圖文詳解梯度下降算法的原理及Python實(shí)現(xiàn)

更新時(shí)間：2022年08月03日 09:01:10 作者：Mr.Winter`

梯度下降是迭代法的一種,可以用于求解最小二乘問題(線性和非線性都可以)。本文將通過圖文詳解梯度下降算法的原理及實(shí)現(xiàn)，需要的可以參考一下

1.引例

給定如圖所示的某個(gè)函數(shù)，如何通過計(jì)算機(jī)算法編程求f(x)min？

2.數(shù)值解法

傳統(tǒng)方法是數(shù)值解法，如圖所示

按照以下步驟迭代循環(huán)直至最優(yōu)：

① 任意給定一個(gè)初值x₀；

② 隨機(jī)生成增量方向，結(jié)合步長(zhǎng)生成Δx；

③ 計(jì)算比較f(x₀)與f(x₀+Δx)的大小，若f(x₀+Δx)<f(x₀)則更新位置，否則重新生成Δx；

④ 重復(fù)②③直至收斂到最優(yōu)f(x)min。

數(shù)值解法最大的優(yōu)點(diǎn)是編程簡(jiǎn)明，但缺陷也很明顯：

① 初值的設(shè)定對(duì)結(jié)果收斂快慢影響很大；

② 增量方向隨機(jī)生成，效率較低；

③ 容易陷入局部最優(yōu)解；

④ 無法處理“高原”類型函數(shù)。

所謂陷入局部最優(yōu)解是指當(dāng)?shù)M(jìn)入到某個(gè)極小值或其鄰域時(shí)，由于步長(zhǎng)選擇不恰當(dāng)，無論正方向還是負(fù)方向，學(xué)習(xí)效果都不如當(dāng)前，導(dǎo)致無法向全局最優(yōu)迭代。就本問題而言如圖所示，當(dāng)?shù)萑離=x_j時(shí)，由于學(xué)習(xí)步長(zhǎng)step的限制，無法使f(x_j±Step)<f(x_j)，因此迭代就被鎖死在了圖中的紅色區(qū)段?？梢钥闯鰔=x_j并非期望的全局最優(yōu)。

若出現(xiàn)下圖所示的“高原”函數(shù)，也可能使迭代得不到更新。

3.梯度下降算法

梯度下降算法可視為數(shù)值解法的一種改進(jìn)，闡述如下：

記第k輪迭代后，自變量更新為x=x_k，令目標(biāo)函數(shù)f(x)在x=x_^k泰勒展開：

f(x)=f(xk?)+f′(xk?)(x−xk?)+o(x)

考察f(x)min ，則期望f(x_k+1)<f(x_k)，從而：

f(xk+1?)−f(xk?)=f′(xk?)(xk+1?−xk?)<0

若f′(x_k)>0則x_k+1<x_k ，即迭代方向?yàn)樨?fù)；反之為正。不妨設(shè)x_k+1−x_k=−f′(x_k)，從而保證f(x_k+1)−f(x_k)<0。必須指出，泰勒公式成立的條件是x→x₀，故|f′(x_k)|不能太大，否則x_k+1與x_k距離太遠(yuǎn)產(chǎn)生余項(xiàng)誤差。因此引入學(xué)習(xí)率γ∈(0,1)來減小偏移度，即x_k+1-x_k=−γf′(xk?)

在工程上，學(xué)習(xí)率γ \gammaγ要結(jié)合實(shí)際應(yīng)用合理選擇，γ \gammaγ過大會(huì)使迭代在極小值兩側(cè)振蕩，算法無法收斂；γ \gammaγ過小會(huì)使學(xué)習(xí)效率下降，算法收斂慢。

對(duì)于向量，將上述迭代公式推廣為

xk+1?=xk?−γ∇xk??

其中

為多元函數(shù)的梯度，故此迭代算法也稱為梯度下降算法

梯度下降算法通過函數(shù)梯度確定了每一次迭代的方向和步長(zhǎng)，提高了算法效率。但從原理上可以知道，此算法并不能解決數(shù)值解法中初值設(shè)定、局部最優(yōu)陷落和部分函數(shù)鎖死的問題。

4.代碼實(shí)戰(zhàn)：Logistic回歸

import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit

'''
* @breif: 從CSV中加載指定數(shù)據(jù)
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加載的列名
* @param[in]: mode -> 加載模式, set: 列名與該列數(shù)據(jù)組成的字典, df: df類型
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
    assert mode in ('set', 'df')
    df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
    if mode == 'df':
        return df
    if mode == 'set':
        res = {}
        for col in colName:
            res[col] = df[col].values
        return res

if __name__ == '__main__':
    # ============================
    # 讀取CSV數(shù)據(jù)
    # ============================
    csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
    dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
    dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
    label = np.array([
        1 if i == "是" else 0
        for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
    ])

    # ============================
    # 繪制樣本點(diǎn)
    # ============================
    line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    plt.title('對(duì)數(shù)幾率回歸模擬\nLogistic Regression Simulation')
    plt.xlabel('density')
    plt.ylabel('sugarRate')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
                dataX['含糖率'][label==0],
                marker='^',
                color='k',
                s=100,
                label='壞瓜')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
                dataX['含糖率'][label==1],
                marker='^',
                color='r',
                s=100,
                label='好瓜')

    # ============================
    # 實(shí)例化對(duì)數(shù)幾率回歸模型
    # ============================
    logit = Logit(dataX, label)

    # 采用梯度下降法
    logit.logitRegression(logit.gradientDescent)
    line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
    plt.plot(line_x, line_y, 'b-', label="梯度下降法")

    # 繪圖
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()