在 Engle 和 Granger [2]（Granger 是協(xié)整概念的發(fā)明者，曾獲 2003 年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎）的《協(xié)整與誤差修正：表示、估計和檢驗》一文中，定義了協(xié)整的關(guān)鍵概念和檢驗方法。該論文的關(guān)鍵是假設(shè)時間序列是隨機的，沒有確定性成分（我們稍后再談）。

如果存在確定性趨勢，則應(yīng)在分析前將其去除：

應(yīng)用于時間和比特幣價格

在基于時間的冪律中，我們有兩個變量：

1. log_time：創(chuàng)世區(qū)塊之后天數(shù)的對數(shù)

2. log_price：價格的對數(shù)

根據(jù) Engle 和 Granger 的定義，兩個變量都必須是隨機變量，沒有確定性成分，而且必須是非平穩(wěn)的。此外，我們必須能夠找到這兩個變量的靜態(tài)線性組合。否則，這兩個變量之間就不存在協(xié)整關(guān)系。

在深入探討細(xì)節(jié)之前，讓我們先展示幾張模型數(shù)據(jù)本身的圖表，其中不包含任何平穩(wěn)或協(xié)整概念。請注意，基于時間的冪律產(chǎn)生的擬合效果直觀看來相當(dāng)不錯。殘差向量（residuals vector）并沒有立即顯示出漂移。

此外，該模型還顯示出卓越的樣本外性能（見下文）。出色的樣本外性能并不意味著該模型是虛假的 —— 基于虛假相關(guān)性的模型應(yīng)該只是虛假的，即無法準(zhǔn)確預(yù)測。檢驗樣本外性能的方法是在有限的數(shù)據(jù)量（截至某個日期）上擬合模型，并對模型未擬合的時間段進行預(yù)測（類似于交叉驗證）。在樣本外期間，觀察到的價格經(jīng)常與建模價格交叉，觀察到的價格的最大偏離也沒有系統(tǒng)性地進一步遠離建模價格。

我們可以更加嚴(yán)格，觀察模型發(fā)布之后（2019 年 9 月）的表現(xiàn)，因為模型發(fā)布后，我們不可能有任何作弊行為 —— 我們不能事后更改模型。

如果有人指責(zé)該模型只是基于一種虛假的相關(guān)性，那么該模型的預(yù)測能力應(yīng)該已經(jīng)讓人感到懷疑了。

逐步實現(xiàn)協(xié)整

要使 log_time 和 log_price 之間可能存在協(xié)整關(guān)系，這兩個變量必須是同階隨機變量，且至少是 1 階隨機變量。

log_price 變量

log_price 是平穩(wěn)時間序列嗎？Nick 使用未指定類型的 ADF 檢驗（非平穩(wěn)性檢驗）和 KPSS 檢驗（平穩(wěn)性檢驗）得出結(jié)論，log(price) 毫無疑問是非平穩(wěn)的，因此是 I(1)或更高。Marcel Burger 通過目測得出結(jié)論，它是 I(1)。Tim Stolte 提出了一個更有趣的觀察：他對不同時期進行了 ADF 檢驗（未指定類型），并指出情況并非一目了然：“因此，我們無法堅定地拒絕非平穩(wěn)性，并得出 log-price 存在非平穩(wěn)性跡象的結(jié)論。”

讓我們自己跑一下分析。與 Tim Stolte 類似，我們將在不同的時間窗口進行 ADF 檢驗：總是從第一個可用日期開始，每天增加一天（我們使用每日數(shù)據(jù)）。這樣，我們就能看到 ADF 檢驗的結(jié)果是如何隨時間變化的。但與 Tim 和 Nick 不同的是，我們要指定運行哪個版本的 ADF 檢驗。根據(jù)維基百科，DF 和 ADF 檢驗有三種主要類型：

這三個版本的區(qū)別在于它們能夠適應(yīng)（移除）不同的趨勢。這與 Engle 和 Granger 要求去除任何確定性趨勢有關(guān) —— 這三個版本能夠去除三種簡單的確定性趨勢類型。第一個版本試圖只使用過去的 log_price 數(shù)據(jù)來描述每日的 log_price 變化。第二個版本允許使用常數(shù)項，其效果是 log_price 可以具有線性趨勢（向上或向下）。第三個版本允許二次方（拋物線）成分。

我們不知道 Tim 和 Nick 運行的是哪個版本，但我們將運行所有三個版本。

我們在 ADF 檢驗中使用的最大滯后期為 1，但使用更長的滯后期不會對我們的結(jié)果和結(jié)論產(chǎn)生有意義的改變。我們將使用 python 的 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 函數(shù)，"maxlag"為 1，"regression"參數(shù)使用 "n"、"c "和 "ct"（相當(dāng)于維基百科上面描述的三種類型）。在下圖中，我們顯示了測試返回的 p 值（統(tǒng)計顯著性的衡量標(biāo)準(zhǔn)），p 值越小，表示平穩(wěn)的可能性越大（通常使用的臨界值為 0.05）。

我們注意到，第一種方法（綠線）得出的結(jié)論是，log_price 時間序列是非平穩(wěn)的。第三種檢驗方法（橙色線）的結(jié)論相同，但不那么果斷。有趣的是，允許常數(shù)項的檢驗（藍線）無法判定時間序列是否平穩(wěn)（很可能 Tim 也使用了帶有常數(shù)項的 ADF 檢驗）。為什么這三個版本有如此大的差異，特別是為什么帶有常數(shù)項的版本不能排除 log_price 是平穩(wěn)的？

只有一種解釋：在 log_price 差分中僅使用常數(shù)項（導(dǎo)致 log_price 中的線性項）可以“很好地”擬合時間序列，從而產(chǎn)生看起來幾乎是平穩(wěn)的殘差信號（盡管起點和終點的偏差相當(dāng)大）。完全不在 log_price 中使用確定性趨勢，或使用二次項確定性效應(yīng)，效果都遠不如前者。

這已經(jīng)給了我們一個強烈的暗示，即時間與 log_price 之間存在關(guān)系。事實上，如果使用常數(shù)項進行的 ADF 檢驗得出的結(jié)論是信號是平穩(wěn)的，這就意味著線性時間項能夠很好地近似 log_price，從而得到平穩(wěn)的殘差。獲得平穩(wěn)的殘差是可取的，因為它是非虛假關(guān)系的標(biāo)志（即我們找到了正確的解釋變量）。線性時間趨勢并不完全符合我們的要求，但我們似乎正在接近它。

我們的結(jié)論與 Marcel Burger 的結(jié)論明顯不同，他（在另一篇文章中）說：

“在之前的分析中，我表明比特幣的價格是一階整合的，這一點仍然有效。比特幣在價格隨時間演變的過程中并沒有表現(xiàn)出任何確定性因素。”

我們的結(jié)論是，線性時間并不能充分解釋比特幣的價格隨時間變化的行為，但 log_price 有一個確定的時間因素是絕對清楚的。此外，在去除適當(dāng)?shù)拇_定性成分后（如 Engle 和 Granger 所要求的），也不清楚 log_price 是否為 I(1)。相反，它似乎是趨勢平穩(wěn)的，但仍需找到適當(dāng)?shù)拇_定性成分。

如果我們要尋找協(xié)整關(guān)系，log_price 不是 I(1)就已經(jīng)是個問題了，因為要使兩個變量協(xié)整，它們必須都是 I(1)或更高。

log_time 變量

現(xiàn)在讓我們看看 log_time 變量。Marcel Burger 的結(jié)論是，log_time 似乎進行了 6 階積分（他一直在進行差分，直到遇到數(shù)值問題）。他期望像對數(shù)這樣的數(shù)學(xué)函數(shù)能從一個完全確定的變量轉(zhuǎn)化為一個隨機變量，這種做法是毫無道理的。

Nick 對 log_time 的結(jié)論與對 log_price 變量的結(jié)論相同：毫無疑問，它是非平穩(wěn)的，因此 I(1) 或更高。Tim Stolte 聲稱 log_time 在構(gòu)造上是非平穩(wěn)的。這些說法都令人吃驚！積分階次和協(xié)整是指隨機變量的概念，其中任何確定性趨勢都已被剔除（見上文 Engle 和 Granger [2]）。需要提醒的是：確定性變量的值是預(yù)先知道的，而隨機變量的值是不知道的。時間（顯然）是完全確定的，對數(shù)函數(shù)也是完全確定的，因此 log_time 也是完全確定的。

圖釋：左圖：自創(chuàng)世區(qū)塊之后的天數(shù)的對數(shù)是完全確定性的。右圖：隨機變量（看起來有點像左邊的確定性變量）。

如果我們按照 Engle 和 Granger 的方法，從 log_time 中移除確定性趨勢，那么剩下的就是一個零向量，因為 log(x) - log(x) = 0，也就是說，我們?nèi)匀挥幸粋€完全確定的信號。這意味著我們陷入了困境 —— 我們無法將 log_time 這個完全確定的變量轉(zhuǎn)化為隨機變量，因此我們無法使用 Engle 和 Granger 的框架。

要想知道完全確定的變量在協(xié)整分析中會有多大問題，還有一種方法，那就是考慮 Dickey-Fuller 檢驗等平穩(wěn)性檢驗如何處理它。讓我們考慮最簡單的情況（其中 y 是感興趣的變量，rho 是需要估計的系數(shù)，u 是假定為白噪聲的誤差項）：

會發(fā)生什么？誤差項 u_{t} 在所有 t 值中都為 0，因為我們沒有隨機成分 —— 應(yīng)該不需要誤差。但由于 log_time 是時間的非線性函數(shù)，因此 rho 的值也必須取決于時間。

對于隨機變量來說，這個模型更有用，因為變量 rho 可以捕捉到之前的隨機值在多大程度上被記住了。但如果沒有隨機值，這個模型就沒有意義了。

對于確定性變量，其他類型的檢驗也存在同樣的問題。

因此，完全確定性變量不屬于協(xié)整分析的范疇?；蛘邠Q一種說法：協(xié)整分析不適用于確定性信號，如果其中一個信號是確定性的，那么協(xié)整分析就是一種聲稱存在虛假關(guān)系的不合時宜的工具。

怎么解釋

只有兩個變量都是 I(d)，且 d 至少等于 1 的情況下，才存在協(xié)整關(guān)系。我們已經(jīng)證明 log_time 是一個完全確定的變量，不能用于靜態(tài)檢驗。我們無法判斷 log_time 是 I(0)、I(1) 還是 I(6)。此外，log_price 也不是 I(1)，而是趨勢平穩(wěn)的。

log_time 和 log_price 之間不存在協(xié)整關(guān)系，這是否意味著基于時間的冪律在統(tǒng)計上是無效的或虛假的？

當(dāng)然不是

在任何適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計分析中，使用混合確定變量和趨勢平穩(wěn)變量都是完全正確的。協(xié)整并不像我們的批評者試圖讓人相信的那樣，是統(tǒng)計關(guān)系分析的中心點。

因此，協(xié)整分析是不可行的。但是，應(yīng)用于冪律模型的平穩(wěn)分析可能還有用武之地。讓我們進一步探討這個問題。

我們之所以首先對輸入變量進行協(xié)整分析，是因為我們希望找到二者的平穩(wěn)線性組合。將一個確定性變量（log_time）和一個趨勢平穩(wěn)變量（log_price）進行組合，從而得到一個平穩(wěn)變量，這從根本上說是不可能的。因此，與其尋找嚴(yán)格意義上的協(xié)整關(guān)系，我們可以簡單地對殘差進行平穩(wěn)性檢驗（因為殘差只是兩個輸入信號的線性組合）。如果殘差是平穩(wěn)的，那么即使我們沒有嚴(yán)格遵循 Engle-Granger 協(xié)整檢驗，我們也找到了一個平穩(wěn)的線性組合（這正是協(xié)整的目的）。

深入探討

James G. MacKinnon [3] 在他的論文《協(xié)整檢驗的臨界值》中正是這樣解釋的：如果已經(jīng)進行了“協(xié)整回歸”（將 log_time 與 log_price 聯(lián)系起來的回歸），那么協(xié)整檢驗（Engle-Granger 檢驗）與對殘差進行的平穩(wěn)性檢驗（DF 或 ADF 檢驗）是一回事：

MacKinnon 重復(fù)了這一說法：如果連接 log_time 和 log_price 的參數(shù)是先驗已知的，那么就可以跳過 Engle-Granger 協(xié)整檢驗，轉(zhuǎn)而對殘差進行三種常見類型之一的平穩(wěn)性檢驗（DF 或 ADF 檢驗）：

因此，我們可以使用兩種方法中的任何一種，除了得出的檢驗統(tǒng)計量之外，這兩種方法是相同的：

1. 將 log_time 與 log_price 擬合，計算殘差（誤差）。根據(jù)殘差計算 DF，或者更好的是 ADF 檢驗。由此得出的統(tǒng)計量可以說明殘差是否平穩(wěn)。

2. 假設(shè) log_time 和 log_price 是 I(1)，并運行 Engel-Granger 協(xié)整檢驗。得出的統(tǒng)計量也能說明殘差是否平穩(wěn)。

對于 ADF 檢驗，我們使用 python 的 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 函數(shù)；對于 Engle-Granger 檢驗，我們使用 statsmodels.tsa.stattools.coint。對于這兩個函數(shù)，我們都使用了不使用常數(shù)（不隨時間不斷漂移）的方式，因為我們的殘差不應(yīng)該包含隨時間不斷漂移（因為這意味著隨著時間的推移，模型開始高估或低估價格）。

我們曾寫道，ADF 檢驗和 Engle-Granger 檢驗是等價的，但事實并非如此：它們不會產(chǎn)生相同的檢驗統(tǒng)計量。Engle-Granger 協(xié)整檢驗假設(shè)有 N=2 個隨機變量，而 ADF 檢驗假設(shè)有 N=1 個隨機變量（N 是自由度的量度）。一個隨機變量可以受另一個隨機變量或一個確定變量的影響，但一個確定變量不能受一個隨機變量的影響。因此，在我們的案例中（只有一個確定變量 log_time），ADF 檢驗（假定 N=1 個隨機變量）返回的統(tǒng)計量更可取。原則上，Engle-Granger 檢驗和 ADF 檢驗可能存在分歧，但在基于時間的模型中，實際情況并非如此。如下圖所示，結(jié)論是一樣的：我們得到了一個平穩(wěn)的殘差向量。兩種檢驗的得分都遠遠低于 0.05 臨界值（表明殘差是平穩(wěn)的），而且長期以來一直如此。

圖釋：根據(jù) ADF 和 Engle-Granger 檢驗，基于時間的冪律從 2016 年左右開始具有平穩(wěn)的殘差。

兩種檢驗最初都沒有顯示出平穩(wěn)的殘差是正常的。這是因為殘差信號中的低頻成分會被誤認(rèn)為是非平穩(wěn)信號。只有隨著時間的推移，殘差的均值回歸才會變得明顯，實際上是平穩(wěn)的。

S2F 與長期股指價格

S2F 模型被普遍否定，似乎是因為嚴(yán)格意義上的協(xié)整被證明是不可能的，其原因與基于時間的冪律相似：輸入變量是（部分）確定的。然而，該模型產(chǎn)生的殘差看起來非常平穩(wěn)。

事實上，Engle-Granger 協(xié)整檢驗和 ADF 平穩(wěn)性檢驗（因為有一個確定變量和一個隨機變量，所以更可取）得出的 p 值都非常接近 0。因此，不應(yīng)以“缺乏協(xié)整性”（實際上是“缺乏平穩(wěn)性”）為由排除 S2F 模型。

然而，我們在 2020 年初指出，還有其他跡象表明 S2F 模型不成立。我們預(yù)測 BTCUSD 的價格將低于 S2F 模型的預(yù)測，事實證明這一預(yù)測是有先見之明的。

觀察長期股價指數(shù)與時間的對比也很有趣（此處為不含紅利再投資的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)）。眾所周知，主要股票市場指數(shù)平均以 7% 左右的指數(shù)速度增長。事實上，我們通過指數(shù)回歸也證實了這一點。

在這里，我們又遇到了一個確定性變量（時間）。Engle-Granger 協(xié)整檢驗得出的 p 值約為 0.025，ADF 檢驗（首選）得出的 p 值約為 0.0075（但這些值在很大程度上取決于選擇的確切時間段）。再一次，平穩(wěn)的殘差。股票價格的指數(shù)時間趨勢是有效的。

影響

S2F 模型最初受到高度評價（尤其是 Marcel Burger 和 Nick Emblow），原因是該模型據(jù)稱具有良好的計量經(jīng)濟學(xué)基礎(chǔ)，特別是存在協(xié)整關(guān)系。隨著潮流的轉(zhuǎn)變，S2F 模型顯然不存在嚴(yán)格意義上的協(xié)整關(guān)系，Marcel 和 Nick 都跳船了，宣布 S2F 模型無效。似乎在這一事件之后，大眾對 S2F 模型的看法也發(fā)生了變化。Eric Wall 對事件的轉(zhuǎn)折做了一個極好的簡短總結(jié)。

我們已經(jīng)解釋過，而且計量經(jīng)濟學(xué)文獻（MacKinnon [3]）也同意我們的觀點，即協(xié)整性和平穩(wěn)性幾乎可以互換使用（統(tǒng)計量的值除外）。根據(jù)這一觀點，我們認(rèn)為 S2F 模型在協(xié)整性/平穩(wěn)性方面沒有任何問題，因此，因為所謂缺乏協(xié)整性而改變對 S2F 模型的看法是錯誤的。我們同意 S2F 模型是錯誤的，但其錯誤的原因不在于缺乏協(xié)整性。

比特幣的時間冪律模型因缺乏協(xié)整性而受到批評，據(jù)說這標(biāo)志著 log_time 和 log_price 之間的關(guān)系是虛假的。我們已經(jīng)證明，比特幣基于時間的冪律模型的殘差明顯是平穩(wěn)的，因此批評者的推理是值得商榷的。

比特幣的時間冪律模型是有效、穩(wěn)定和強大的。一如既往。

以上就是比特幣時間冪律模型的詳細(xì)介紹了，此文比較專業(yè)，需要一些特定的知識才能更好的閱讀。

參考文獻

•  "Universal Cointegration and Its Applications" Tu et al., including supplemental information
• “Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing” by Robert F. Engle and C. W. J. Granger
• “Critical Values for Cointegration Tests”, James G. MacKinnon