層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯.塞蒂（T.L.saaty）正式提出。

它是一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。

它的應用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領域。

計算步驟

1、建立層次結構模型。在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或對象層，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多于9個)應進一步分解出子準則層。

2、構造成對比較陣。從層次結構模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1—9比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。

3、計算權向量并做一致性檢驗。對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權向量：若不通過，需重新構造成對比較陣。

4、計算組合權向量并做組合一致性檢驗。計算最下層對目標的組合權向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率較大的成對比較陣。

案例

（1）建立層次結構模型

層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。

不妨用選拔干部為例：對三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和群眾關系，構成如下層次分析模型： 假設有三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和群眾關系，構成如下層次分析模型

（2）構造判斷矩陣

在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出：一致矩陣法，即：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。

對比時采用相對尺度，以盡可能減少性質不同因素相互比較的困難，以提高準確度。

比較第 i 個元素與第 j 個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權重aij來描述。設共有 n 個元素參與比較，則稱為成對比較矩陣。

成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標度進行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

• aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同；
• aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
• aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
• aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；
• aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要；
• aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于
• aij = 2n − 1與aij = 2n + 1之間；
• ，n=1,2,...,9， 當且僅當aji = n。

成對比較矩陣的特點：。（備注：當i=j時候，aij = 1）

對該例 2， 選拔干部考慮5個條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關系x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：

a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認為品德比年齡重要。

（3）判斷矩陣的一致性檢驗

所謂一致性是指判斷思維的邏輯一致性。如當甲比丙是強烈重要，而乙比丙是稍微重要時，顯然甲一定比乙重要。這就是判斷思維的邏輯一致性，否則判斷就會有矛盾。

從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應該有

但實際上在構造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。

由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣 的一致性要求，轉化為要求： 的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

檢驗成對比較矩陣A一致性的步驟如下：

計算衡量一個成對比較矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標CI：

RI是這樣得到的:對于固定的n,隨機構造成對比較陣A, 其中aij是從1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中隨機抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值

注解：

• 從有關資料查出檢驗成對比較矩陣 A 一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數(shù) n 有關。
• 按下面公式計算成對比較陣 A 的隨機一致性比率 CR：
• 

判斷方法如下： 當CR<0.1時，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調整成對比較矩陣 A，直到達到滿意的一致性為止。

例如對例 2 的矩陣

計算得到,查得RI=1.12，

這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此時A的最大特征值對應的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標準化后變成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。經(jīng)過標準化后這個向量稱為權向量。這里它反映了決策者選拔干部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權向量U的各分量所確定。

求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D為成對比較陣 的特征值，Y的列為相應特征向量。

在實踐中，可采用下述方法計算對成對比較陣A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相應特征向量的近似值。

定義

，

可以近似地看作A的對應于最大特征值的特征向量。

計算

可以近似看作A的最大特征值。實踐中可以由λ來判斷矩陣A的一致性

（4） 層次總排序及決策

現(xiàn)在來完整地解決例 2 的問題，要從三個候選人y1,y2,y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人。對此，對三個候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關系(x5)。

先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣

經(jīng)計算，B1的權向量

ωx1(Y) = (0.082,0.236,0.682)z

故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。

類似地，分別比較三個候選人的才能，資歷，年齡，群眾關系得成對比較陣

通過計算知，相應的權向量為

它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關系分。經(jīng)檢驗知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。

最后計算各候選人的總得分。y1的總得分

從計算公式可知，y1的總得分ω(y1)實際上是y1各條件得分ωx1(y1) ,ωx2(y1) ,...,ωx5(y1) ,的加權平均, 權就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分為

ωz(y2) = 0.243,ωz(y3) = 0.452

即排名:Y3 > Y1 > Y2

比較后可得：候選人y3是第一干部人選。

優(yōu)缺點

（一）優(yōu)點

1. 系統(tǒng)性的分析方法：

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。

2. 簡潔實用的決策方法：

這種方法既不單純追求高深數(shù)學，又不片面地注重行為、邏輯、推理，而是把定性方法與定量方法有機地結合起來。

3. 所需定量數(shù)據(jù)信息較少：

層次分析法主要是從評價者對評價問題的本質、要素的理解出發(fā)，比一般的定量方法更講求定性的分析和判斷。

（二）缺點

1. 不能為決策提供新方案：

層次分析法的作用是從備選方案中選擇較優(yōu)者。這個作用正好說明了層次分析法只能從原有方案中進行選取，而不能為決策者提供解決問題的新方案。

2. 定量數(shù)據(jù)較少，定性成分多，不易令人信服：

在如今對科學的方法的評價中，一般都認為一門科學需要比較嚴格的數(shù)學論證和完善的定量方法。但現(xiàn)實世界的問題和人腦考慮問題的過程很多時候并不是能簡單地用數(shù)字來說明一切的。

3. 指標過多時數(shù)據(jù)統(tǒng)計量大，且權重難以確定：

當我們希望能解決較普遍的問題時，指標的選取數(shù)量很可能也就隨之增加。

4. 特征值和特征向量的精確求法比較復雜：

在求判斷矩陣的特征值和特征向量時，所用的方法和我們多元統(tǒng)計所用的方法是一樣的。

注意事項

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關系不正確，都會降低AHP法的結果質量，甚至導致AHP法決策失敗。

為保證遞階層次結構的合理性，需把握以下原則：

• 1、分解簡化問題時把握主要因素，不漏不多；
• 2、注意相比較元素之間的強度關系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。

四層AHP

上面例子是只有目標層、準則層、方案層，下面的結構多了子準則層，并且準則層對應不同的子準則層

總結

以上為個人經(jīng)驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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