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Python中NumPy的線性代數(shù)子模塊linalg詳解

更新時(shí)間：2023年08月18日 10:24:29 作者：天元浪子

這篇文章主要介紹了Python中NumPy的線性代數(shù)子模塊linalg詳解,NumPy 的線性代數(shù)子模塊linalg提供了 20 余個(gè)函數(shù),用于求解行列式、逆矩陣、特征值、特征向量,以及矩陣分解等,需要的朋友可以參考下

線性代數(shù)子模塊linalg

NumPy 的線性代數(shù)子模塊（linalg）提供了 20 余個(gè)函數(shù)，用于求解行列式、逆矩陣、特征值、特征向量，以及矩陣分解等。

SciPy 的線性代數(shù)子模塊（同樣名為 linalg）更為龐大，提供了超過(guò)一百個(gè)函數(shù)。

兩個(gè) linalg 子模塊的同名函數(shù)基本保持了相同的功能，有些函數(shù)可能略有差異。

為了盡可能同時(shí)給出兩個(gè)模塊同名函數(shù)的應(yīng)用示例，本節(jié)的代碼同時(shí)導(dǎo)入兩個(gè)子模塊，一個(gè)命名為 sla，另一個(gè)命名為 nla。

import numpy as np
from scipy import linalg as sla
from numpy import linalg as nla

1. 計(jì)算矩陣的行列式

行列式在本質(zhì)上可以視為線性變換的伸縮因子，因此行列式是一個(gè)標(biāo)量。如果一個(gè)方陣（行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣）的行列式等于 0，則該方陣為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。計(jì)算矩陣的行列式雖然簡(jiǎn)單，但手工計(jì)算很容易出錯(cuò)，而使用 linalg.det( ) 函數(shù)來(lái)計(jì)算則是易如反掌。

 m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
 sla.det(m) # scipy.linalg
-1.9999999999999982
 nla.det(m) # numpy.linalg
-2.0

2. 求解逆矩陣

矩陣可逆的條件是非奇異，也就是行列式不等于 0。從數(shù)學(xué)的角度看，矩陣可逆或非奇異是好的屬性，類似函數(shù)的可微、可導(dǎo)。盡管 matrix 對(duì)象本身有逆矩陣的屬性，但用 linalg 子模塊求解矩陣的逆，也是非常簡(jiǎn)單的。

 m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
 m.I # matrix對(duì)象的逆矩陣屬性
matrix([[-4.5, 7. , -1.5],
 [-2. , 4. , -1. ],
 [ 1.5, -2. , 0.5]])
 m*m.I # 矩陣和其逆矩陣的乘積為單位矩陣
matrix([[1., 0., 0.],
 [0., 1., 0.],
 [0., 0., 1.]])
 sla.inv(m) # scipy.linalg
array([[-4.5, 7. , -1.5],
 [-2. , 4. , -1. ],
 [ 1.5, -2. , 0.5]])
 nla.inv(m) # numpy.linalg
matrix([[-4.5, 7. , -1.5],
 [-2. , 4. , -1. ],
 [ 1.5, -2. , 0.5]])

3. 計(jì)算特征向量和特征值

對(duì)于 n 階矩陣 A，若存在標(biāo)量 λ 和 n 維非零列向量 x，使得 Ax=λx，那么標(biāo)量 λ 就稱為矩陣A 的特征值，向量 x 就稱為矩陣 A 的特征向量。

n 階矩陣存在 n 個(gè)特征值，每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量。

 A = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8') # 生成3階矩陣
 sla.eigvals(A) # 返回3個(gè)特征值
array([ 7.96850246+0.j, -0.48548592+0.j, 0.51698346+0.j])
 sla.eig(A) # 返回3個(gè)特征值和3個(gè)特征向量組成的元組
(array([ 7.96850246+0.j, -0.48548592+0.j, 0.51698346+0.j]), 
array([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
 [ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
 [ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))
 nla.eigvals(A) # 返回3個(gè)特征值
array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346])
 nla.eig(A) # 返回3個(gè)特征值和3個(gè)特征向量組成的元組
(array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346]), 
matrix([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
 [ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
 [ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))

4. 矩陣的奇異值分解

特征向量和特征值是矩陣最重要的特征，特征向量表示特征是什么，特征值表示這個(gè)特征有多重要。

特征向量和特征值是通過(guò)對(duì)矩陣的特征分解獲得的，不過(guò)特征分解只適用于方陣。實(shí)際應(yīng)用中，很多矩陣并不是方陣，要想獲取矩陣特征就要使用矩陣的奇異值分解。

對(duì) m×n 階矩陣進(jìn)行奇異值分解，返回一個(gè)三元組：

以左奇異向量為列的矩陣 U，形狀為(m, m) 或 (m, k) ；

按降序排列的奇異值向量 s，形狀為 (k, )，其中 k=min(m, n) ；

以右奇異向量為行的矩陣 V，形狀為 (n, n) 或 (k, n)。

 A = np.mat(np.random.randint(0,10,(3,4)))
 A
matrix([[6, 7, 8, 1],
 [7, 4, 9, 6],
 [4, 6, 2, 1]])
 U, s, V = sla.svd(A)
 U.shape, s.shape, V.shape
((3, 3), (3,), (4, 4))
 U
array([[-0.63408037, -0.38759249, -0.66911445],
 [-0.68934803, 0.67538003, 0.26203265],
 [-0.35034465, -0.62740249, 0.69543134]])
 s
array([18.88807714, 5.14426409, 2.40355755])
 V
array([[-0.53109149, -0.49226941, -0.63412832, -0.27109764],
 [-0.02089797, -0.73402962, 0.33491192, 0.59042171],
 [ 0.2501572 , 0.22338451, -0.66724387, 0.66506116],
 [-0.80927528, 0.41106046, 0.20124835, 0.36824166]])
 U, s, V = nla.svd(A)
 U
matrix([[-0.63408037, -0.38759249, -0.66911445],
 [-0.68934803, 0.67538003, 0.26203265],
 [-0.35034465, -0.62740249, 0.69543134]])
 s
array([18.88807714, 5.14426409, 2.40355755])
 V
matrix([[-0.53109149, -0.49226941, -0.63412832, -0.27109764],
 [-0.02089797, -0.73402962, 0.33491192, 0.59042171],
 [ 0.2501572 , 0.22338451, -0.66724387, 0.66506116],
 [-0.80927528, 0.41106046, 0.20124835, 0.36824166]])

5. 求解線性方程組

求解線性方程組對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件輕松的事情，但是用代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)的話，其實(shí)并不容易。

線性代數(shù)子模塊 linalg 提供了一個(gè)通用且高效的解決方案，只要把各個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)寫(xiě)在等號(hào)右邊，提取出系數(shù)數(shù)組和常數(shù)數(shù)組，調(diào)用 linalg.solve( ) 函數(shù)即可一步求解。

對(duì)于上面的線性方程組，下面的代碼演示了求解過(guò)程。

 A = np.array([[1,-2,1],[0,2,-8],[-4,5,9]]) # 系數(shù)數(shù)組
 b = np.array([0,8,-9]) #常數(shù)數(shù)組
 sla.solve(A, b) # 調(diào)用scipy.linalg的solve()函數(shù)，返回x、y、z的方程解
array([29., 16., 3.])
 nla.solve(A, b) # 調(diào)用numpy.linalg的solve()函數(shù)，返回x、y、z的方程解
array([29., 16., 3.])

到此這篇關(guān)于Python中NumPy的線性代數(shù)子模塊linalg詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)NumPy的線性代數(shù)子模塊linalg內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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