Python計算質數的方法總結

更新時間：2023年11月03日 08:27:32 作者：濤哥聊Python

質數（Prime?Number）是指大于1且只能被1和自身整除的正整數,計算質數是數論中的一個經典問題,本文將介紹python中多種計算質數的方法,希望對大家有所幫助

一、基礎方法

1.1 暴力法

最簡單的方法是使用暴力法，逐個檢查每個正整數是否為質數。這種方法對于小數字是有效的，但在大數字上效率很低。

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

1.2 優(yōu)化暴力法

可以通過減少檢查的范圍來優(yōu)化暴力法。因為質數必定大于1，所以只需檢查2到√n之間的數是否能整除n。

import math

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

二、更高效的方法

2.1 埃拉托斯特尼篩法（Sieve of Eratosthenes）

埃拉托斯特尼篩法是一種高效的方法，用于生成一定范圍內的所有質數。它通過不斷排除合數來找到質數。

def sieve_of_eratosthenes(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    p = 2
    while p**2 <= n:
        if is_prime[p]:
            for i in range(p**2, n + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    primes = [i for i in range(2, n + 1) if is_prime[i]]
    return primes

2.2 Miller-Rabin素數測試

Miller-Rabin素數測試是一種概率性的方法，用于測試一個數是否為質數。雖然它不是絕對確定的，但通?？梢蕴峁┛山邮艿慕Y果。

import random

def miller_rabin(n, k=5):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    
    # 將n-1表示為(2^r) * d
    r, d = 0, n - 1
    while d % 2 == 0:
        r += 1
        d //= 2
    
    def witness(a, d, n):
        x = pow(a, d, n)
        if x == 1 or x == n - 1:
            return True
        for _ in range(r - 1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n - 1:
                return True
        return False
    
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        if not witness(a, d, n):
            return False
    return True

三、Python中的質數計算

Python標準庫提供了一些用于計算質數的函數和模塊，例如sympy和math。

3.1 使用sympy模塊

sympy是Python中用于符號數學的強大庫，它包含了許多數論函數，包括判斷質數的函數。

from sympy import isprime

print(isprime(17))  # 輸出：True

3.2 使用math模塊

math模塊提供了一些數學函數，包括sqrt函數，可以用來優(yōu)化暴力法中的質數判斷。

import math

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True