“備忘”的定義

“memoization”（備忘）這個(gè)詞是由Donald Michie在1968年提出的，它基于拉丁語(yǔ)單詞“memorandum”（備忘錄），意思是“被記住”。雖然它和單詞“memorization”在某種程度上有些相似，但它并不是該單詞的錯(cuò)誤拼寫(xiě)。實(shí)際上，Memoisation是一種用于通過(guò)計(jì)算來(lái)加速程序的技術(shù)，它通過(guò)記住輸入量的計(jì)算結(jié)果，例如函數(shù)調(diào)用結(jié)果，來(lái)實(shí)現(xiàn)其加速目的。如果遇到相同的輸入或者具有相同參數(shù)的函數(shù)調(diào)用，那么之前存儲(chǔ)的結(jié)果就可以被再次使用，從而避免一些不必要的計(jì)算。在很多情況下，可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)結(jié)果，但也可以使用許多其他的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如關(guān)聯(lián)數(shù)組，它在Perl語(yǔ)言中叫做哈希，在Python語(yǔ)言中稱(chēng)為字典。

備忘功能可以由程序員顯式地編程實(shí)現(xiàn)，但是一些編程語(yǔ)言如Python，都提供了自動(dòng)備忘函數(shù)的機(jī)制。
利用函數(shù)裝飾器實(shí)現(xiàn)備忘功能

在前面關(guān)于遞歸函數(shù)的那章中，我們分別使用迭代和遞歸實(shí)現(xiàn)了斐波納契數(shù)列的求解。我們已經(jīng)證明，如果直接利用斐波納契數(shù)列的數(shù)學(xué)定義，在一個(gè)遞歸函數(shù)中實(shí)現(xiàn)數(shù)列的求解，正如下面的函數(shù)一樣，那么它將具有指數(shù)級(jí)的時(shí)間復(fù)雜度：
 

def fib(n):
  if n == 0:
    return 0
  elif n == 1:
    return 1
  else:
    return fib(n-1) + fib(n-2)

此外，我們還提出了一種提高遞歸實(shí)現(xiàn)的時(shí)間復(fù)雜度的方法，即通過(guò)添加一個(gè)字典來(lái)記住之前函數(shù)的計(jì)算結(jié)果。這是一個(gè)顯式地使用備忘技術(shù)的例子，只是當(dāng)時(shí)我們并沒(méi)有這么稱(chēng)呼它。這種方法的缺點(diǎn)是，原始遞歸實(shí)現(xiàn)的明晰性和優(yōu)雅性丟失了。

造成以上缺點(diǎn)的原因是，我們改變了遞歸函數(shù)fib的代碼。不過(guò)下面的代碼不會(huì)改變我們的fib函數(shù)，所以它的明晰性和易讀性并沒(méi)有丟失。為了實(shí)現(xiàn)該目的，我們使用自定義的函數(shù)memoize()。函數(shù)memoize()以函數(shù)作為參數(shù)，并使用一個(gè)字典“memo”來(lái)存儲(chǔ)函數(shù)的結(jié)果。雖然變量“memo”和函數(shù)“f”僅僅具有局部備忘功能，但是它們通過(guò)函數(shù)“helper”被一個(gè)閉包捕獲，而memoize()將函數(shù)“helper”作為引用返回。所以，對(duì)memoize(fib)的調(diào)用將會(huì)返回一個(gè)helper()的引用，而在helper()中實(shí)現(xiàn)了fib()函數(shù)的功能以及一個(gè)用于保存還未存儲(chǔ)的結(jié)果到字典“memo”中的包裝器，并防止重新計(jì)算“memo”中已有的結(jié)果。
 

def memoize(f):
  memo = {}
  def helper(x):
    if x not in memo:      
      memo[x] = f(x)
    return memo[x]
  return helper
 
def fib(n):
  if n == 0:
    return 0
  elif n == 1:
    return 1
  else:
    return fib(n-1) + fib(n-2)
 
fib = memoize(fib)
 
print(fib(40))

現(xiàn)在讓我們了解下所謂的裝飾器，首先看一下上面代碼中將備忘功能指派到fib函數(shù)的這一行：
 

fib = memoize(fib)

一種說(shuō)法是，函數(shù)memoize()裝飾了函數(shù)fib。
將Memoize封裝成類(lèi)

我們還可以將結(jié)果的緩存封裝到一個(gè)類(lèi)中，如下面的例子所示：

 class Memoize:
  def __init__(self, fn):
    self.fn = fn
    self.memo = {}
  def __call__(self, *args):
    if args not in self.memo:
  self.memo[args] = self.fn(*args)
    return self.memo[args]

因?yàn)槲覀兪褂昧俗值?，所以不能使用可變參?shù)，即參數(shù)必須是不可變的。
Python中的裝飾器

Python中的裝飾器是一個(gè)可調(diào)用的Python對(duì)象，用于修改一個(gè)函數(shù)、方法或者類(lèi)的定義。原始的對(duì)象，也就是即將被改變的那個(gè)對(duì)象，作為參數(shù)傳遞給一個(gè)裝飾器，而裝飾器則返回一個(gè)修改過(guò)的對(duì)象，例如一個(gè)修改過(guò)的函數(shù)，它會(huì)被綁定到定義中使用的名字上。Python中的裝飾器與Java中的注解有一個(gè)相似的語(yǔ)法，即Python中的裝飾器語(yǔ)法可以看作是純粹的語(yǔ)法糖，使用“@”作為關(guān)鍵字。
示例：使用裝飾器實(shí)現(xiàn)備忘功能

其實(shí)，前面我們已經(jīng)使用了裝飾器，只是沒(méi)有這么稱(chēng)呼它而已。實(shí)際上，本章開(kāi)頭例子中的memoize函數(shù)就是一個(gè)裝飾器，我們使用它來(lái)記住fib函數(shù)的結(jié)果，只是我們沒(méi)有使用Python中裝飾器特殊的語(yǔ)法而已，即艾特字符“@”。

相比于寫(xiě)成下面的形式
 

fib = memoize(fib)

我們可以這樣寫(xiě)
 

@memoize

但這一行必須直接寫(xiě)在被裝飾的函數(shù)之前，在我們的例子fib()中，如下所示：
 

def memoize(f):
  memo = {}
  def helper(x):
    if x not in memo:      
      memo[x] = f(x)
    return memo[x]
  return helper
 
@memoize
def fib(n):
  if n == 0:
    return 0
  elif n == 1:
    return 1
  else:
    return fib(n-1) + fib(n-2)
 
#fib = memoize(fib)
 
print(fib(40))

在講解遞歸函數(shù)的那章中我們介紹了階乘函數(shù)，在那里我們希望保持函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單，而不想掩蓋基本理念，所以代碼中沒(méi)有包含任何參數(shù)檢查代碼。然而，如果別人以負(fù)數(shù)或者浮點(diǎn)數(shù)作為參數(shù)來(lái)調(diào)用我們的函數(shù)，那么函數(shù)將會(huì)陷入一個(gè)死循環(huán)。

下面的程序使用一個(gè)裝飾器函數(shù)來(lái)確保傳給函數(shù)“factorial”的參數(shù)是一個(gè)正整數(shù)：
 

def argument_test_natural_number(f):
  def helper(x):
    if type(x) == int and x > 0:
      return f(x)
    else:
      raise Exception("Argument is not an integer")
  return helper
 
@argument_test_natural_number
def factorial(n):
  if n == 1:
    return 1
  else:
    return n * factorial(n-1)
 
for i in range(1,10):
  print(i, factorial(i))
 
print(factorial(-1))

練習(xí)

1、我們的練習(xí)是一個(gè)古老的謎題。1612年，法國(guó)耶穌會(huì)士Claude-Gaspar Bachet提出了該謎題，即使用一個(gè)天平稱(chēng)出從1磅到40磅的所有整數(shù)重量的東西（例如，糖或者面粉），求最少的砝碼數(shù)量。

第一個(gè)方法可能是使用1、2、4、8、16和32磅重量的這些砝碼。如果我們將砝碼放在天平的一端，而將物品放在另一端，那么這種方法用到的砝碼數(shù)量將是最小的。然而，我們也可以將砝碼同時(shí)放在天平的兩端，此時(shí)我們僅僅需要重量為1、3、9、27的砝碼。

編寫(xiě)一個(gè)Python函數(shù)weigh()，該函數(shù)計(jì)算需要的砝碼以及它們?cè)谔炱奖P(pán)中的分布，以此來(lái)稱(chēng)量1磅到40磅中任何一個(gè)整數(shù)重量的物品。
解決方法

1、我們需要前面章節(jié)“Linear Combinations”中的函數(shù)linear_combination()。
 

def factors_set():
  factors_set = ( (i,j,k,l) for i in [-1,0,1]
             for j in [-1,0,1]
             for k in [-1,0,1]
             for l in [-1,0,1])
  for factor in factors_set:
    yield factor
 
def memoize(f):
  results = {}
  def helper(n):
    if n not in results:
      results[n] = f(n)
    return results[n]
  return helper
 
@memoize
def linear_combination(n):
  """ returns the tuple (i,j,k,l) satisfying
    n = i*1 + j*3 + k*9 + l*27   """
  weighs = (1,3,9,27)
 
  for factors in factors_set():
    sum = 0
    for i in range(len(factors)):
     sum += factors[i] * weighs[i]
    if sum == n:
     return factors

2、利用上面的代碼，就能很容易寫(xiě)出我們的函數(shù)weigh()。
 

def weigh(pounds):
  weights = (1,3,9,27)
  scalars = linear_combination(pounds)
  left = ""
  right = ""
  for i in range(len(scalars)):
    if scalars[i] == -1:
      left += str(weights[i]) + " "
  elif scalars[i] == 1:
      right += str(weights[i]) + " "
  return (left,right)
 
for i in [2,3,4,7,8,9,20,40]:
  pans = weigh(i)
  print("Left pan: " + str(i) + " plus " + pans[0])
  print("Right pan: " + pans[1] + "n")

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