前言

相關(guān)性分析算是很多算法以及建模的基礎(chǔ)知識(shí)之一了，十分經(jīng)典。關(guān)于許多特征關(guān)聯(lián)關(guān)系以及相關(guān)趨勢都可以利用相關(guān)性分析計(jì)算表達(dá)。其中常見的相關(guān)性系數(shù)就有三種：person相關(guān)系數(shù)，spearman相關(guān)系數(shù)，Kendall's tau-b等級(jí)相關(guān)系數(shù)。各有各自的用法和使用場景。當(dāng)然關(guān)于這以上三種相關(guān)系數(shù)的計(jì)算算法和原理+代碼我都會(huì)在我專欄里面寫齊全。目前關(guān)于數(shù)學(xué)建模的專欄已經(jīng)將傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測算法、維度算法、時(shí)序預(yù)測算法和權(quán)重算法寫的七七八八了，有這個(gè)需求興趣的同學(xué)可以去看看。

一、定義

Kendall(肯德爾)系數(shù)的定義：n個(gè)同類的統(tǒng)計(jì)對象按特定屬性排序，其他屬性通常是亂序的。同序?qū)Γ?strong>concordant pairs）和異序?qū)Γ?strong>discordant pairs）之差與總對數(shù)（n*(n-1)/2)的比值定義為Kendall(肯德爾)系數(shù)。

與斯皮爾曼秩相關(guān)相似的是，肯德爾相關(guān)也是一種秩相關(guān)系數(shù)，是基于數(shù)據(jù)對象的秩（rank）來進(jìn)行兩個(gè)（隨機(jī)變量）之間的相關(guān)關(guān)系（強(qiáng)弱和方向）的評估。所分析的目標(biāo)對象應(yīng)該是一種有序的類別變量，比如名次、年齡段、肥胖等級(jí)(重度肥胖，中度肥胖、輕度肥胖、不肥胖)等。

不同的是，斯皮爾曼相關(guān)是基于秩差（比如說，小明在班級(jí)中的歷史成績排名為10，英語成績排名為4，那么在這個(gè)班級(jí)的學(xué)生的歷史成績和英語成績的斯皮爾曼相關(guān)分析中，小明的成績的貢獻(xiàn)就是(10-4=6) ）來進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的評估；而肯德爾相關(guān)則是基于樣本數(shù)據(jù)對之間的關(guān)系來進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的強(qiáng)弱的分析，數(shù)據(jù)對可以分為一致對(Concordant)和分歧對(Discordant)。

kendall相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下:

假如我們設(shè)一組8人的身高和體重在那里A的人是最高的，第三重，等等：

注意，A最高，但體重排名為 3 ，比體重排名為 4,5,6,7,8 的重，貢獻(xiàn)5個(gè)同序?qū)?，即AB，AE，AF，AG，AH。同理，我們發(fā)現(xiàn)B、C、D、E、F、G、H分別貢獻(xiàn)4、5、4、3、1、0、0個(gè)同序?qū)?，因此，同序?qū)?shù)

P = 5 + 4 + 5 + 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 22.

異序?qū)?shù) Q=28-22 (總對數(shù)減去同序?qū)?shù)為異序?qū)?shù))

因而R=((22-6)/28)=0.57。這一結(jié)果顯示出強(qiáng)大的排名之間的規(guī)律，符合預(yù)期。 我們看到，有一些相關(guān)的兩個(gè)排名之間的相關(guān)性，可以使用肯德爾頭系數(shù)，客觀地衡量對應(yīng)。

• 如果兩個(gè)排名之間的一致性是完美的（即兩個(gè)排名相同），則系數(shù)的值為1。
• 如果兩個(gè)排名之間的分歧是完美的（即，一個(gè)排名與另一個(gè)排名相反），則系數(shù)具有值-1。
• 如果X和Y是獨(dú)立的，那么我們期望系數(shù)近似為零。

二、使用條件

在適用肯德爾相關(guān)分析前首先要檢查數(shù)據(jù)是否滿足以下基本假設(shè)，滿足了這些基本假設(shè)才能確保你所得到的相關(guān)分析結(jié)果是有效的。

• 變量數(shù)據(jù)是有序的（ ordinal） 或者是連續(xù)的（continuous）. 有序尺度（Ordinal scales ）的數(shù)據(jù)通常用于用數(shù)值的方式來衡量非數(shù)值的概念，比如說，滿意度，幸福度等等，還有像成績排名啊、比賽名次啊之類的。而連續(xù)尺度的數(shù)據(jù)就勿需解釋了，常見的溫度啊、體重啊、收入啊等等都（或嚴(yán)格、或近似）算是連續(xù)尺度的數(shù)據(jù)。
• 兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)之間應(yīng)該遵循單調(diào)關(guān)系（ monotonic relationship）。 簡而言之就是，其中一個(gè)變量的值增大，另一個(gè)也增大，這個(gè)稱為正相關(guān)；或者一個(gè)變量的值增大，另一個(gè)就變小，這個(gè)稱為負(fù)相關(guān)。當(dāng)然，這個(gè)單調(diào)關(guān)系是一個(gè)統(tǒng)計(jì)意義上的，或者說一種趨勢上的，而非嚴(yán)格的單調(diào)。如下如所示。左圖和中圖都呈現(xiàn)一種近似單調(diào)的關(guān)系，而右圖則不是，因?yàn)橛覉D的左半部分和右半部分的趨勢是相反的。

三、計(jì)算公式及代碼示例

肯德爾系數(shù)有兩個(gè)計(jì)算公式，一個(gè)稱為Tau-c，另一個(gè)稱為Tau-b。兩者的區(qū)別是Tau-b可以處理有相同值的情況，即并列排位(tied ranks)。

1.Tau-a

from scipy.stats.stats import kendalltau
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
dat1 = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8])
dat2 = np.array([3,4,1,2,5,7,8,6])
fig,ax = plt.subplots()
ax.scatter(dat1,dat2)
kendalltau(dat1,dat2)

2.Tau-b

在以上Tau-a的計(jì)算中假定原始數(shù)據(jù)中不存在并列排位。當(dāng)原始數(shù)據(jù)中存在并列排位時(shí)，則用以下公式能夠給出更準(zhǔn)確的分析結(jié)果。

代碼是一致的只不過使用數(shù)學(xué)運(yùn)算不一致，具體我不展開了，更多關(guān)于python肯德爾系數(shù)相關(guān)性的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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