我們當(dāng)時采用的方法是通過設(shè)置不同的下降時間來記錄下降的高度，測量記錄多組數(shù)據(jù)之后，再利用二維坐標(biāo)系將記錄的點(diǎn)繪制到坐標(biāo)系當(dāng)中去，然后保證繪制的曲線到這些點(diǎn)的距離之和最小，最終得到的曲線就是h與t的關(guān)系。

繪制出h和t的關(guān)系之后，我就可以知道任意取值t在初速度為0的情況下，下降高度h對應(yīng)的值。除此之外，曲線擬合的應(yīng)用還有很多例如房價預(yù)測、經(jīng)濟(jì)預(yù)測、股價預(yù)測等。

不知道，大家有沒有思考過，為什么我們可以通過測量值來繪制出t和h的關(guān)系曲線呢？這里面用到的邏輯究竟是什么呢？其實關(guān)于曲線的擬合通常有兩種解決方案：

我們已經(jīng)知道了自變量(x)和因變量(y)的關(guān)系，只是不知道參數(shù)，通過觀察值來計算出參數(shù)，就能計算出自變量和因變量之間的關(guān)系
利用萬能函數(shù)逼近器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合曲線，通過定義代價函數(shù)，利用已有觀察值的輸入值來計算出預(yù)測值，再計算出預(yù)測值與觀測值的輸出值之間的差距，在通過反向傳播，來計算出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)

下面我們主要探討如何利用方法1來實現(xiàn)曲線的擬合

曲線擬合

曲線擬合還可以分為兩種情況，第一種就是沒有約束的曲線擬合，第二種就是帶有約束條件的曲線擬合。scipy中提供了curve_fit函數(shù)使用非線性的最小二乘法用來擬合沒有約束條件的曲線，提供了least_squares函數(shù)用來擬合帶有約束條件的曲線。

沒有約束條件的曲線擬合

帶約束條件的曲線擬合

有時候在求解曲線參數(shù)的時候，會對參數(shù)的邊界做出一些限制，下面就展示了在對參數(shù)的邊界做出限制的情況下如何來求解的問題。我們使用jac矩陣結(jié)合最小二乘法來計算曲線的參數(shù)

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
import matplotlib.pyplot as plt

def model(x,u):
    """定義擬合的曲線
    :param x:輸入值自變量
    :param u:輸入值函數(shù)的參數(shù)
    :return:返回值因變量
    """
    return x[0] * (u ** 2 + x[1] * u) / (u ** 2 + x[2] * u + x[3])

def fun(x,u,y):
    return model(x,u) - y

def jac(x,u,y):
    J = np.empty((u.size,x.size))
    den = u ** 2 + x[2] * u + x[3]
    num = u ** 2 + x[1] * u
    J[:,0] = num / den
    J[:,1] = x[0] * u / den
    J[:,2] = -x[0] * num * u / den ** 2
    J[:,3] = -x[0] * num / den ** 2
    return J

#輸入值自變量
u = np.array([4.0, 2.0, 1.0, 5.0e-1, 2.5e-1, 1.67e-1, 1.25e-1, 1.0e-1,
              8.33e-2, 7.14e-2, 6.25e-2])
#輸入值因變量
y = np.array([1.957e-1, 1.947e-1, 1.735e-1, 1.6e-1, 8.44e-2, 6.27e-2,
              4.56e-2, 3.42e-2, 3.23e-2, 2.35e-2, 2.46e-2])
#函數(shù)的參數(shù)
x0 = np.array([2.5, 3.9, 4.15, 3.9])
#利用jac矩陣結(jié)合最小二乘法來計算曲線的參數(shù),設(shè)置參數(shù)的取值在(0,100)之間
res = least_squares(fun, x0, jac=jac, bounds=(0, 100), args=(u, y), verbose=1)

#需要預(yù)測值得輸入值
u_test = np.linspace(0, 5)
#利用計算的曲線參數(shù)來計算預(yù)測值
y_test = model(res.x, u_test)
plt.plot(u, y, 'o', markersize=4, label='data')
plt.plot(u_test, y_test, label='fitted model')
plt.xlabel("u")
plt.ylabel("y")
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()