-->輸入維度, hidden_dim-->隱藏層維度, output_dim-->輸出維度
        super.__init__(GCN, self).__init__()
        #定義兩層圖卷積層
        self.gcn1=GraphConvolutionLayer(input_dim, hidden_dim)
        self.gcn2=GraphConvolutionLayer(hidden_dim, output_dim)
    def forward(self, adj, feature):
        #前向傳播, parameters: adj-->鄰接矩陣, feature-->輸入特征
        x=F.relu(self.gcn1(adj, feature))
        x=self.gcn2(adj, x)
        return F.log_softmax(x, dim=1)

以上就是GCN圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理及代碼解析的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于GCN圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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