數(shù)字圖像經(jīng)過傅里葉變換后，得到的頻域值是復(fù)數(shù)。因此，顯示傅里葉變換的結(jié)果需要使用實數(shù)圖像（real image）加虛數(shù)圖像（complex image），或者幅度圖像（magnitude image）加相位圖像（phase image）的形式。

因為幅度圖像包含了原圖像中我們所需要的大部分信息，所以在圖像處理過程中，通常僅使用幅度圖像。

如果希望先在頻域內(nèi)對圖像進(jìn)行處理，再通過逆傅里葉變換得到修改后的空域圖像，就必須同時保留幅度圖像和相位圖像。

對圖像進(jìn)行傅里葉變換后，會得到圖像中的低頻和高頻信息。

低頻信息對應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。高頻信息對應(yīng)圖像內(nèi)變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。

傅里葉變換的目的，就是為了將圖像從空域轉(zhuǎn)換到頻域，并在頻域內(nèi)實現(xiàn)對圖像內(nèi)特定對象的處理，然后再對經(jīng)過處理的頻域圖像進(jìn)行逆傅里葉變換得到空域圖像。

傅里葉變換在圖像處理領(lǐng)域發(fā)揮著非常關(guān)鍵的作用，可以實現(xiàn)圖像增強、圖像去噪、邊緣檢測、特征提取、圖像壓縮和加密等。

Numpy實現(xiàn)傅里葉變換

Numpy模塊中的fft2()函數(shù)可以實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。

實現(xiàn)傅里葉變換

Numpy提供的實現(xiàn)傅里葉變換的函數(shù)是numpy.fft.fft2()，它的語法格式是：

返回值 = numpy.fft.fft2(原始圖像)

參數(shù)“原始圖像”的類型是灰度圖像，函數(shù)的返回值是一個復(fù)數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

經(jīng)過該函數(shù)的處理，就能得到圖像的頻譜信息。

此時，圖像頻譜中的零頻率分量位于頻譜圖像（頻域圖像）的左上角

為了便于觀察，通常會使用numpy.fft.fftshift()函數(shù)將零頻率成分移動到頻域圖像的中心位置。

函數(shù)numpy.fft.fftshift()的語法格式是：

返回值=numpy.fft.fftshift(原始頻譜)

使用該函數(shù)處理后，圖像頻譜中的零頻率分量會被移到頻域圖像的中心位置，對于觀察傅里葉變換后頻譜中的零頻率部分非常有效。

對圖像進(jìn)行傅里葉變換后，得到的是一個復(fù)數(shù)數(shù)組。

為了顯示為圖像，需要將它們的值調(diào)整到[0, 255]的灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

像素新值=20*np.log(np.abs(頻譜值))

用Numpy實現(xiàn)傅里葉變換，觀察得到的頻譜圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f) 
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) 
plt.subplot(121) 
plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original') 
plt.axis('off') 
plt.subplot(122) 
plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') 
plt.title('result') 
plt.axis('off') 
plt.show()

實現(xiàn)逆傅里葉變換

注意: 如果在傅里葉變換過程中使用了numpy.fft.fftshift()函數(shù)移動零頻率分量，那么在逆傅里葉變換過程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函數(shù)將零頻率分量移到原來的位置，再進(jìn)行逆傅里葉變換

函數(shù)numpy.fft.ifftshift()是numpy.fft.fftshift()的逆函數(shù)，其語法格式為：

調(diào)整后的頻譜 = numpy.fft.ifftshift(原始頻譜)

numpy.fft.ifft2()函數(shù)可以實現(xiàn)逆傅里葉變換，返回空域復(fù)數(shù)數(shù)組。

它是numpy.fft.fft2()的逆函數(shù)，該函數(shù)的語法格式為：

返回值=numpy.fft.ifft2(頻域數(shù)據(jù))

函數(shù)numpy.fft.ifft2()的返回值仍舊是一個復(fù)數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

逆傅里葉變換得到的空域信息是一個復(fù)數(shù)數(shù)組，需要將該信息調(diào)整至[0, 255]灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

iimg = np.abs(逆傅里葉變換結(jié)果)

在Numpy內(nèi)實現(xiàn)傅里葉變換、逆傅里葉變換，觀察逆傅里葉變換的結(jié)果圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f)

ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
iimg = np.fft.ifft2(ishift) 

iimg = np.abs(iimg) 
 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') 
plt.title('iimg'), plt.axis('off') 
plt.show()

高通濾波示例

一幅圖像內(nèi)，同時存在著高頻信號和低頻信號。

低頻信號對應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的圖像中，低頻信號對應(yīng)著顏色趨于一致的廣袤草原。
高頻信號對應(yīng)圖像內(nèi)變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。如果在上面的大草原圖像中還有一頭獅子，那么高頻信號就對應(yīng)著獅子的邊緣等信息。

濾波器能夠允許一定頻率的分量通過或者拒絕其通過，按照其作用方式可以劃分為低通濾波器和高通濾波器。

允許低頻信號通過的濾波器稱為低通濾波器。低通濾波器使高頻信號衰減而對低頻信號放行，會使圖像變模糊。
允許高頻信號通過的濾波器稱為高通濾波器。高通濾波器使低頻信號衰減而讓高頻信號通過，將增強圖像中尖銳的細(xì)節(jié)，但是會導(dǎo)致圖像的對比度降低。

傅里葉變換可以將圖像的高頻信號和低頻信號分離。

通過對圖像的頻域處理，可以實現(xiàn)圖像增強、圖像去噪、邊緣檢測、特征提取、壓縮和加密等操作。

在Numpy內(nèi)對圖像進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻域圖像。然后，在頻域內(nèi)將低頻分量的值處理為0，實現(xiàn)高通濾波。最后，對圖像進(jìn)行逆傅里葉變換，得到恢復(fù)的原始圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f) 
rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
iimg = np.fft.ifft2(ishift) 
iimg = np.abs(iimg) 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') 
plt.title('iimg'), plt.axis('off') 
plt.show()

OpenCV實現(xiàn)傅里葉變換

OpenCV提供了函數(shù)cv2.dft()和cv2.idft()來實現(xiàn)傅里葉變換和逆傅里葉變換

實現(xiàn)傅里葉變換

函數(shù)cv2.dft()的語法格式為：

返回結(jié)果=cv2.dft(原始圖像，轉(zhuǎn)換標(biāo)識)

在使用該函數(shù)時，需要注意參數(shù)的使用規(guī)范：

對于參數(shù)“原始圖像”，要首先使用np.float32()函數(shù)將圖像轉(zhuǎn)換成np.float32格式。
“轉(zhuǎn)換標(biāo)識”的值通常為“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用來輸出一個復(fù)數(shù)陣列。

函數(shù)cv2.dft()返回的結(jié)果與使用Numpy進(jìn)行傅里葉變換得到的結(jié)果是一致的，但是它返回的值是雙通道的，第1個通道是結(jié)果的實數(shù)部分，第2個通道是結(jié)果的虛數(shù)部分。

經(jīng)過函數(shù)cv2.dft()的變換后，得到了原始圖像的頻譜信息。

此時，零頻率分量并不在中心位置，為了處理方便需要將其移至中心位置，可以用函數(shù)numpy.fft.fftshift()實現(xiàn)。

例如，如下語句將頻譜圖像dft中的零頻率分量移到頻譜中心，得到了零頻率分量位于中心的頻譜圖像dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift(dft)

經(jīng)過上述處理后，頻譜圖像還只是一個由實部和虛部構(gòu)成的值。要將其顯示出來，還要做進(jìn)一步的處理才行。

函數(shù)cv2.magnitude()可以計算頻譜信息的幅度。該函數(shù)的語法格式為：

返回值=cv2.magnitude(參數(shù)1，參數(shù)2)

參數(shù)1：浮點型x坐標(biāo)值，也就是實部。
參數(shù)2：浮點型y坐標(biāo)值，也就是虛部，它必須和參數(shù)1具有相同的size

函數(shù)cv2.magnitude()的返回值是參數(shù)1和參數(shù)2的平方和的平方根，公式為：

得到頻譜信息的幅度后，通常還要對幅度值做進(jìn)一步的轉(zhuǎn)換，以便將頻譜信息以圖像的形式展示出來。簡單來說，就是需要將幅度值映射到灰度圖像的灰度空間[0, 255]內(nèi)，使其以灰度圖像的形式顯示出來。

這里使用的公式為：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(實部，虛部))

import numpy as np import cv2 img = cv2.imread('./img/hand1.jpg',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) print(dft) dftShift = np.fft.fftshift(dft) print(dftShift) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) #兩個參數(shù)，需要拆分通道print(result)

用OpenCV函數(shù)對圖像進(jìn)行傅里葉變換，并展示其頻譜信息。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') 
plt.title('result'), plt.axis('off') 
plt.show()

實現(xiàn)逆傅里葉變換

在OpenCV中，使用函數(shù)cv2.idft()實現(xiàn)逆傅里葉變換，該函數(shù)是傅里葉變換函數(shù)cv2.dft()的逆函數(shù)。其語法格式為：

返回結(jié)果=cv2.idft(原始數(shù)據(jù))

對圖像進(jìn)行傅里葉變換后，通常會將零頻率分量移至頻譜圖像的中心位置。如果使用函數(shù)numpy.fft.fftshift()移動了零頻率分量，那么在進(jìn)行逆傅里葉變換前，要使用函數(shù)numpy.fft.ifftshift()將零頻率分量恢復(fù)到原來位置。

注意: 在進(jìn)行逆傅里葉變換后，得到的值仍舊是復(fù)數(shù)，需要使用函數(shù)cv2.magnitude()計算其幅度。

用OpenCV函數(shù)對圖像進(jìn)行傅里葉變換、逆傅里葉變換，并展示原始圖像及經(jīng)過逆傅里葉變換后得到的圖像。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft)

ishift = np.fft.ifftshift(dftShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) # 計算幅度
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show()

低通濾波示例

在一幅圖像內(nèi)，低頻信號對應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。圖像進(jìn)行低通濾波后會變模糊。

實現(xiàn)的中間步驟

rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) # 二維的原因，有實部和虛部 
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1

然后，將其與頻譜圖像進(jìn)行運算，實現(xiàn)低通濾波。這里采用的運算形式是：

fShift = dftShift*mask

使用函數(shù)cv2.dft()對圖像進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻譜圖像。然后，在頻域內(nèi)將其高頻分量的值處理為0，實現(xiàn)低通濾波。最后，對圖像進(jìn)行逆傅里葉變換，得到恢復(fù)的原始圖像。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft)

rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) 
#兩個通道，與頻域圖像匹配 
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 
fShift = dftShift*mask 
ishift = np.fft.ifftshift(fShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show()