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Python繪制分形圖案探索無(wú)限細(xì)節(jié)和奇妙之美

 更新時(shí)間:2023年04月25日 11:03:53   作者:csdn1561168266  
本文將介紹如何使用Python繪制各種分形圖案,包括分形樹(shù)、科赫曲線(xiàn)、曼德博集合等。通過(guò)本文讀者可以了解分形圖案的基本概念和構(gòu)造方法,并學(xué)會(huì)使用Python繪制出各種精美的分形圖案。本文還提供了具體的代碼示例和實(shí)踐案例,幫助讀者更好地理解分形圖案的奇妙之美

分形是無(wú)限復(fù)雜的模式,在不同的尺度上具有自相似性。例如,一棵樹(shù)的樹(shù)干會(huì)分裂成更小的樹(shù)枝。這些樹(shù)枝又分裂成更小的樹(shù)枝,以此類(lèi)推。

通過(guò)編程的方式生成分形,可以將簡(jiǎn)單的形狀變成復(fù)雜的重復(fù)圖案。

本文將探討如何利用一些簡(jiǎn)單的幾何學(xué)基礎(chǔ)和編程知識(shí),在Python中建立令人印象深刻的分形圖案。

分形在數(shù)據(jù)科學(xué)中發(fā)揮著重要作用。例如,在分形分析中,對(duì)數(shù)據(jù)集的分形特征進(jìn)行評(píng)估,以幫助理解基礎(chǔ)過(guò)程的結(jié)構(gòu)。此外,處于分形生成中心的循環(huán)算法可以應(yīng)用于廣泛的數(shù)據(jù)問(wèn)題,例如從二進(jìn)制搜索算法到遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

一、目標(biāo)

寫(xiě)一個(gè)可以畫(huà)等邊三角形的程序,并且在三角形的每條邊上,它必須能夠繪制一個(gè)稍微小一點(diǎn)的向外的三角形。能夠根據(jù)人的意愿多次重復(fù)此過(guò)程,從而創(chuàng)建一些有趣的模式。

二、表示圖像

把圖像表示為一個(gè)二維的像素陣列。像素陣列中的每個(gè)單元格將代表該像素的顏色(RGB)。

為此,可以使用NumPy庫(kù)生成像素?cái)?shù)組,并使用Pillow將其轉(zhuǎn)換為可以保存的圖像。

藍(lán)色像素的x值為3,y值為4,可以通過(guò)一個(gè)二維數(shù)組訪(fǎng)問(wèn),如pixels[4][3]

三、畫(huà)一條線(xiàn)

現(xiàn)在開(kāi)始編碼,首先,需要一個(gè)可以獲取兩組坐標(biāo)并在它們之間畫(huà)一條線(xiàn)的函數(shù)。

下面的代碼通過(guò)在兩點(diǎn)之間插值來(lái)工作,每一步都向像素陣列添加新的像素。你可以把這個(gè)過(guò)程看作是在一條線(xiàn)上逐個(gè)像素地進(jìn)行著色。

可以在每個(gè)代碼片段中使用連續(xù)字符“\”來(lái)容納一些較長(zhǎng)的代碼行。

import numpy as np
from PIL import Image
import math
def plot_line(from_coordinates, to_coordinates, thickness, colour, pixels):
    # 找出像素陣列的邊界
    max_x_coordinate = len(pixels[0])
    max_y_coordinate = len(pixels)
    # 兩點(diǎn)之間沿著x軸和y軸的距離
    horizontal_distance = to_coordinates[1] - from_coordinates[1]
    vertical_distance = to_coordinates[0] - from_coordinates[0]
    # 兩點(diǎn)之間的總距離
    distance =  math.sqrt((to_coordinates[1] - from_coordinates[1])**2 \
                + (to_coordinates[0] - from_coordinates[0])**2)
    # 每次給一個(gè)新的像素上色時(shí),將向前走多遠(yuǎn)
    horizontal_step = horizontal_distance/distance
    vertical_step = vertical_distance/distance
    # 此時(shí),將進(jìn)入循環(huán)以在像素?cái)?shù)組中繪制線(xiàn)
    # 循環(huán)的每一次迭代都會(huì)沿著線(xiàn)添加一個(gè)新的點(diǎn)
    for i in range(round(distance)):
        # 這兩個(gè)坐標(biāo)是直線(xiàn)中心的坐標(biāo)
        current_x_coordinate = round(from_coordinates[1] + (horizontal_step*i))
        current_y_coordinate = round(from_coordinates[0] + (vertical_step*i))
        # 一旦得到了點(diǎn)的坐標(biāo),
        # 就在坐標(biāo)周?chē)?huà)出尺寸為thickness的圖案
        for x in range (-thickness, thickness):
            for y in range (-thickness, thickness):
                x_value = current_x_coordinate + x
                y_value = current_y_coordinate + y
                if (x_value > 0 and x_value < max_x_coordinate and \
                    y_value > 0 and y_value < max_y_coordinate):
                    pixels[y_value][x_value] = colour
# 定義圖像的大小
pixels = np.zeros( (500,500,3), dtype=np.uint8 )
# 畫(huà)一條線(xiàn)
plot_line([0,0], [499,499], 1, [255,200,0], pixels)
# 把像素陣列變成一張真正的圖片
img = Image.fromarray(pixels)
# 顯示得到的圖片,并保存它
img.show()
img.save('Line.png')

此函數(shù)在像素陣列的每個(gè)角之間繪制一條黃線(xiàn)時(shí)的結(jié)果

四、畫(huà)三角形

現(xiàn)在有了一個(gè)可以在兩點(diǎn)之間畫(huà)線(xiàn)的函數(shù),可以畫(huà)第一個(gè)等邊三角形了。

給定三角形的中心點(diǎn)和邊長(zhǎng),可以使用公式計(jì)算出高度:h = ½(√3a)。

現(xiàn)在利用這個(gè)高度、中心點(diǎn)和邊長(zhǎng),可以計(jì)算出三角形的每個(gè)角的位置。使用之前制作的plot_line函數(shù),可以在每個(gè)角之間畫(huà)一條線(xiàn)。

def draw_triangle(center, side_length, thickness, colour, pixels):
    # 等邊三角形的高度是,h = ?(√3a)
    # 其中a是邊長(zhǎng)
    triangle_height = round(side_length * math.sqrt(3)/2)
    # 頂角
    top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
    # 左下角
    bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
    # 右下角
    bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
    # 在每個(gè)角之間畫(huà)一條線(xiàn)來(lái)完成三角形
    plot_line(top, bottom_left, thickness, colour, pixels)
    plot_line(top, bottom_right, thickness, colour, pixels)
    plot_line(bottom_left, bottom_right, thickness, colour, pixels)

在500x500像素PNG的中心繪制三角形時(shí)的結(jié)果

五、生成分形

一切都已準(zhǔn)備就緒,可以用Python創(chuàng)建第一個(gè)分形。

但是最后一步是最難完成的,三角形函數(shù)為它的每一邊調(diào)用自己,需要能夠計(jì)算每個(gè)新的較小三角形的中心點(diǎn),并正確地旋轉(zhuǎn)它們,使它們垂直于它們所附著的一側(cè)。

通過(guò)從旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)中減去中心點(diǎn)的偏移量,然后應(yīng)用公式來(lái)旋轉(zhuǎn)一對(duì)坐標(biāo),可以用這個(gè)函數(shù)來(lái)旋轉(zhuǎn)三角形的每個(gè)角。

def rotate(coordinate, center_point, degrees):
    # 從坐標(biāo)中減去旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)
    x = (coordinate[0] - center_point[0])
    y = (coordinate[1] - center_point[1])
    # Python的cos和sin函數(shù)采用弧度而不是度數(shù)
    radians = math.radians(degrees)
    # 計(jì)算旋轉(zhuǎn)點(diǎn)
    new_x = (x * math.cos(radians)) - (y * math.sin(radians))
    new_y = (y * math.cos(radians)) + (x * math.sin(radians))
    # 將在開(kāi)始時(shí)減去的偏移量加回旋轉(zhuǎn)點(diǎn)上
    return [new_x + center_point[0], new_y + center_point[1]]

將每個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)35度的三角形

可以旋轉(zhuǎn)一個(gè)三角形后,思考如何在第一個(gè)三角形的每條邊上畫(huà)一個(gè)新的小三角形。

為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),擴(kuò)展draw_triangle函數(shù),為每條邊計(jì)算一個(gè)新三角形的旋轉(zhuǎn)和中心點(diǎn),其邊長(zhǎng)被參數(shù)shrink_side_by減少。

一旦它計(jì)算出新三角形的中心點(diǎn)和旋轉(zhuǎn),它就會(huì)調(diào)用draw_triangle(自身)來(lái)從當(dāng)前線(xiàn)的中心畫(huà)出新的、更小的三角形。然后,這將反過(guò)來(lái)打擊同一個(gè)代碼塊,為一個(gè)更小的三角形計(jì)算另一組中心點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)。

這就是所謂的循環(huán)算法,因?yàn)?code>draw_triangle函數(shù)現(xiàn)在會(huì)調(diào)用自己,直到達(dá)到希望繪制的三角形的最大深度。有這個(gè)轉(zhuǎn)義句子是很重要的,因?yàn)槔碚撋线@個(gè)函數(shù)會(huì)一直循環(huán)下去(但實(shí)際上調(diào)用堆棧會(huì)變得太大,導(dǎo)致堆棧溢出錯(cuò)誤)。

def draw_triangle(center, side_length, degrees_rotate, thickness, colour, \
                  pixels, shrink_side_by, iteration, max_depth):
    # 等邊三角形的高度是,h = ?(√3a)
    # 其中'a'是邊長(zhǎng)
    triangle_height = side_length * math.sqrt(3)/2
    # 頂角
    top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
    # 左下角
    bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
    # 右下角
    bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
    if (degrees_rotate != 0):
        top = rotate(top, center, degrees_rotate)
        bottom_left = rotate(bottom_left, center, degrees_rotate)
        bottom_right = rotate(bottom_right, center, degrees_rotate)
    # 三角形各邊之間的坐標(biāo)
    lines = [[top, bottom_left],[top, bottom_right],[bottom_left, bottom_right]]
    line_number = 0
    # 在每個(gè)角之間畫(huà)一條線(xiàn)來(lái)完成三角形
    for line in lines:
        line_number += 1
        plot_line(line[0], line[1], thickness, colour, pixels)
        # 如果還沒(méi)有達(dá)到max_depth,就畫(huà)一些新的三角形
        if (iteration < max_depth and (iteration < 1 or line_number < 3)):
            gradient = (line[1][0] - line[0][0]) / (line[1][1] - line[0][1])
            new_side_length = side_length*shrink_side_by
            # 正在繪制的三角形線(xiàn)的中心
            center_of_line = [(line[0][0] + line[1][0]) / 2, \
                              (line[0][1] + line[1][1]) / 2]
            new_center = []
            new_rotation = degrees_rotate
            # 需要旋轉(zhuǎn)traingle的數(shù)量
            if (line_number == 1):
                new_rotation += 60
            elif (line_number == 2):
                new_rotation -= 60
            else:
                new_rotation += 180
            # 在一個(gè)理想的世界里,這將是gradient=0,
            # 但由于浮點(diǎn)除法的原因,無(wú)法
            # 確保永遠(yuǎn)是這種情況
            if (gradient < 0.0001 and gradient > -0.0001):
                if (center_of_line[0] - center[0] > 0):
                    new_center = [center_of_line[0] + triangle_height * \
                                 (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
                else:
                    new_center = [center_of_line[0] - triangle_height * \
                                  (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
            else:
                # 計(jì)算直線(xiàn)梯度的法線(xiàn)
                difference_from_center = -1/gradient
                # 計(jì)算這條線(xiàn)距中心的距離
                # 到新三角形的中心
                distance_from_center = triangle_height * (shrink_side_by/2)
                # 計(jì)算 x 方向的長(zhǎng)度,
                # 從線(xiàn)的中心到新三角形的中心
                x_length = math.sqrt((distance_from_center**2)/ \
                                     (1 + difference_from_center**2))
                # 計(jì)算出x方向需要走哪條路
                if (center_of_line[1] < center[1] and x_length > 0):
                    x_length *= -1
                # 現(xiàn)在計(jì)算Y方向的長(zhǎng)度
                y_length = x_length * difference_from_center
                # 用新的x和y值來(lái)偏移線(xiàn)的中心
                new_center = [center_of_line[0] + y_length, \
                              center_of_line[1] + x_length]
            draw_triangle(new_center, new_side_length, new_rotation, \
                          thickness, colour, pixels, shrink_side_by, \
                          iteration+1, max_depth)

三角形分形,收縮邊=1/2,最大深度=2

六、結(jié)論

下面是通過(guò)修改輸入到draw_triangle函數(shù)的shrink_side_bymax_depth值生成的不同圖像的一些示例。

有趣的是,這些多次重復(fù)的圖案往往能創(chuàng)造出更復(fù)雜的形狀,比如六邊形,但卻具有令人著迷的對(duì)稱(chēng)性。

越來(lái)越復(fù)雜的形狀開(kāi)始在重復(fù)三角形的對(duì)稱(chēng)性中出現(xiàn)

另一個(gè)分形,每次迭代使用較小的尺寸減小

分形是非常有趣的玩法,可以創(chuàng)造出美麗的圖案。使用一些簡(jiǎn)單的概念和豐富的創(chuàng)造力,可以產(chǎn)生非常令人印象深刻的結(jié)構(gòu)。

在理解分形的核心屬性和應(yīng)用循環(huán)算法的過(guò)程中打下的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),可以幫助理解數(shù)據(jù)科學(xué)中更復(fù)雜的分形問(wèn)題。

到此這篇關(guān)于Python繪制分形圖案探索無(wú)限細(xì)節(jié)和奇妙之美的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python繪制分形圖案內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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