前言

在數(shù)學(xué)和信號(hào)處理中，**希爾伯特變換（Hilbert transform）**是一個(gè)對(duì)函數(shù)產(chǎn)生定義域相同的函數(shù)的線性算子。

希爾伯特變換在信號(hào)處理中很重要，能夠?qū)С鲂盘?hào)u(t)的解析表示。這就意味著將實(shí)信號(hào)u(t)拓展到復(fù)平面，使其滿足柯西－黎曼方程。例如，希爾伯特變換引出了傅里葉分析中給定函數(shù)的調(diào)和共軛，也就是調(diào)和分析。等價(jià)地說(shuō)，它是奇異積分算子與傅里葉乘子的一個(gè)例子。

希爾伯特變換是以大衛(wèi)·希爾伯特來(lái)命名的，他首先引入了該算子來(lái)解決全純函數(shù)的黎曼–希爾伯特問(wèn)題的一個(gè)特殊情況。

一、希爾伯特變換是什么

希爾伯特變換最初只對(duì)周期函數(shù)（也就是圓上的函數(shù)）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積。然而更常見(jiàn)的情況下，對(duì)于定義在實(shí)直線R（上半平面的邊界）上的函數(shù)，希爾伯特變換是指與柯西核卷積。希爾伯特變換與帕利-維納定理有著密切的聯(lián)系，帕利-維納定理是將上半平面內(nèi)的全純函數(shù)與實(shí)直線上的函數(shù)的傅里葉變換相聯(lián)系起來(lái)的另一種結(jié)果。

二、VC中的實(shí)現(xiàn)原理及代碼示例

VC中可以通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）來(lái)實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換。

以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的C++代碼實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換，需要使用C++11及以上版本的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)。首先我們需要實(shí)現(xiàn)一個(gè)FFT函數(shù)，然后使用FFT函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <vector>

using namespace std;

typedef complex<double> Complex;
typedef vector<Complex> ComplexVector;

// 快速傅里葉變換
void fft(ComplexVector& data) {
    int n = data.size();
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    // 分離偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)
    ComplexVector even(n/2), odd(n/2);
    for (int i = 0; i < n; i += 2) {
        even[i/2] = data[i];
        odd[i/2] = data[i+1];
    }

    // 遞歸計(jì)算偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的FFT
    fft(even);
    fft(odd);

    // 計(jì)算每個(gè)k點(diǎn)的DFT
    for (int k = 0; k < n/2; k++) {
        Complex t = polar(1.0, -2 * M_PI * k / n) * odd[k];
        data[k] = even[k] + t;
        data[k+n/2] = even[k] - t;
    }
}


// 希爾伯特變換
void hilbertTransform(ComplexVector& signal) {
    int n = signal.size();

    // 擴(kuò)展信號(hào)長(zhǎng)度至2的冪次方
    int n2 = 1;
    while (n2 < n) {
        n2 *= 2;
    }
    signal.resize(n2);

    // 進(jìn)行FFT變換
    fft(signal);

    // 對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行處理
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        signal[i] *= 2;
    }
    for (int i = n; i < n2; i++) {
        signal[i] = 0;
    }
    signal[0] = 1;
    signal[n] = 0;

    // 反向FFT變換
    fft(signal);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        signal[i] = signal[i].imag() / n;
    }
}

int main() {
    ComplexVector signal = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    hilbertTransform(signal);

    // 輸出結(jié)果
    for (int i = 0; i < signal.size(); i++) {
        cout << signal[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

上述代碼中，我們首先實(shí)現(xiàn)了一個(gè)快速傅里葉變換函數(shù)fft，然后在hilbertTransform函數(shù)中使用FFT計(jì)算希爾伯特變換。在希爾伯特變換的計(jì)算過(guò)程中，我們首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行了長(zhǎng)度的擴(kuò)展，然后進(jìn)行了FFT變換，接著根據(jù)希爾伯特變換的公式進(jìn)行了FFT結(jié)果的處理，最后進(jìn)行反向FFT變換得到最終的希爾伯特變換結(jié)果。

在上述代碼中，我們使用了復(fù)數(shù)類型complex和向量類型vector來(lái)方便地處理信號(hào)和FFT結(jié)果。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以將輸入信號(hào)讀取自文件或者從實(shí)時(shí)采集的數(shù)據(jù)中獲取，然后調(diào)用hilbertTransform函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，得到變換后的信號(hào)。

三、用Python代碼實(shí)現(xiàn)

使用Python也可以方便地實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換。下面是一個(gè)使用numpy庫(kù)實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換的示例代碼：

import numpy as np

def hilbert_transform(signal):
    """
    計(jì)算希爾伯特變換
    """
    n = len(signal)

    # 擴(kuò)展信號(hào)長(zhǎng)度至2的冪次方
    n2 = 1
    while n2 < n:
        n2 *= 2
    signal = np.append(signal, np.zeros(n2 - n))

    # 進(jìn)行FFT變換
    spectrum = np.fft.fft(signal)

    # 對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行處理
    spectrum[1:n] *= 2
    spectrum[n:] = 0
    spectrum[0] = 1
    spectrum[n] = 0

    # 反向FFT變換
    hilbert = np.real(np.fft.ifft(spectrum))
    hilbert = hilbert[:n]

    return hilbert

if __name__ == "__main__":
    signal = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
    hilbert = hilbert_transform(signal)

    # 輸出結(jié)果
    print(hilbert)

上述代碼中，我們首先將輸入信號(hào)擴(kuò)展至2的冪次方長(zhǎng)度，然后使用numpy.fft.fft函數(shù)進(jìn)行FFT變換，對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行處理，最后使用numpy.fft.ifft函數(shù)進(jìn)行反向FFT變換得到希爾伯特變換結(jié)果。

需要注意的是，由于numpy.fft.fft函數(shù)返回的結(jié)果是按照FFT變換的頻率從小到大排列的，而希爾伯特變換則是在時(shí)域上進(jìn)行的，因此我們需要對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行一定的處理才能得到正確的希爾伯特變換結(jié)果。在上述代碼中，我們對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行了一系列處理，包括將非零頻率部分的幅度乘以2，將非零頻率部分之外的頻率置零，以及將直流分量和Nyquist頻率分量的值分別設(shè)為1和0，從而得到正確的希爾伯特變換結(jié)果。

總結(jié)

在實(shí)際應(yīng)用中，我們可能需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理和后處理，以得到更好的變換結(jié)果。另外，由于FFT算法的復(fù)雜度為O(NlogN)，在處理大規(guī)模的信號(hào)時(shí)可能會(huì)帶來(lái)一定的計(jì)算負(fù)擔(dān)，需要進(jìn)行優(yōu)化或者使用更高效的算法。

到此這篇關(guān)于Python實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換(Hilbert transform)的示例代碼的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python希爾伯特變換內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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