層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯.塞蒂（T.L.saaty）正式提出。

它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。

它的應用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領域。

計算步驟

1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實際問題的基礎上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮樱虚g可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多于9個)應進一步分解出子準則層。

2、構(gòu)造成對比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1—9比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層。

3、計算權(quán)向量并做一致性檢驗。對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)造成對比較陣。

4、計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗。計算最下層對目標的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較陣。

案例

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型

層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。

不妨用選拔干部為例：對三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設有三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型

（2）構(gòu)造判斷矩陣

在確定各層次各因素之間的權(quán)重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出：一致矩陣法，即：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。

對比時采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同因素相互比較的困難，以提高準確度。

比較第 i 個元素與第 j 個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權(quán)重aij來描述。設共有 n 個元素參與比較，則稱為成對比較矩陣。

成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標度進行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

• aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同；
• aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
• aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
• aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；
• aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要；
• aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于
• aij = 2n − 1與aij = 2n + 1之間；
• ，n=1,2,...,9， 當且僅當aji = n。

成對比較矩陣的特點：。（備注：當i=j時候，aij = 1）

對該例 2， 選拔干部考慮5個條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：

a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認為品德比年齡重要。

（3）判斷矩陣的一致性檢驗

所謂一致性是指判斷思維的邏輯一致性。如當甲比丙是強烈重要，而乙比丙是稍微重要時，顯然甲一定比乙重要。這就是判斷思維的邏輯一致性，否則判斷就會有矛盾。

從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應該有

但實際上在構(gòu)造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。

由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣 的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

檢驗成對比較矩陣A一致性的步驟如下：

計算衡量一個成對比較矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標CI：

RI是這樣得到的:對于固定的n,隨機構(gòu)造成對比較陣A, 其中aij是從1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中隨機抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值

注解：

• 從有關(guān)資料查出檢驗成對比較矩陣 A 一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數(shù) n 有關(guān)。
• 按下面公式計算成對比較陣 A 的隨機一致性比率 CR：
• 

判斷方法如下： 當CR<0.1時，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對比較矩陣 A，直到達到滿意的一致性為止。

例如對例 2 的矩陣

計算得到,查得RI=1.12，

這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此時A的最大特征值對應的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標準化后變成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。經(jīng)過標準化后這個向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。

求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D為成對比較陣 的特征值，Y的列為相應特征向量。

在實踐中，可采用下述方法計算對成對比較陣A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相應特征向量的近似值。

定義

，

可以近似地看作A的對應于最大特征值的特征向量。

計算

可以近似看作A的最大特征值。實踐中可以由λ來判斷矩陣A的一致性

（4） 層次總排序及決策

現(xiàn)在來完整地解決例 2 的問題，要從三個候選人y1,y2,y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人。對此，對三個候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關(guān)系(x5)。

先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣

經(jīng)計算，B1的權(quán)向量

ωx1(Y) = (0.082,0.236,0.682)z

故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。

類似地，分別比較三個候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對比較陣

通過計算知，相應的權(quán)向量為

它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。

最后計算各候選人的總得分。y1的總得分

從計算公式可知，y1的總得分ω(y1)實際上是y1各條件得分ωx1(y1) ,ωx2(y1) ,...,ωx5(y1) ,的加權(quán)平均, 權(quán)就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分為

ωz(y2) = 0.243,ωz(y3) = 0.452

即排名:Y3 > Y1 > Y2

比較后可得：候選人y3是第一干部人選。

優(yōu)缺點

（一）優(yōu)點

1. 系統(tǒng)性的分析方法：

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。

2. 簡潔實用的決策方法：

這種方法既不單純追求高深數(shù)學，又不片面地注重行為、邏輯、推理，而是把定性方法與定量方法有機地結(jié)合起來。

3. 所需定量數(shù)據(jù)信息較少：

層次分析法主要是從評價者對評價問題的本質(zhì)、要素的理解出發(fā)，比一般的定量方法更講求定性的分析和判斷。

（二）缺點

1. 不能為決策提供新方案：

層次分析法的作用是從備選方案中選擇較優(yōu)者。這個作用正好說明了層次分析法只能從原有方案中進行選取，而不能為決策者提供解決問題的新方案。

2. 定量數(shù)據(jù)較少，定性成分多，不易令人信服：

在如今對科學的方法的評價中，一般都認為一門科學需要比較嚴格的數(shù)學論證和完善的定量方法。但現(xiàn)實世界的問題和人腦考慮問題的過程很多時候并不是能簡單地用數(shù)字來說明一切的。

3. 指標過多時數(shù)據(jù)統(tǒng)計量大，且權(quán)重難以確定：

當我們希望能解決較普遍的問題時，指標的選取數(shù)量很可能也就隨之增加。

4. 特征值和特征向量的精確求法比較復雜：

在求判斷矩陣的特征值和特征向量時，所用的方法和我們多元統(tǒng)計所用的方法是一樣的。

注意事項

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會降低AHP法的結(jié)果質(zhì)量，甚至導致AHP法決策失敗。

為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需把握以下原則：

• 1、分解簡化問題時把握主要因素，不漏不多；
• 2、注意相比較元素之間的強度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。

四層AHP

上面例子是只有目標層、準則層、方案層，下面的結(jié)構(gòu)多了子準則層，并且準則層對應不同的子準則層

總結(jié)

以上為個人經(jīng)驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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