假如你對(duì)數(shù)獨(dú)解法感興趣，你可能聽說(shuō)過(guò)精確覆蓋問題。給定全集 X 和 X 的子集的集合 Y ，存在一個(gè) Y 的子集 Y*，使得 Y* 構(gòu)成 X 的一種分割。

這兒有個(gè)Python寫的例子。
 

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Y = {
  'A': [1, 4, 7],
  'B': [1, 4],
  'C': [4, 5, 7],
  'D': [3, 5, 6],
  'E': [2, 3, 6, 7],
  'F': [2, 7]}

這個(gè)例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。

精確覆蓋問題是NP完備（譯注：指沒有任何一個(gè)夠快的方法可以在合理的時(shí)間內(nèi)，意即多項(xiàng)式時(shí)間 找到答案）。X算法是由大牛高德納發(fā)明并實(shí)現(xiàn)。他提出了一種高效的實(shí)現(xiàn)技術(shù)叫舞蹈鏈，使用雙向鏈表來(lái)表示該問題的矩陣。

然而，舞蹈鏈實(shí)現(xiàn)起來(lái)可能相當(dāng)繁瑣，并且不易寫地正確。接下來(lái)就是展示Python奇跡的時(shí)刻了！有天我決定用Python來(lái)編寫X 算法，并且我想出了一個(gè)有趣的舞蹈鏈變種。
算法

主要的思路是使用字典來(lái)代替雙向鏈表來(lái)表示矩陣。我們已經(jīng)有了 Y。從它那我們能快速的訪問每行的列元素?，F(xiàn)在我們還需要生成行的反向表，換句話說(shuō)就是能從列中快速訪問行元素。為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，我們把X轉(zhuǎn)換為字典。在上述的例子中，它應(yīng)該寫為
 

X = {
  1: {'A', 'B'},
  2: {'E', 'F'},
  3: {'D', 'E'},
  4: {'A', 'B', 'C'},
  5: {'C', 'D'},
  6: {'D', 'E'},
  7: {'A', 'C', 'E', 'F'}}

眼尖的讀者能注意到這跟Y的表示有輕微的不同。事實(shí)上，我們需要能快速刪除和添加行到每列，這就是為什么我們使用集合。另一方面，高德納沒有提到這點(diǎn)，實(shí)際上整個(gè)算法中所有行是保持不變的。

以下是算法的代碼。
 

def solve(X, Y, solution=[]):
  if not X:
    yield list(solution)
  else:
    c = min(X, key=lambda c: len(X[c]))
    for r in list(X[c]):
      solution.append(r)
      cols = select(X, Y, r)
      for s in solve(X, Y, solution):
        yield s
      deselect(X, Y, r, cols)
      solution.pop()
 
def select(X, Y, r):
  cols = []
  for j in Y[r]:
    for i in X[j]:
      for k in Y[i]:
        if k != j:
          X[k].remove(i)
    cols.append(X.pop(j))
  return cols
 
def deselect(X, Y, r, cols):
  for j in reversed(Y[r]):
    X[j] = cols.pop()
    for i in X[j]:
      for k in Y[i]:
        if k != j:
          X[k].add(i)

真的只有 30 行！
格式化輸入

在解決實(shí)際問題前，我們需要將輸入轉(zhuǎn)換為上面描述的格式?？梢赃@樣簡(jiǎn)單處理

X = {j: set(filter(lambda i: j in Y[i], Y)) for j in X}

但這樣太慢了。假如設(shè) X 大小為 m，Y 的大小為 n，則迭代次數(shù)為 m*n。在這例子中的數(shù)獨(dú)格子大小為 N，那需要 N^5 次。我們有更好的辦法。
 

X = {j: set() for j in X}
for i in Y:
  for j in Y[i]:
    X[j].add(i)

這還是 O(m*n) 的復(fù)雜度，但是是最壞情況。平均情況下它的性能會(huì)好很多，因?yàn)樗恍枰闅v所有的空格位。在數(shù)獨(dú)的例子中，矩陣中每行恰好有 4 個(gè)條目，無(wú)論大小，因此它有N^3的復(fù)雜度。
優(yōu)點(diǎn)

•     簡(jiǎn)單: 不需要構(gòu)造復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所有用到的結(jié)構(gòu)Python都有提供。
•     可讀性: 上述第一個(gè)例子是直接從Wikipedia上的范例直接轉(zhuǎn)錄下來(lái)的！
•     靈活性: 可以很簡(jiǎn)單得擴(kuò)展來(lái)解決數(shù)獨(dú)。

求解數(shù)獨(dú)

我們需要做的就是把數(shù)獨(dú)描述成精確覆蓋問題。這里有完整的數(shù)獨(dú)解法代碼，它能處理任意大小，3×3，5×5，即使是2×3，所有代碼少于100行，并包含doctest?。ǜ兄xWinfried Plappert 和 David Goodger的評(píng)論和建議）