二叉搜索樹

我們已經(jīng)知道了在一個(gè)集合中獲取鍵值對(duì)的兩種不同的方法?；貞浺幌逻@些集合是如何實(shí)現(xiàn)ADT（抽象數(shù)據(jù)類型）MAP的。我們討論兩種ADT MAP的實(shí)現(xiàn)方式，基于列表的二分查找和哈希表。在這一節(jié)中，我們將要學(xué)習(xí)二叉搜索樹，這是另一種鍵指向值的Map集合，在這種情況下我們不用考慮元素在樹中的實(shí)際位置，但要知道使用二叉樹來搜索更有效率。

搜索樹操作

在我們研究這種實(shí)現(xiàn)方式之前，讓我們回顧一下ADT MAP提供的接口。我們會(huì)注意到，這種接口和Python的字典非常相似。

1. Map() 創(chuàng)建了一個(gè)新的空Map集合。
2. put(key,val) 在Map中增加了一個(gè)新的鍵值對(duì)。如果這個(gè)鍵已經(jīng)在這個(gè)Map中了，那么就用新的值來代替舊的值。
3. get(key) 提供一個(gè)鍵，返回Map中保存的數(shù)據(jù)，或者返回None。
4. del 使用del map[key]這條語句從Map中刪除鍵值對(duì)。
5. len() 返回Map中保存的鍵值對(duì)的數(shù)目
6. in 如果所給的鍵在Map中，使用key in map這條語句返回True。

搜索樹實(shí)現(xiàn)

一個(gè)二叉搜索樹，如果具有左子樹中的鍵值都小于父節(jié)點(diǎn)，而右子樹中的鍵值都大于父節(jié)點(diǎn)的屬性，我們將這種樹稱為BST搜索樹。如之前所述的，當(dāng)我們實(shí)現(xiàn)Map時(shí)，BST方法將引導(dǎo)我們實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。圖 1 展示了二叉搜索樹的這一特性，顯示的鍵沒有關(guān)聯(lián)任何的值。注意這種屬性適用于每個(gè)父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)。所有在左子樹的鍵值都小于根節(jié)點(diǎn)的鍵值，所有右子樹的鍵值都大于根節(jié)點(diǎn)的鍵值。

圖 1：一個(gè)簡(jiǎn)單的二叉搜索樹

現(xiàn)在你知道什么是二叉搜索樹了，我們?cè)賮砜慈绾螛?gòu)造一個(gè)二叉搜索樹，我們?cè)谒阉鳂渲邪磮D 1 顯示的節(jié)點(diǎn)順序插入這些鍵值，圖 1 搜索樹存在的節(jié)點(diǎn)：70,31,93,94,14,23,73。因?yàn)?70 是第一個(gè)被插入到樹的值，它是根節(jié)點(diǎn)。接下來，31 小于 70，因此是 70 的左子樹。接下來，93 大于 70，因此是 70 的右子樹。我們現(xiàn)在填充了該樹的兩層，所以下一個(gè)鍵值，將會(huì)是 31 或者 93 的左子樹或右子樹。由于 94 大于 70 和 93，就變成了 93 的右子樹。同樣，14 小于 70 和 31，因此成為了 31 的左子樹。23 也小于 31，因此必須是 31 的左子樹。然而，它大于 14，所以是 14 的右子樹。

為了實(shí)現(xiàn)二叉搜索樹，我們將使用節(jié)點(diǎn)和引用的方法，這類似于我們實(shí)現(xiàn)鏈表和表達(dá)式樹的過程。因?yàn)槲覀儽仨毮軌騽?chuàng)建和使用一個(gè)空的二叉搜索樹，所以我們將使用兩個(gè)類來實(shí)現(xiàn)，第一個(gè)類我們稱之為 BinarySearchTree，第二個(gè)類我們稱之為TreeNode。BinarySearchTree類有一個(gè)TreeNode類的引用作為二叉搜索樹的根，在大多數(shù)情況下，外部類定義的外部方法只需檢查樹是否為空，如果在樹上有節(jié)點(diǎn)，要求BinarySearchTree類中含有私有方法把根定義為參數(shù)。在這種情況下，如果樹是空的或者我們想刪除樹的根，我們就必須采用特殊操作。BinarySearchTree類的構(gòu)造函數(shù)以及一些其他函數(shù)的代碼如Listing 1 所示。

Listing 1

class BinarySearchTree:

  def __init__(self):
    self.root = None
    self.size = 0

  def length(self):
    return self.size

  def __len__(self):
    return self.size

  def __iter__(self):
    return self.root.__iter__()

TreeNode類提供了許多輔助函數(shù)，使得BinarySearchTree類的方法更容易實(shí)現(xiàn)過程。如Listing 2 所示，一個(gè)樹節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，是由這些輔助函數(shù)實(shí)現(xiàn)的。正如你看到的那樣，這些輔助函數(shù)可以根據(jù)自己的位置來劃分一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為左或右孩子和該子節(jié)點(diǎn)的類型。TreeNode類非常清楚地跟蹤了每個(gè)父節(jié)點(diǎn)的屬性。當(dāng)我們討論刪除操作的實(shí)現(xiàn)時(shí)，你將明白為什么這很重要。

對(duì)于Listing 2 中的TreeNode實(shí)現(xiàn)，另一個(gè)有趣的地方是，我們使用Python的可選參數(shù)?？蛇x的參數(shù)很容易讓我們?cè)趲追N不同的情況下創(chuàng)建一個(gè)樹節(jié)點(diǎn)，有時(shí)我們想創(chuàng)建一個(gè)新的樹節(jié)點(diǎn)，即使我們已經(jīng)有了父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)。與現(xiàn)有的父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)一樣，我們可以通過父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)作為參數(shù)。有時(shí)我們也會(huì)創(chuàng)建一個(gè)包含鍵值對(duì)的樹，我們不會(huì)傳遞父節(jié)點(diǎn)或子節(jié)點(diǎn)的任何參數(shù)。在這種情況下，我們將使用可選參數(shù)的默認(rèn)值。

Listing 2

class TreeNode:
  def __init__(self,key,val,left=None,right=None,
                    parent=None):
    self.key = key
    self.payload = val
    self.leftChild = left
    self.rightChild = right
    self.parent = parent

  def hasLeftChild(self):
    return self.leftChild

  def hasRightChild(self):
    return self.rightChild

  def isLeftChild(self):
    return self.parent and self.parent.leftChild == self

  def isRightChild(self):
    return self.parent and self.parent.rightChild == self

  def isRoot(self):
    return not self.parent

  def isLeaf(self):
    return not (self.rightChild or self.leftChild)

  def hasAnyChildren(self):
    return self.rightChild or self.leftChild

  def hasBothChildren(self):
    return self.rightChild and self.leftChild

  def replaceNodeData(self,key,value,lc,rc):
    self.key = key
    self.payload = value
    self.leftChild = lc
    self.rightChild = rc
    if self.hasLeftChild():
      self.leftChild.parent = self
    if self.hasRightChild():
      self.rightChild.parent = self

現(xiàn)在，我們擁有了BinarySearchTree和TreeNode類，是時(shí)候?qū)懸粋€(gè)put方法使我們能夠建立二叉搜索樹。put方法是BinarySearchTree類的一個(gè)方法。這個(gè)方法將檢查這棵樹是否已經(jīng)有根。如果沒有，我們將創(chuàng)建一個(gè)新的樹節(jié)點(diǎn)并把它設(shè)置為樹的根。如果已經(jīng)有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，我們就調(diào)用它自己，進(jìn)行遞歸，用輔助函數(shù)_put按下列算法來搜索樹：

從樹的根節(jié)點(diǎn)開始，通過搜索二叉樹來比較新的鍵值和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的鍵值，如果新的鍵值小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，則搜索左子樹。如果新的關(guān)鍵大于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，則搜索右子樹。

當(dāng)搜索不到左（或右）子樹，我們?cè)跇渲兴幍奈恢镁褪窃O(shè)置新節(jié)點(diǎn)的位置。
向樹中添加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，創(chuàng)建一個(gè)新的TreeNode對(duì)象并在這個(gè)點(diǎn)的上一個(gè)節(jié)點(diǎn)中插入這個(gè)對(duì)象。

Listing 3 顯示了在樹中插入新節(jié)點(diǎn)的Python代碼。_put函數(shù)要按照上述的步驟編寫遞歸算法。注意，當(dāng)一個(gè)新的子樹插入時(shí)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)（CurrentNode）作為父節(jié)點(diǎn)傳遞給新的樹。

我們執(zhí)行插入的一個(gè)重要問題是重復(fù)的鍵值不能被正確的處理，我們的樹實(shí)現(xiàn)了鍵值的復(fù)制，它將在右子樹創(chuàng)建一個(gè)與原來節(jié)點(diǎn)鍵值相同的新節(jié)點(diǎn)。這樣做的后果是，新的節(jié)點(diǎn)將不會(huì)在搜索過程中被發(fā)現(xiàn)。我們用一個(gè)更好的方式來處理插入重復(fù)的鍵值，舊的值被新鍵關(guān)聯(lián)的值替換。我們把這個(gè)錯(cuò)誤的修復(fù)，作為練習(xí)留給你。

Listing 3

def put(self,key,val):
  if self.root:
    self._put(key,val,self.root)
  else:
    self.root = TreeNode(key,val)
  self.size = self.size + 1

def _put(self,key,val,currentNode):
  if key < currentNode.key:
    if currentNode.hasLeftChild():
        self._put(key,val,currentNode.leftChild)
    else:
        currentNode.leftChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)
  else:
    if currentNode.hasRightChild():
        self._put(key,val,currentNode.rightChild)
    else:
        currentNode.rightChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)

隨著put方法的實(shí)現(xiàn)，我們可以很容易地通過__setitem__方法重載[]作為操作符來調(diào)用put方法（參見Listing 4）。這使我們能夠編寫像myZipTree['Plymouth'] = 55446一樣的python語句，這看上去就像Python的字典。

Listing 4

def __setitem__(self,k,v):
  self.put(k,v)

圖 2 說明了將新節(jié)點(diǎn)插入到一個(gè)二叉搜索樹的過程。灰色節(jié)點(diǎn)顯示了插入過程中遍歷樹節(jié)點(diǎn)順序。

圖 2: 插入一個(gè)鍵值 = 19 的節(jié)點(diǎn)

一旦樹被構(gòu)造，接下來的任務(wù)就是為一個(gè)給定的鍵值實(shí)現(xiàn)檢索。get方法比put方法更容易因?yàn)樗恍柽f歸搜索樹，直到發(fā)現(xiàn)不匹配的葉節(jié)點(diǎn)或找到一個(gè)匹配的鍵值。當(dāng)找到一個(gè)匹配的鍵值后，就會(huì)返回節(jié)點(diǎn)中的值。

Listing 5 顯示了get，_get和__getitem__的代碼。用_get方法搜索的代碼與put方法具有相同的選擇左或右子樹的邏輯。請(qǐng)注意，_get方法返回TreeNode中g(shù)et的值，_get就可以作為一個(gè)靈活有效的方式，為BinarySearchTree的其他可能需要使用TreeNode里的數(shù)據(jù)的方法提供參數(shù)。

通過實(shí)現(xiàn)__getitem__方法，我們可以寫一個(gè)看起來就像我們?cè)L問字典一樣的Python語句，而事實(shí)上我們只是操作二叉搜索樹，例如Z = myziptree ['fargo']。正如你所看到的，__getitem__方法都是在調(diào)用get。

Listing 5

def get(self,key):
  if self.root:
    res = self._get(key,self.root)
    if res:
        return res.payload
    else:
        return None
  else:
    return None

def _get(self,key,currentNode):
  if not currentNode:
    return None
  elif currentNode.key == key:
    return currentNode
  elif key < currentNode.key:
    return self._get(key,currentNode.leftChild)
  else:
    return self._get(key,currentNode.rightChild)

def __getitem__(self,key):
  return self.get(key)

使用get，我們可以通過寫一個(gè)BinarySearchTree的__contains__方法來實(shí)現(xiàn)操作，__contains__方法簡(jiǎn)單地調(diào)用了get方法，如果它有返回值就返回True，如果它是None就返回False。如Listing 6 所示。

Listing 6

def __contains__(self,key):
  if self._get(key,self.root):
    return True
  else:
    return False

回顧一下__contains__重載的操作符，這允許我們寫這樣的語句：

if 'Northfield' in myZipTree:
  print("oom ya ya")

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