快捷導(dǎo)航

層次分析法在matlab上的實(shí)現(xiàn)方式

更新時(shí)間：2022年11月29日 09:20:58 作者：陽望

這篇文章主要介紹了層次分析法在matlab上的實(shí)現(xiàn)方式，具有很好的參考價(jià)值，希望對(duì)大家有所幫助。如有錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，望不吝賜教

計(jì)算步驟

1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過多時(shí)(譬如多于9個(gè))應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。

2、構(gòu)造成對(duì)比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于(或影響)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1—9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。

3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)造成對(duì)比較陣。

4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣。

案例

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型

層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。

不妨用選拔干部為例：對(duì)三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型：假設(shè)有三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型

（2）構(gòu)造判斷矩陣

在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出：一致矩陣法，即：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。

對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。

比較第 i 個(gè)元素與第 j 個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重aij來描述。設(shè)共有 n 個(gè)元素參與比較，則稱為成對(duì)比較矩陣。

成對(duì)比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

aij = 1，元素 i 與元素 j 對(duì)上一層次因素的重要性相同；
aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
aij = 7，元素 i 比元素 j 重要得多；
aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要；
aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于
aij = 2n − 1與aij = 2n + 1之間；
，n=1,2,...,9，當(dāng)且僅當(dāng)aji = n。

成對(duì)比較矩陣的特點(diǎn)：。（備注：當(dāng)i=j時(shí)候，aij = 1）

對(duì)該例 2，選拔干部考慮5個(gè)條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：

a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。

（3）判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

所謂一致性是指判斷思維的邏輯一致性。如當(dāng)甲比丙是強(qiáng)烈重要，而乙比丙是稍微重要時(shí)，顯然甲一定比乙重要。這就是判斷思維的邏輯一致性，否則判斷就會(huì)有矛盾。

從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有

但實(shí)際上在構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。

由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成對(duì)比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A一致性的步驟如下：

計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比較矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI：

RI是這樣得到的:對(duì)于固定的n,隨機(jī)構(gòu)造成對(duì)比較陣A, 其中aij是從1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中隨機(jī)抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

注解：

從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) n 有關(guān)。
按下面公式計(jì)算成對(duì)比較陣 A 的隨機(jī)一致性比率 CR：

判斷方法如下：當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣 A，直到達(dá)到滿意的一致性為止。

例如對(duì)例 2 的矩陣

計(jì)算得到,查得RI=1.12，

這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個(gè)向量也是問題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。

求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D為成對(duì)比較陣的特征值，Y的列為相應(yīng)特征向量。

在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對(duì)成對(duì)比較陣A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相應(yīng)特征向量的近似值。

定義

，

可以近似地看作A的對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。

計(jì)算

可以近似看作A的最大特征值。實(shí)踐中可以由λ來判斷矩陣A的一致性

（4）層次總排序及決策

現(xiàn)在來完整地解決例 2 的問題，要從三個(gè)候選人y1,y2,y3中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對(duì)此，對(duì)三個(gè)候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關(guān)系(x5)。

先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較陣