python使用梯度下降和牛頓法尋找Rosenbrock函數(shù)最小值實(shí)例

更新時(shí)間：2020年04月02日 09:45:13 作者：SpringHerald

這篇文章主要介紹了python使用梯度下降和牛頓法尋找Rosenbrock函數(shù)最小值實(shí)例，具有很好的參考價(jià)值，希望對(duì)大家有所幫助。一起跟隨小編過(guò)來(lái)看看吧

Rosenbrock函數(shù)的定義如下：

其函數(shù)圖像如下：

我分別使用梯度下降法和牛頓法做了尋找Rosenbrock函數(shù)的實(shí)驗(yàn)。

梯度下降

梯度下降的更新公式：

圖中藍(lán)色的點(diǎn)為起點(diǎn)，橙色的曲線（實(shí)際上是折線）是尋找最小值點(diǎn)的軌跡，終點(diǎn)（最小值點(diǎn)）為 (1,1)(1,1)。

梯度下降用了約5000次才找到最小值點(diǎn)。

我選擇的迭代步長(zhǎng) α=0.002α=0.002，αα 沒(méi)有辦法取的太大，當(dāng)為0.003時(shí)就會(huì)發(fā)生振蕩：

牛頓法

牛頓法的更新公式：

Hessian矩陣中的每一個(gè)二階偏導(dǎo)我是用手算算出來(lái)的。

牛頓法只迭代了約5次就找到了函數(shù)的最小值點(diǎn)。

下面貼出兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的代碼。

梯度下降：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import ticker


def f(x, y):
 return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2


def H(x, y):
 return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x],
      [-400 * x, 200]])


def grad(x, y):
 return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)],
      [200 * (y - x * x)]])


def delta_grad(x, y):
 g = grad(x, y)

 alpha = 0.002
 delta = alpha * g
 return delta


# ----- 繪制等高線 -----
# 數(shù)據(jù)數(shù)目
n = 256
# 定義x, y
x = np.linspace(-1, 1.1, n)
y = np.linspace(-0.1, 1.1, n)

# 生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

plt.figure()
# 填充等高線的顏色, 8是等高線分為幾部分
plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)
# 繪制等高線
C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01)
# 繪制等高線數(shù)據(jù)
plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)
# ---------------------

x = np.matrix([[-0.2],
    [0.4]])

tol = 0.00001
xv = [x[0, 0]]
yv = [x[1, 0]]

plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o')

for t in range(6000):
 delta = delta_grad(x[0, 0], x[1, 0])
 if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol:
  break
 x = x - delta
 xv.append(x[0, 0])
 yv.append(x[1, 0])

plt.plot(xv, yv, label='track')
# plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Gradient for Rosenbrock Function')
plt.legend()
plt.show()

牛頓法：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import ticker


def f(x, y):
 return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2


def H(x, y):
 return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x],
      [-400 * x, 200]])


def grad(x, y):
 return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)],
      [200 * (y - x * x)]])


def delta_newton(x, y):
 alpha = 1.0
 delta = alpha * H(x, y).I * grad(x, y)
 return delta


# ----- 繪制等高線 -----
# 數(shù)據(jù)數(shù)目
n = 256
# 定義x, y
x = np.linspace(-1, 1.1, n)
y = np.linspace(-1, 1.1, n)

# 生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

plt.figure()
# 填充等高線的顏色, 8是等高線分為幾部分
plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)
# 繪制等高線
C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01)
# 繪制等高線數(shù)據(jù)
plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)
# ---------------------

x = np.matrix([[-0.3],
    [0.4]])

tol = 0.00001
xv = [x[0, 0]]
yv = [x[1, 0]]

plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o')

for t in range(100):
 delta = delta_newton(x[0, 0], x[1, 0])
 if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol:
  break
 x = x - delta
 xv.append(x[0, 0])
 yv.append(x[1, 0])

plt.plot(xv, yv, label='track')
# plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Newton\'s Method for Rosenbrock Function')
plt.legend()
plt.show()

以上這篇python使用梯度下降和牛頓法尋找Rosenbrock函數(shù)最小值實(shí)例就是小編分享給大家的全部?jī)?nèi)容了，希望能給大家一個(gè)參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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