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比特幣背后的諾貝爾獎：投票悖論和阿羅不可能定理

2024-11-05 22:59:21 | 來源： | 作者：佚名

阿羅不可能定理揭示了集體決策中的基本悖論，即在滿足合理條件的情況下，無法設計出一種完美的社會選擇規(guī)則,它告訴我們，任何集體決策機制都需要在公平性、一致性和合理性之間做出權衡取舍,更多詳細資訊請看下面正文

今天是美國大選日，昨晚內參《11.4 教鏈內參：美國大選，新錢對老錢，鹿死誰手？》匯總了一些兩方面的信息。受「特朗普交易」退潮影響，隔夜 BTC 一度回踩至 30 日均線 66.9k 附近。

美國大選是一種投票式民主。但是，投票真的能實現(xiàn)民主嗎？很遺憾，并不能。即便是排除選票造假、非法投票等操作性問題，在數(shù)學上，可以證明，投票并不能實現(xiàn)民主。這正是 1972 年諾貝爾經濟學獎肯尼斯·阿羅（Kenneth J. Arrow）的研究成果。

什么是民主？民主是一群人，采用一種制度的辦法，做出一項集體選擇或稱集體決策，而該項集體決策，能夠符合該群體中最大多數(shù)人的利益訴求。

可見，民主首先就是有邊界的。美國人的民主，只是為了符合美國人的利益。而它是否會損害地球上其他非美國人的利益呢？當然有可能。

其次，民主的目的是為了做集體決策，或者說做出一個具體的集體選擇。投票，是為了達到這個目的的一種手段和方法。

最后，民主的目標是利益（而不是道德或其他什么東西），最終結果要有利于最大多數(shù)人的利益。

即便我們不考慮一群人集體做出的決策是否真的有利于多數(shù)人的利益，僅僅是在做出集體選擇這一步，阿羅就證明了，沒有一種投票制度的設計是能夠真正得到一個結果的。

在 1972 年阿羅在瑞典斯德哥爾摩諾貝爾獎頒獎典禮所作報告《一般經濟均衡：目的，分析技術，集體選擇》（General Ecnomic Equilibrium: Purpose, Analytic Techniques, Collective Choice) 的結尾，他引述了 18 世紀法國學者孔多塞提出的投票悖論來作為生動的例子。

這個例子是這樣的：

有張三、李四、王五三個人，中午相約一起去吃午飯。他們的選項有三家：黃燜雞米飯，達美樂披薩，肯德基漢堡。

張三的偏好是：黃燜雞 > 披薩 > 漢堡

李四的偏好是：披薩 > 漢堡 > 黃燜雞

王五的偏好是：漢堡 > 黃燜雞 > 披薩

請設計一個投票制度，可以讓他們三人組成的群體，通過民主投票的方法，選出一個最好的選項出來。

初中數(shù)學及格的人都能發(fā)現(xiàn)，這樣的民主投票制度是不存在的！

若投票結果是黃燜雞：只有張三一個人滿意。而李四和王五兩個人都覺得，選黃燜雞不如選漢堡！

若投票結果是披薩：只有李四一個人滿意。而張三和王五兩個人都覺得，選披薩不如選黃燜雞！

若投票結果是漢堡：只有王五一個人滿意。而張三和李四兩個人都覺得，選漢堡不如選披薩！

可見，即使是在這樣一個如此簡單的系統(tǒng)中，民主都是無法實現(xiàn)的。無論怎么選，都是絕大多數(shù)人不滿意。

這還只是三個人選吃啥。如果是三億人選總統(tǒng)呢？難道就能有什么制度保證投票選舉一定可以達成真正的民主決策——即選出的總統(tǒng)有利于最大多數(shù)人的利益嗎？

更復雜的設計，只會掩蓋這個根本性的問題，而絕對不能解決問題。因為這是數(shù)學和邏輯的問題，不是通過制度設計可以解決的。

阿羅推廣并形式化了這一問題，并進行了嚴格的數(shù)學證明，稱為阿羅不可能定理（Arrow's impossibility theorem）。

在民主決策和投票系統(tǒng)中，人們常常希望根據(jù)所有成員的個人偏好來做出集體決策。但阿羅不可能定理表明，任何嘗試匯總個人偏好以形成社會偏好的規(guī)則，都無法同時滿足以下五個看似合理的條件：

1. 非獨裁性（Non-dictatorship）：沒有任何一個人能夠完全決定社會的偏好。也就是說，社會偏好不應該僅僅等于某個個人的偏好，集體決策應反映多個成員的意見。

2. 一致性（Pareto Efficiency）：如果所有人都偏好 A 超過 B，那么社會的偏好也應反映出 A 優(yōu)于 B。這是集體決策的一種基本合理性要求。

3. 獨立于無關選項（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）：社會對 A 和 B 的偏好關系只應該取決于人們對 A 和 B 的偏好，而不應受其他選項的影響。這意味著加入一個無關選項 C 不應改變 A 和 B 的排序。

4. 集體理性（Transitivity）：如果社會偏好 A 優(yōu)于 B，且 B 優(yōu)于 C，那么社會偏好應滿足 A 優(yōu)于 C。即集體偏好必須是一致的，不出現(xiàn)循環(huán)偏好。

5. 普遍領域（Unrestricted Domain）：所有可能的個人偏好組合都應該被允許，即無論人們的偏好是怎樣的，規(guī)則都應能適用。

阿羅證明了，在有三個或更多的候選項時，任何偏好匯總機制都不可能同時滿足上述五個條件。換句話說，要么需要放棄其中某一個條件，要么需要接受一個不完美的決策系統(tǒng)（例如，接受一個「獨裁者」來做決策，或者允許系統(tǒng)不滿足一致性等條件）。

阿羅不可能定理表明，在追求公平、合理和一致的集體決策時，存在無法避免的矛盾。這一定理對政治學、經濟學、社會選擇理論和投票制度設計等領域具有深遠的影響。它揭示了民主決策的內在局限性，即我們可能無法找到一種完全公平的決策機制來匯總個人偏好。

阿羅不可能定理揭示了集體決策中的基本悖論，即在滿足合理條件的情況下，無法設計出一種完美的社會選擇規(guī)則。它告訴我們，任何集體決策機制都需要在公平性、一致性和合理性之間做出權衡取舍。

在中本聰 2008 年公布的比特幣白皮書中，談到了多數(shù)決策的問題。就是在第 4 小節(jié)「工作量證明」里。這段話是這么寫的：

「工作量證明還解決了在多數(shù)決策中確定代表制的問題。如果基于一個 IP 地址一票制確定多數(shù)，那么該制度就有可能被任何有能力分配很多 IP 的人所顛覆。工作量證明本質上是一個 CPU 一票。多數(shù)決策由最長鏈來代表，它有著最大的投入其中的工作量證明。如果多數(shù) CPU 算力被誠實節(jié)點所控制，誠實鏈就會以最快的速度增長并超過任何競爭鏈。要修改一個過去的區(qū)塊，攻擊者將不得不重做該區(qū)塊以及所有后續(xù)區(qū)塊的工作量證明，然后追上并超越誠實節(jié)點的工作量。我們稍后會展示，隨著后繼區(qū)塊被添加，一個較慢的攻擊者追上的概率會以指數(shù)級衰減?！?/p>

中本聰在這里講的「一個 CPU 一票」，其實是指一份算力一票。至于這一份算力究竟是多少算力呢，其實就是節(jié)點算力占整個網絡的算力的比例。

分布式系統(tǒng)的一致性問題，其實也是一個集體選擇的問題。只不過做出集體選擇的，是計算機自動化地執(zhí)行其所有者的意志罷了。

傳統(tǒng)的解決方案都是邏輯投票，比如像什么 BFT（拜占庭容錯算法）之類的。FLP 不可能定理已經把這條路給堵死了。

中本聰徹底拋棄了這些已經走入死胡同的老路。比特幣白皮書一個字兒都沒提那些傳統(tǒng)的分布式算法，也沒有引述任何相關的參考文獻，仿佛它們不存在一般。

在上面的白皮書第 4 小節(jié)里，中本聰指出，按「人頭」（IP 地址）投票的辦法，必然會遇到投假票的問題。就像這次美國大選，沒有投票資格的留學生也輕易投了票。甚至很多人自曝過去曾經用貓啊狗啊的名字都能投票。

這在分布式系統(tǒng)中有個術語叫做「女巫攻擊」（Sybil attack），即偽造身份攻擊。女巫，就是分身的比喻。

美國大選系統(tǒng)能抗女巫攻擊嗎？看起來是有漏洞的。

有人可能會說，假冒投票收益極小，而可能觸及犯罪的損失極大，不會有人去干這種事的。但是，如果是參與競爭的一方，有組織地去搞假票攻擊，那就是獲益極大的事了。

有人又說，全美搞一套身份證系統(tǒng)，選票記名，是不是就可以解決這個問題？但是，身份證和記名投票又會帶來其他妨害民主的問題。況且，身份證的統(tǒng)一頒發(fā)和認證，意味著又要引入一個中心化的權力部門。

對比特幣系統(tǒng)而言，要徹底地去中心化，也就不可能采用這樣中心化的解決方案。

中本聰換了一個思路，他讓大家用「工作量證明」來投票。

簡單來說，就是誰干的活多，誰的話語權（投票權）就大。注意，不是誰的幣多（錢多），誰的話語權大。

和馬克思恩格斯說的讓工人階級掌權異曲同工。讓最普遍的代表先進生產力的群體掌握最大的權力。

為什么？因為持幣用戶隨時可以割肉跑路。而礦工的礦機一旦部署，關機就成廢鐵。這也是為什么國家的基本盤是工農勞動群眾，而不是資本家的原因。

當然，現(xiàn)實社會中干活的多少因為分工等差異不易測量和比較，但是對于比特幣系統(tǒng)就簡單多了，都是一樣的哈希計算，很容易測量和比較。

按工作量證明投票這種生產力民主制，或者叫算力民主制，得到的結果是中本聰講的「最長鏈」。

「在 2008 年 11 月 8 日的郵件中，中本聰寫道:『CPU 算力的工作量證明投票必須具有最終的發(fā)言權?！蛔屆總€人都相信最長鏈 ( 累積算力最大的鏈 ) 是有效鏈，這是建立全球共識的唯一方法?！?mdash;—《比特幣史話》第十一章第 51 話「算力民主制」

可見，比特幣系統(tǒng)是「一黨制」——只有一條最長鏈，而不是美國那樣的「兩黨制」——在兩條對等的鏈之間進行選擇。否則就要出現(xiàn)「腦裂」。最長鏈是系統(tǒng)的謝林點（Schelling Point，默認共識，由美國經濟學家托馬斯·謝林提出）。

任何一個向系統(tǒng)貢獻算力的節(jié)點都可以獲得提議新區(qū)塊、延長最長鏈的權利。對最長鏈的延長，其實也是對最長鏈的認可和確認。

其他所有貢獻算力的節(jié)點，則可以通過驗證和接納這個新區(qū)塊，來實現(xiàn)對被延長了的最長鏈的認可。

只要超過半數(shù)的算力都認可了被延長的最長鏈，這就是新的全局共識了。

在《比特幣史話》第十一章第 51 話「算力民主制」的最后，教鏈如此總結：

「礦工通過算力投票實現(xiàn)堅持最長鏈原則一百年不動搖，但是礦工并不能篡改任何共識規(guī)則。共識規(guī)則由比特幣核心開源代碼定義，其修改權力掌握在開發(fā)團隊手中，但是開發(fā)團隊并不能為所欲為，隨意破壞共識規(guī)則，因為礦工和用戶擁有推舉出新的開發(fā)團隊分叉代碼 ( 復制一份開源代碼另行維護 ) 的權利。而最終的決定性力量其實還是廣大持幣用戶，他們決定賣出哪個幣、買入哪個幣，就是在用腳投票。水可載舟，亦可覆舟。但是同時，持幣用戶是「烏合之眾」，他們只有來去隨意的消極自由，而沒有強迫開發(fā)團隊修改規(guī)則的積極自由或權力。

「讓有自由的沒權力，有權力的沒自由。來去隨意，但誰都不能為所欲為。這，就是比特幣的算力民主制?！?/p>

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