分形在數(shù)據(jù)科學(xué)中發(fā)揮著重要作用。例如，在分形分析中，對數(shù)據(jù)集的分形特征進(jìn)行評估，以幫助理解基礎(chǔ)過程的結(jié)構(gòu)。此外，處于分形生成中心的循環(huán)算法可以應(yīng)用于廣泛的數(shù)據(jù)問題，例如從二進(jìn)制搜索算法到遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

一、目標(biāo)

寫一個可以畫等邊三角形的程序，并且在三角形的每條邊上，它必須能夠繪制一個稍微小一點(diǎn)的向外的三角形。能夠根據(jù)人的意愿多次重復(fù)此過程，從而創(chuàng)建一些有趣的模式。

二、表示圖像

把圖像表示為一個二維的像素陣列。像素陣列中的每個單元格將代表該像素的顏色（RGB）。

為此，可以使用NumPy庫生成像素數(shù)組，并使用Pillow將其轉(zhuǎn)換為可以保存的圖像。

藍(lán)色像素的x值為3，y值為4，可以通過一個二維數(shù)組訪問，如pixels[4][3]

三、畫一條線

現(xiàn)在開始編碼，首先，需要一個可以獲取兩組坐標(biāo)并在它們之間畫一條線的函數(shù)。

下面的代碼通過在兩點(diǎn)之間插值來工作，每一步都向像素陣列添加新的像素。你可以把這個過程看作是在一條線上逐個像素地進(jìn)行著色。

可以在每個代碼片段中使用連續(xù)字符“\”來容納一些較長的代碼行。

import numpy as np
from PIL import Image
import math
def plot_line(from_coordinates, to_coordinates, thickness, colour, pixels):
    # 找出像素陣列的邊界
    max_x_coordinate = len(pixels[0])
    max_y_coordinate = len(pixels)
    # 兩點(diǎn)之間沿著x軸和y軸的距離
    horizontal_distance = to_coordinates[1] - from_coordinates[1]
    vertical_distance = to_coordinates[0] - from_coordinates[0]
    # 兩點(diǎn)之間的總距離
    distance =  math.sqrt((to_coordinates[1] - from_coordinates[1])**2 \
                + (to_coordinates[0] - from_coordinates[0])**2)
    # 每次給一個新的像素上色時，將向前走多遠(yuǎn)
    horizontal_step = horizontal_distance/distance
    vertical_step = vertical_distance/distance
    # 此時，將進(jìn)入循環(huán)以在像素數(shù)組中繪制線
    # 循環(huán)的每一次迭代都會沿著線添加一個新的點(diǎn)
    for i in range(round(distance)):
        # 這兩個坐標(biāo)是直線中心的坐標(biāo)
        current_x_coordinate = round(from_coordinates[1] + (horizontal_step*i))
        current_y_coordinate = round(from_coordinates[0] + (vertical_step*i))
        # 一旦得到了點(diǎn)的坐標(biāo)，
        # 就在坐標(biāo)周圍畫出尺寸為thickness的圖案
        for x in range (-thickness, thickness):
            for y in range (-thickness, thickness):
                x_value = current_x_coordinate + x
                y_value = current_y_coordinate + y
                if (x_value > 0 and x_value < max_x_coordinate and \
                    y_value > 0 and y_value < max_y_coordinate):
                    pixels[y_value][x_value] = colour
# 定義圖像的大小
pixels = np.zeros( (500,500,3), dtype=np.uint8 )
# 畫一條線
plot_line([0,0], [499,499], 1, [255,200,0], pixels)
# 把像素陣列變成一張真正的圖片
img = Image.fromarray(pixels)
# 顯示得到的圖片，并保存它
img.show()
img.save('Line.png')

此函數(shù)在像素陣列的每個角之間繪制一條黃線時的結(jié)果

四、畫三角形

現(xiàn)在有了一個可以在兩點(diǎn)之間畫線的函數(shù)，可以畫第一個等邊三角形了。

給定三角形的中心點(diǎn)和邊長，可以使用公式計算出高度：h = ½(√3a)。

現(xiàn)在利用這個高度、中心點(diǎn)和邊長，可以計算出三角形的每個角的位置。使用之前制作的plot_line函數(shù)，可以在每個角之間畫一條線。

def draw_triangle(center, side_length, thickness, colour, pixels):
    # 等邊三角形的高度是，h = ?(√3a)
    # 其中a是邊長
    triangle_height = round(side_length * math.sqrt(3)/2)
    # 頂角
    top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
    # 左下角
    bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
    # 右下角
    bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
    # 在每個角之間畫一條線來完成三角形
    plot_line(top, bottom_left, thickness, colour, pixels)
    plot_line(top, bottom_right, thickness, colour, pixels)
    plot_line(bottom_left, bottom_right, thickness, colour, pixels)

在500x500像素PNG的中心繪制三角形時的結(jié)果

五、生成分形

一切都已準(zhǔn)備就緒，可以用Python創(chuàng)建第一個分形。

但是最后一步是最難完成的，三角形函數(shù)為它的每一邊調(diào)用自己，需要能夠計算每個新的較小三角形的中心點(diǎn)，并正確地旋轉(zhuǎn)它們，使它們垂直于它們所附著的一側(cè)。

通過從旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)中減去中心點(diǎn)的偏移量，然后應(yīng)用公式來旋轉(zhuǎn)一對坐標(biāo)，可以用這個函數(shù)來旋轉(zhuǎn)三角形的每個角。

def rotate(coordinate, center_point, degrees):
    # 從坐標(biāo)中減去旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)
    x = (coordinate[0] - center_point[0])
    y = (coordinate[1] - center_point[1])
    # Python的cos和sin函數(shù)采用弧度而不是度數(shù)
    radians = math.radians(degrees)
    # 計算旋轉(zhuǎn)點(diǎn)
    new_x = (x * math.cos(radians)) - (y * math.sin(radians))
    new_y = (y * math.cos(radians)) + (x * math.sin(radians))
    # 將在開始時減去的偏移量加回旋轉(zhuǎn)點(diǎn)上
    return [new_x + center_point[0], new_y + center_point[1]]

將每個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)35度的三角形

可以旋轉(zhuǎn)一個三角形后，思考如何在第一個三角形的每條邊上畫一個新的小三角形。

為了實現(xiàn)這一點(diǎn)，擴(kuò)展draw_triangle函數(shù)，為每條邊計算一個新三角形的旋轉(zhuǎn)和中心點(diǎn)，其邊長被參數(shù)shrink_side_by減少。

一旦它計算出新三角形的中心點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)，它就會調(diào)用draw_triangle（自身）來從當(dāng)前線的中心畫出新的、更小的三角形。然后，這將反過來打擊同一個代碼塊，為一個更小的三角形計算另一組中心點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)。

這就是所謂的循環(huán)算法，因為draw_triangle函數(shù)現(xiàn)在會調(diào)用自己，直到達(dá)到希望繪制的三角形的最大深度。有這個轉(zhuǎn)義句子是很重要的，因為理論上這個函數(shù)會一直循環(huán)下去（但實際上調(diào)用堆棧會變得太大，導(dǎo)致堆棧溢出錯誤）。

def draw_triangle(center, side_length, degrees_rotate, thickness, colour, \
                  pixels, shrink_side_by, iteration, max_depth):
    # 等邊三角形的高度是，h = ?(√3a)
    # 其中'a'是邊長
    triangle_height = side_length * math.sqrt(3)/2
    # 頂角
    top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
    # 左下角
    bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
    # 右下角
    bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
    if (degrees_rotate != 0):
        top = rotate(top, center, degrees_rotate)
        bottom_left = rotate(bottom_left, center, degrees_rotate)
        bottom_right = rotate(bottom_right, center, degrees_rotate)
    # 三角形各邊之間的坐標(biāo)
    lines = [[top, bottom_left],[top, bottom_right],[bottom_left, bottom_right]]
    line_number = 0
    # 在每個角之間畫一條線來完成三角形
    for line in lines:
        line_number += 1
        plot_line(line[0], line[1], thickness, colour, pixels)
        # 如果還沒有達(dá)到max_depth，就畫一些新的三角形
        if (iteration < max_depth and (iteration < 1 or line_number < 3)):
            gradient = (line[1][0] - line[0][0]) / (line[1][1] - line[0][1])
            new_side_length = side_length*shrink_side_by
            # 正在繪制的三角形線的中心
            center_of_line = [(line[0][0] + line[1][0]) / 2, \
                              (line[0][1] + line[1][1]) / 2]
            new_center = []
            new_rotation = degrees_rotate
            # 需要旋轉(zhuǎn)traingle的數(shù)量
            if (line_number == 1):
                new_rotation += 60
            elif (line_number == 2):
                new_rotation -= 60
            else:
                new_rotation += 180
            # 在一個理想的世界里，這將是gradient=0，
            # 但由于浮點(diǎn)除法的原因，無法
            # 確保永遠(yuǎn)是這種情況
            if (gradient < 0.0001 and gradient > -0.0001):
                if (center_of_line[0] - center[0] > 0):
                    new_center = [center_of_line[0] + triangle_height * \
                                 (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
                else:
                    new_center = [center_of_line[0] - triangle_height * \
                                  (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
            else:
                # 計算直線梯度的法線
                difference_from_center = -1/gradient
                # 計算這條線距中心的距離
                # 到新三角形的中心
                distance_from_center = triangle_height * (shrink_side_by/2)
                # 計算 x 方向的長度，
                # 從線的中心到新三角形的中心
                x_length = math.sqrt((distance_from_center**2)/ \
                                     (1 + difference_from_center**2))
                # 計算出x方向需要走哪條路
                if (center_of_line[1] < center[1] and x_length > 0):
                    x_length *= -1
                # 現(xiàn)在計算Y方向的長度
                y_length = x_length * difference_from_center
                # 用新的x和y值來偏移線的中心
                new_center = [center_of_line[0] + y_length, \
                              center_of_line[1] + x_length]
            draw_triangle(new_center, new_side_length, new_rotation, \
                          thickness, colour, pixels, shrink_side_by, \
                          iteration+1, max_depth)